复旦中学初高中衔接数学校本教材

1、复旦中学初高中衔接数学校本教材初高中衔接教材亲爱的复旦中学新高一的同学们：祝贺你们步入高中时代， 下面有一个摆在我们面前的棘手问题急需我们师生共同努力才能解决，即“初高中衔接问题”。由于课程改革，目前我区初中是新课标，而高中也是新课程的学习，初高中不衔接问题现在显得比较突出。面对教学中将存在的问题，我们高中数学组的老师们拟定了一份校本衔接教材，意在培养大家自学能力，同时降低同学们初高中衔接中的不适应度，希望大家将假期利用起来，为高中学习做好准备。高中新课程改革已在我市实施了3 年，经过新课程的教学，我们都有一个这样的感觉：这届学生比任何历届学生都要“笨”，都要来的“随意”，都要来的“会说”，课

2、堂气氛很活跃，运算动不动就按计算器，心算，口算，笔算的能力相当差，这是初中新课标实施的结果课标下学生与历届学生在教师心目中的几点对比对比课标下学生 (简称新生 )刚毕业学生课堂个人参与表现能力强， 敢于相互交相互交流讨论能力不如本届学生， 在教师流，发表不同的观点看法，课堂气启发下会发表看法， 课堂气氛要看老师的气氛氛相当活跃调节水平运算心算、口算、笔算能力弱，对计算心算、口算、笔算能力强，计算器操作不器有依赖感，操作相当熟练，一些能力是很熟练，对一些常用值有记忆的习惯常用值没记忆动手能力强，掌握三视图，熟悉图动手形与变换 (轴对称，平移，中心对称，远远不如刚毕业学生能力旋转 )新生有强烈的表

3、现欲望， 但容易受挫折， 计算器的依赖让学生失去对心算、口心理算、笔算的信心，始终有一种“不用计算器验证，心里不踏实”的感觉，影响着素质学习考试的情绪目前，“九年制义务教育”新课改教材，其教学内容作了较大程度的压缩和删减，教材叙述方法比较简单，语言通俗易懂，直观性、趣味性强，结论容易记忆，学生掌握比较方便虽然“九年制义务教育”课程标准倡导“不同的学生在学习上得到不同的发展”，但是家长的愿望、升学的压力，学校之间、班级之间的竞争，驱使初中数学教学普遍执行的是课程标准的基本要求，即“课程标准中明确规定的要求”，有的甚至在执行中考必考的要求我们看到了初中新课程带来的普及性教育成果，也看到了中考“指挥

4、棒”选拔出来的数学成绩，每个学生几乎都是三位数，校校之间、班班之间平均分差距也不大，初中数学教学谈化了为学生的升学而应做的准备初中教学中的“讨论式”教学法，“自学式”教学法等多种体现学生自主学习、自我探索的方法的开展，导致课堂教学密度小，规范性差进入高中以后，“高中课程标准实验教材”内容多，课时少，例题和练习简单，习题、复习参考题，特别是 B 组题难度大，所谓的“新课标”辅导用书泛滥，题目偏、怪、难，直接导致了学生学习困难，学习兴趣下降，上课不专心听讲，作业不认真做，长时间不解决问题，学生成绩下滑，教师将无法继续开展有效的教学为了解决这些矛盾，使你顺利完成高中数学的学习，结合我们实施新课程三年

5、的经验，我们编写了初高中衔接知识，为你学好高中数学做好过渡。附：目前初高中数学知识存在以下“脱节”1. 立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2. 因式分解初中一般只限于二次项且系数为“ 1 ”的分解，对系数不为“ 1”的涉及不多 , 而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到 , 如解方程、不等式等。3. 二次根式中对分子、 分母有理化初中不作要求， 而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4. 初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大

6、、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5. 二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。6. 图象的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图象的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7. 含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究 , 而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8. 几何部分很多

7、概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，象配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化， 不利于高中知识的讲授。第一讲绝对值知识归纳一、绝对值的代数意义初中阶段高中阶段正数的绝对值是它本身，负数的绝对要求使用“零点分段法”化简包含若干个绝对值是它的相反数， 0 的绝对值是 0.值之和的算式。衔接点总结：1. 初中阶段，只要求掌握含有一个绝对值的代数式；而在高中阶段，可能一个式子含有（关于同一个字母 x 的）多个绝对值，这就要用到“零点分段法” ，按照顺序逐个讨论去绝对值号。2. 高中阶段，我们还需要掌握以下运算公式：

8、 a b abaabb anan二、绝对值的几何意义初中阶段高中阶段在数轴上，一个数所对应的点与原点a,b 为数轴上任意两个数， 则 ab 表示这两个的距离叫做该数的绝对值。数对应的点在数轴上的距离。衔接点总结：1. 绝对值的概念本身就强调了绝对值的几何意义：绝对值表示两点之间的距离是非负数。但初中阶段的要求很低：所有的数“向 0 看齐”，任意两个数的距离和绝对值之间的关系不要求掌握。2.ab 的意义可以看做是aa0 的推广。而 abab 可以看做是 a 和b之间的距离。再如x1x2则可以表示数轴上的数x 到 1 和2 的距离之和。利用这一性质，可以解决一类最值问题。平面解析几何中的两点间距离

9、公式的推导，就是基于绝对值的几何意义。3. 利用绝对值的几何意义，可以求解简单的绝对值不等式：xa(a0)axa ； xa(a0)xa或 xa例题精讲例题 1如果 x 2 xy3 20 ，求 xy2 的值。解：根据题意得x 20，解得x2 ，x y249xy30y5初中阶段，关于变量x 的非负的代数式有： (1) a0; (2) a0; (3)a20 。若干个非负数之和为 0，则它们同时等于0. 该性质在解题中广泛的应用。例题 2解不等式： x 1x 34解法一：由 x 1 0 得 x1；由 x30 得 x3（ 1） 若 x1，不等式可变形为 ( x1)(x3)4，即 2x44 ，解得 x0

10、，又 x1，x0（2） 若1x 3 ，不等式可变形为 ( x1)( x3)4 ，此不等式无解。（ 3） 若 x3，不等式可变形为 ( x1)(x3)4 ，即 2x44，解得x 4综上所述，不等式的解集为x0或 x4解法二：利用绝对值的几何意义，在数轴上用 A、 B、 C、 D 分别表示数 1、 3、0、4，把不等式转化为“动点 P 到点 A、B 的距离之和大于 4”这个直观的几何问题，直接获得解答。例题 3 求 yx 1x 2 的最小值。解法一：利用零点分段法。令 x 1 0,得 x 1; 令x 20, 得x2（ 1） 当 x1时， yx1x 22x 1，此时最小值为 3；（2）当 2x 1时

11、， y( x 1) x 2 3；（ 3） 当 x2 时， y( x1) ( x2)2 x 1 ，此时最小值为 3.综上所述，当2x1 时， y 取得最小值，最小值为 3.解法二：利用绝对值的几何意义。求 yx1x2 的最小值，即是求数轴上的点到1 与-2 的距离之和的最小值。通过画数轴，不难发现，当 2x 1 时， y 取得最小值，最小值为 3.【注意】本题可推广为：当 a1a2 a3an 时，求 y x a1 x a2xan 的最小值。其一般规律为：当n 为奇数，则当 xa n 1 时， y 取最小值；当 n 为偶数，则当2anx a n， y 取最小值。221课后练习：A 组1. 下列叙述

12、正确的是（ D ）A. 若 ab ,则 a bB.若 ab ,则a bB. 若 ab ,则 a bD.若 ab ,则 ab2.abab 成立的条件是（ C）A.ab0B.ab1 C.ab0D.ab13.不相等的有理数 a, b, c 在数轴上的对应点分别是A,B,C, 如果 a b bc a c ，那么 B（）A. 在 A,C 点的右边B.在 A,C 点的左边B. 在 A,C 点之间D.上述三种均可能4.如果 ab5, 且a1 ，那么 b_ ；如果 1c 2，那么 c_5.若 xy1与 xy3互为相反数，则x2015_y6.若 x4,则 22x_7.已知 a5, b3, 且 ab a b ，求

13、 ab 的值。B 组1.方程 x5x50 的解得个数（B）A. 不确定B.无数C. 2D. 32.解不等式 x2x373.求 yx2x5的最小值。4.已知 abc0,试求 abcabcabcabc5.已知 a0,比较 ab 与 ab 的大小。b6.解方程 x x 3 x207. 已知关于 x 的方程 x 2 x 3 a ，试根据 a 的取值，讨论该方程解得情况。第二讲乘法公式乘法公式：（ 1） 平方差公式： a b aba 2b2（ 2） 完全平方公式： ab 2a 22abb2（ 3） 立方和公式： a3b 3ab a 2abb2（ 4） 立方差公式： a3b3ab a 2abb2（ 5）

14、三数和平方公式： a bc 2a 2b2c 2 2ab 2bc 2ac（ 6） 两数和立方公式： a b（ 7） 两数差立方公式： a b例题精讲：333a 2 b3ab 2b3a333a 2 b3ab 2b3a例题 1：计算： x1x1x 2x1x 2x1解法一：原式 = x 21x22x 2x21x 4x 21x611解法二：原式 = x1x 2x1x1 x2x1x31x31x 61例题 2：已知 abc4, abbcac4, 求a 2b2 c 2 的值。解： a2b2c 2a b c 22 ab bc ac8例题 3：已知 x 23x10, 求 x31的值。x 3解法一：x33x10,x

15、0,x13 .x原式x1x211x1x1 23332318.xx2xx解法二：由条件得x231，因此x1x613x1327x327x29x1 1 27 x227x 954x18x3118x3x3x 3x 1x 3x 13x 13x1解法三：由条件得 x 213x，因此x31x61x21 ( x 21)23x23x 9x 23x 2x 3x3x3x318课后练习A 组1.若 25x 2M4 y 2 为一个完全平方式，则 M=_2.已知 ab 3, b c 5 ，则 a 2b 2c2ab bcac 的值是 _3.不论 a, b 为何实数， a 2b22a4b8 的值（）A. 总是正数B.总是负数C

16、. 可以是零D.可以是正数也可以是负数4.如果 abx 2 的结果中不含有 x 的一次项，那么 a, b 满足（）A. a bB.a 0或 b0C.ab D.以上答案都不对5. 分解因式：（ 1） ax3xa1（ ）32322xxyy6.已知 x 23x1 0 ，求 x414的值。xB 组1.计算：111111111142910 2223222.已知 a2a1，求 a55a2 的值。3.已知 3x25x7 可以表示成 a( x 2) 2b( x 2)c 的形式，求 a,b, c 的值。4.已知 abc0 ，求 a( 11 )b(11 )c( 11) 的值。bccaab5.已知 ab1,求证：

17、a 3b3ab136.已知 x 2y 2z2 a 2b 2c2( axbycz) 2求证： xyzzbc第三讲分式知识归纳：1.分式的意义：形如 A 的式子，若 B 中含有字母，且B0 ，则称 A 为分式。BB2.分式的基本性质：当 M0时，AAM ; AAMBBM BBM3.分式有意义的条件： B0 ；分式等于 0 的条件： B0且A 0amn p4.像b这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。c,2mdnp例题精讲：例题 1化简x1 xx1xx解法一：原式 =xxxxx x 1x11 x1 x xxx 2x xx 2xxxx1x 1 x 1x 1x 1x 2x解法二：原式 =xxxx

18、 x1x11 x xx 1 xxx2x xxxxxx 211x1xxx例题 2：使分式 11无意义的值共有多少个？2113x解：分别考虑各级分母为0 时 x 的值，依次有：（ 1） x0 ；（2）310 ， x1 ；（3）x310， x2。因此一共有3 个 x 的值使得分式无意义。2713x例题 3：化简分式：11123x 2 x25x 6 x 27 x 12x解：原式 =111x 1 x 2x 2 x 3x 3 x 4=111111x 1 x 2x 2 x 3x 3 x 4=113x1x 4x 1 x 4课后练习：A 组1.若 112, 则 3xxy3y =_xyxxyy2.若4xxab2，

19、则 a 2b 2_x242x3.正数 x, y 满足x2y23 且xy,求 xy 的值。xyxy4.计算：1111122334991005.若 x25x10, 求 2x29x35的值。x 216.已知 bcdacd abdabck ，求 k 的值。abcd7.已知 fx1x，求下式的值：xf1f1f1f1f0f 1 f 2f 2013 f 2014 B 组2014201321.计算：11133591012.证明：对任意大于1 的正整数 n ，有1111334n n1223.已知 a, b 为实数，且 ab1，设 Pa1b,Q11 b1，比较 P和Q的ab1a1大小。4.解方程：11111x10

20、x11x 11 x12x12 x13x1314第四节二次根式知识归纳：一、二次根式的概念和性质1. 形如 a (a 0) 的代数式，叫做二次根式。2. 二次根式具有以下性质：（1） 双重非负性，即a中 a 0, a0 ；（2）a2a(a 0)；（3）a2a二、最简二次根式满足的条件1. 被开方数中不含能被开得尽方的因数或因式；2. 被开方数不含分母。三、二次根式的运算1. 二次根式相加减，先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；2. 二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变；3. 分母有理化是指把分母中的根号化去，其关键在于找到分母的有理化因式。例如，a 与a ，ab 与ab ，2 ab

21、 与 2 ab 等，它们分别是互为有理化因式。例题精讲 :例题 1：计算：333解：原式=33 333333(31)31333 3393623例题 2：试比较下列各组数的大小：（1） 1211和 1110(2)2和22664解：（1）121112111211112111211111011101110111101110又 12111110 ，12111110（ 2）2262262262，226226又4 22,6 4622,22 2664例题 3：化简：945解：原式 =54 545222 52252522课后练习：A 组1.已知最简根式 a2a b 与 ab 7 是同类根式，则满足条件得 a,

22、 b 的值（）A. 不存在B.有一组C.有二组D.多于二组2.等式xx成立的条件是（）x2x2A.x 2B.x 0C.x 2D.0 x 23.把代数式 (1a)1）a根号外的因式移入根号内，化简的结果是（1A.1aB.a1C.a1D.1 a4.若5xx32x3 5x ，则 x 的取值范围是 _5.若 x5 ，则x1x1x1x1_2x1x1x1x16.（1）设 x12, y12，求代数式 x2xyy2的值；33xy（ 2）已知 x1 , y1 ，求xyy的值。23yxy7.32201422015化简：38.计算111112233445561B 组1.化简：（1）x212 (0x1)（）19 83

23、x222.已知 a 1b2b 1a 21。求证： a 2b 213.已知 A35 , B35 ,求证： 11A3B312 A3B313第五讲因式分解一、分解因式的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式，也叫作分解因式。二、分解因式方法介绍1、提公因式法（ 1）定义：几个多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。（ 2）具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的

24、指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“ - ”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“ - ”号时，多项式的各项都要变号。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留 1 把家守。（ 3）例 1：将下列各式分解因式 3x6 ； 7 x221x ； a( xy)b( yx) ； amanbmbn【分析】式直接提公因式；式先变形成a(xy)b(xy) 再提公因式；根据题意分成两组 (aman) （ bmbn）分别提公因式 a ， b ，再次提公因式（ m+n）例 2：先分解因式，再计算求值：4x(m2)3x(m2) ，其中 x1.5,m

25、6【分析】（ 4）练习：将下列各式分解因式 6(mn)312(nm)2 ； x32x2x ； m25nmn5n x3 3x2 4x 12先分解因式，再计算求值：(2a) 26(a2) ，其中 a2.52、公式法（ 1）定义：由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫做公式法。（ 2）相关公式：平方差公式： a2b2(ab)(ab)完全平方公式： a22abb2(ab)2【注】：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2 倍。三数和的平方： a2b2c22a

26、b 2ac 2bc (a b c)2立方和公式： a3b3(ab)(a2abb2 )立方差公式： a3b3(ab)( a2abb2 )完全立方公式： a33a2b3ab2b3(ab)3欧拉公式：a3b3c33abc(a bc)( a2b2c2ab ac bc)1(abc)( ab)2( ac)2(c b)2 )2（ 3）例 1：将下列各式分解因式：a24abb2 ； aa1 （ a0 ）； x224【分析】（ 4）练习：将下列各式分解因式： x212xy36 y2 ； 4m12 mn9n（ m, n0 ）； a2 (a 3) a 3 ； (m n) 3 ( n m)m2 ： x6 83、十字相

27、乘法（ 1）定义：把某些二次三项式分解因式，十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘的和等于一次项系数。其本质就是运用乘法公式： ( x a)( x b) x2 (a b)x ab 的逆运算进行因式分解。（ 2）图示：（ 3）例：将下列各式分解因式：x2 +6x40 ； x2(a2)x2a ；【分析】（ 4）练习：将下列各式分解因式： 7x2 -6x 1； xx 6（ x0）； 128 ( x 0 ) ； x6 14x3 y 49 y 2x2x4 、换元法（ 1）定义：所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元） ，则能使复杂的问题简

28、单化明朗化，在减少多项式项数降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。用换元的思想来分解因式的方法叫做换元法。（ 2）具体方法：在分解因式时，可以选择多项式中相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。（ 3）例：分解因式 （ x2223x） 83x） （2 x【分析】令 t x23x ，则原式 =t22t8 =(t 2)(t 4)将 t x23x代入：( x23x 2)(x23x( x+2)( x+1)( x+4)( x 1)4) =（ 4）练习：分解因式 ( x4x2 1)(x4x22) 12 ； 2x4x36x2x 2 ；( x+2)( x-3)( x+4)( x1) 2

29、4 ； x2 (x1)20032004x ； x47 x3 14 x27x 1【分析】：式也叫相反式，在这里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的，如四次项羽常数项对称，系数相等，解法也是把对称项结合在一起。式采用“均值换元法” ，把前面四个多项式分成两组相乘，设法使一次项相同。因此把( x+2)( x-3)( x+4)( x1) =( x+2)( x1)( x-3)( x+4) = ( x2 +x 2)( x2 +x 12)令： t1( x2 +x7)(x2 + x 12) = x2 + x7 ，2则变形为： x2 +x2t 5 ， x2 +x12t 5式按照一般思路很难凑效，注意到2003

30、,2004 两个数字之间的关系，把其中一个常数换元如： t2003 ，则2004 t1，再代入原式分解因式。式采用“倒数换元法”到中间距离相等的系数的绝对值都相等，构造x1 求解xx47 x314x27x1x2 ( x27x14 712 )xx2211x ( x1x2 )7( x1x) 14)x2( x) 27( x)12)xx再进行分解5、待定系数法（ 1）定义：将一个多项式表示成另一种含有待定系数的形式，这样就得到一个恒等式，然后根据该恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，然后通过解方程或方程组，便可求出待定的系数，或找出某些数满足的关系式，这种分解因式的方法叫做待定系数法。（ 2）具

31、体方法：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。（ 3）例：将下列各式分解因式 x2x2 ； 2x2x1； x4x35x26x ； x2xy6y2x13y6【分析】与可看成 ax2 bx c 0 ，再解这个方程。如果方程无解，则原式无法因式分解；如果方程有两个相同的实数根（设为 m ），则原式可分解为 (x m)2 ；如果方程有两个不相等的实根（分别设m ， n ），则原式可以分解为(xm)( xn)设 x2x2 =( xm)( xn) 设 2x2x1=(2 xm)( xn) （注意最高次项的系数）式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式：设

32、 x4x35x26x=( x2axb)( x2cxd )式中x, y两个变量且最高次均为2 次，两个因式均含x, y ,设： x2xy6y2x13y6 = (x3 ya)( x2 y b)（ 4）练习：将下列各式分解因式 6x4x21； 6x25xy6y29x7 y3； k 为何值时，多项式x22xyky23x5 y2 能分解成两个一次因式的积？三、课后习题A 组1、已知 ab3， ab2，求代数式 a3b ab 3 的值2、已知 2x30 ，求代数式 x(x2x)x2 (5 x) 9 的值3、分解因式：3a26ab3b212c24、化简： ( ab) 2 ( ab)(ab)(ab) 22b(a2 b2 )5、设 a( a1)(a2b)2 ，求 a2b2ab 的值299986、计算 22210121007、若 a, b, c 是ABC 三边，判断 ( a2b2c2 )24a2 b2 的正负9、分解因式： x41997x21996 x1997 ； ( x1)4( x3)42721、