天津一中2013届高三数学下学期第二次月考试题理(含解析)新人教A版

1、2012-2013 学年天津一中高三（下）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一. 选择题：（共 40 分，每小题5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（ 5分）（2012?蓝山县模拟）计算复数（1 i ）2等于（）A 0B 2C 4iD 4i考点 ：复数代数形式的混合运算专题 ：计算题分析：利用复数代数形式的混合运算，吧要求的式子化为2i ，进一步化简求得结果解答：解：复数（ 1 i ）2 = 2i = 2i =4i ，故选： D点评：本题主要考查复数代数形式的混合运算，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题2（ 5 分）（2009?山东）一空间几何体的三视图如图所示

2、，则该几何体的体积为（）A 2 +2B 4 +2C 2 +D 4 +考点 ：由三视图求面积、体积专题 ：计算题分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为 1 的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加既得组合体的体积1解答：解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为21，其高为 2，故其体积为 ×1×2=2棱锥底面是对角线为2 的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2 +故选 C点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查

3、三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据， 再根据相关的公式求表面积与体积， 本题求的是组合体的体积， 其方法是分部来求， 再求总体积 三视图的投影规则是： “主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐， 左视、俯视 宽相等”三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视3（ 5 分）极坐标方程 =cos 和参数方程（ t 为参数）所表示的图形分别是（）A 圆、直线B 直线、圆C 圆、圆D 直线、直线考点 ：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程专题 ：计算题分析：极坐标方程 =cos 化为直角坐标方程为，表示一个圆，参数方程（t 为参数），消去参数t可得 3x+y+1=

4、0，表示一条直线，由此得出结论解答：解：极坐标方程=cos 即 2=cos ，化为直角坐标方程为x 2+y2=x，即，表示一个圆参数方程（ t 为参数），消去参数t可得 3x+y+1=0，表示一条直线，故选 A点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法， 把参数方程化为普通方程的方法，直线的方程特征、圆的标准方程，属于基础题4（ 5 分）若 ABC 的三个内角成等差数列，三边成等比数列，则ABC是（）A 直角三角形B 等腰直角三角形C 等边三角形D 钝角三角形考点 ：三角形的形状判断2专题 ：计算题；解三角形分析：先确定三角形必有一内角为60°， 再根据对应三边成等比数列，

5、结合余弦定理， 即可求得结论解答：解：由题意不妨设A， B，C 成等差数列则 2B=A+C A+B+C= B=， A+C=a， b，c 成等比数列2b=ac，22222b=a +c 2accos60°=a +c ac22a+c ac=ac（ a c） 2=0 a=c B=60°，三角形为等边三角形，故选 C点评：本题考查等差数列与等比数列，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题5（ 5 分）（2011?汕头一模）在 ABC 中， tanA 是以 4 为第 3 项， 4 为第 7 项的等差数列的公差； tanB 是以为第 3 项， 9 为第 6 项的等比数列的公比，则该

6、三角形为（）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等腰三角形考点 ：等比数列的通项公式；两角和与差的正切函数专题 ：计算题分析：首先，由等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，结合已知可得tanA=2 ，tanB=3 ，然后利用两角和的正切公式可求出 tan （ A+B）= 1，从而求出 C，再结合题意确定A、 B 的范围，从而确定 ABC 的形状解答：解：由题意可得，tanA=2， tanB=3，故 tan （A+B） = 1， 0 A+B ， A+B= ，C=；又 tanA 0， tanB 0， 0 A ，0 B ，0 A，0 B，故 ABC为锐角三角形3故选 A点评：本题通过解三

7、角形问题， 考查了等差数列和等比数列的通项公式， 两角和的正切公式，综合性较强，难度中等6（ 5 分） ， 为平面， m为直线，如果 ，那么“ m ”是“m? ”的（）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件考点 ：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题 ：计算题；空间位置关系与距离分析：由 ， 为平面，m为直线， ，知：“m? ” ? “m ”，反之，若“ m ”，则“m? ”不一定成立由此能求出结果解答：解：由 ， 为平面， m为直线， ，知：“m? ”? “m ”，反之，若“ m ”，则“m? ”不一定成立“ m ”是“m? ”的必要非充分条件故选 B点评

8、：本题考查平面的性质定理及其推论，是基础题解题时要认真审题，仔细解答7（ 5 分）函数 f （ x） =sin2x 2sin 2x，（0x）则函数f （ x）的最小值为（）A1B2CD考点 ：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域专题 ：计算题；三角函数的图像与性质分析：先利用二倍角公式、辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质可求函数的最小值解答：解： f （ x） = sin2x 2sin2x，=2sin （ 2x+ ） 10x 2f （ x）1则函数 f （ x）的最小值为 2故选 B点评：本题主要考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用及正弦函数性质的简单

9、应用，属于基础试题48（ 5 分）函数，若方程f （x） =x+a 恰有两个不等的实根，则a 的取值范围为（）A （ ， 0）B 0， 1）C （ ， 1）D 0，+）考点 ：根的存在性及根的个数判断专题 ：计算题分析：由题意可得f （ x）的图象和函数y=x+a 有两个不同的交点，结合图象，求出a 的取值范围解答：解：由题意可得f （ x）的图象和函数y=x+a 有两个不同的交点，如图所示：故有 a1，故选 C点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题二. 填空题：（共 30 分，每小题5 分）9（ 5 分）（2010?青浦区二模）

10、 文科 非负实数 x、 y 满足，则 x+3y 的最大值为9考点 ：简单线性规划；简单线性规划的应用专题 ：计算题分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+3y 过点 A（ 0， 3）时， z 最大值即可解答：解：根据约束条件画出可行域直线 z=x+3y 过点 A（ 0， 3）时，z 最小值是9，故答案为95点评：本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题， 解题的关键是画出满足条件的区域图，属于基础题10（ 5 分）已知 A（，0），B（ 0，1），坐标原点O在直线 AB上的射影为点C，则=考点 ：平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算专题 ：平面向量及应

11、用分析：由已知中 A（， 0）， B（0， 1）可求出直线AB 的方程，结合坐标原点O在直线 AB上的射影为点C，即 OCAB 可求出直线OC的方程，进而得到点C即向量的坐标，代入向量数量积公式，可得答案解答：解：坐标原点O在直线 AB 上的射影点为C直线 OCAB由 A（，0），B（0，1）可得，直线AB的斜率 kAB=，AB 的方程为y1=（ x ） kAC=OC直线方程为： y=x由和x=， y= =（，） =故答案为：点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，直线的方程，直线的交点，其中根据已6知，求出点C即向量的坐标，是解答的关键11（5 分）（2012?佛山二模） （几何证明选

12、做题）如图，已知圆中两条弦AB与 CD相交于点F， E 是 AB延长线上一点，且， AF： FB：BE=4： 2： 1，若 CE与圆相切，则线段CE的长为考点 ：与圆有关的比例线段专题 ：计算题分析：设出 AF=4k， BF=2k， BE=k，由 DF?FC=AF?BF求出 k 的值，利用切割定理求出CE解答：2 AF=2， BF=1， BE= ，AE= ；2由切割定理得CE=BE?EA= ×= CE= 故答案为：点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况，是常考题型12（ 5 分）（2009?长宁区一模）已知直线m、 n 与平面 ， ，给出下列三个

13、命题：若 m ，n ，则 mn；若 m ，n ，则 nm；若 m ，m ，则 其中真命题的个数是2 个考点 ：空间中直线与平面之间的位置关系专题 ：综合题分析：分别加以判断：若 m、 n 是平面 内的相交直线，且 ，则 m ，n ，但 m 不平行于 n，故不正确；若 m ，则在 内可以找到直线 m，使 m m，再结合 n ，可得 nm，最终得到 nm，故正确；若 m ，则在 内可以找到直线 m，使 m m，结合 m ，得 m ， 经过 的垂线，所以 ，故正确7解答：解：对于：设m、 n 是平面 内的相交直线，且 ， m ，n ，而 m不平行于 n，故不正确；对于： m ，在 内可以找到直线 m

14、，使 m m，又 n ，m ? nm，结合 m m，得到 nm，故正确；对于： m ，在 内可以找到直线 m，使 m m，又 m ，得 m ， 经过 的垂线， ，故正确故答案为： 2 个点评：本题考查了空间两直线、直线与平面位置关系等知识点，属于中档题熟练掌握直线与平面平行垂直和平面与平面的平行与垂直的判定与性质，是解好本题的关键13（ 5 分）等差数列 a n 中， a1=1， a7=4，在等比数列 b n 中， b1=6，b2=a3，则满足 bna26 1 的最小正整数 n 是 6 考点 ：等差数列的通项公式专题 ：等差数列与等比数列分析：在等差数列 a n 中，由 a1=1，a7=4 求

15、出 a3 和 a26，在等比数列 b n 中， b1=6，b2=a3 求出bn，代入 bna261 可求最小正整数 n解答：解：在等差数列a n 中，设其公差为d，由 a1=1，a7=4，得，所以，又在等比数列n123，b 中， b =6， b =a =2，所以其公比 q=所以，由，得： 35 n 1，则 n 5所以，满足bna26 1 的最小正整数n 是 6故答案为6点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了指数不等式的解法，是基础题14（ 5 分）设，则 m与 n 的大小关系为m n考点 ：定积分的简单应用8专题 ：计算题分析：根据 e x， lnx 的导数等于ex，得到原函数是

16、e x ， lnx ，写出当自变量取两个不同的值时，对应的函数值，让两个数字相减进而比较即可得到结果解答：xx解：e ，lnx 的导数等于e ， m=ex |=e1 e0=e 1；n=lnx|=lne ln1=1 而 e 11m n故答案为： m n点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题三. 解答题：15（ 13 分）（2011?孝感模拟）在 ABC 中，（1）求的值；（2）当 ABC的面积最大时，求A的大小考点 ：向量的模；向量在几何中的应用专题 ：计算题分析：（ 1）变形出的表达式，求值即可（ 2）由面积公式表示出

17、ABC 的面积，根据其形式用基本不等式求出等号成立的条件，即可解答：解：（ 1）得， 2?=4，故=2?+4，又?2所以=8（ 2）由面积公式 SABC= |AB|AC|sin BAC又 ? =|AB|AC|cos BAC=2 cosBAC=sin BAC=9SABC=|AB|AC|sinBAC=等号当且仅当|AB|=|AC|时成立，又由（ 1）|AB|=|AC|=2时，三角形面积取到最大值cosBAC= ，即 BAC=60°答：当 ABC 的面积最大时，求A的大小是600点评：考查向量的夹角公式、三角形中同角三角函数的基本关系以及基本不等式求最值，综合性与知识性较强16（ 13 分

18、）某机构向民间招募防爆犬，首先进行入围测试，计划考察三个项目：体能，嗅觉和反应 这三个项目中只要有两个通过测试，就可以入围 某训犬基地有4 只优质犬参加测试，已知它们通过体能测试的概率都是，通过嗅觉测试的概率都是，通过反应测试的概率都是求：（1）每只优质犬能够入围的概率；（2）若每入围1 只犬给基地记10 分，设基地的得分为随机变量，求 的数学期望考点 ：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式专题 ：概率与统计分析：（ 1）利用相互独立事件的概率计算公式和互斥事件的概率计算公式即可得出；（ 2）利用（ 1）求出优质犬入围的只数的随机变量的数学期望，进而求出得分 的数学期望解答：

19、解：（ 1）每只优质犬入围概率相等：若一只优质犬能够入围，则包括三项测试都通过或其中的任意两项通过两类：因此每只优质犬能够入围的概率：P=+=（ 2）设随机变量 表示优质犬入围的只数，则 的取值为0，1， 2， 3，4则服从 B（ 4，）， =10E =，E =10E=点评：熟练掌握相互独立事件的概率乘法公式、 互斥事件的概率公式、离散型随机变量的期望计算公式是解题的关键17（ 13 分）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面为直角梯 ABCD，ADBC， BAD=90°， PA 底面 ABCD，且 PA=AD=AB=2BC， M， N分别为 PC，PB 的中点（ 1）求证： PBDM

20、；（ 2）求 CD与平面 ADMN所成角的正弦值；（ 3）在棱 PD上是否存在点 E，PE：ED= ，使得二面角 C AN E 的平面角为 60°存在求出 值10考点 ：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法专题 ：空间位置关系与距离；空间角分析：（ 1）建立空间直角坐标系，利用?即可证明；（ 2）先求出平面 ADMN的法向量，利用斜线段 CD的方向向量与平面的法向量的夹角即可得出；（ 3）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角解答：解：（ 1）如图以A 为原点建立空间直角坐标系，不妨设|AB|=2 则 A（ 0，0， 0），

21、B（ 2， 0， 0）， C（ 2， 1， 0）， D（ 0，2， 0）， M（ 1， 1）， N（ 1，0， 1）， P（ 0， 0，2），=（ 2， 0， 2），=（ 1， 1），=0， PBDM（ 2）由（ 1）可得：=（ 2，1， 0），=（ 0， 2， 0），=（ 1， 0， 1）设平面 ADMN法向量=（ x， y，z），则得到，令 x=1，则 z= 1， y=0，=（ 1， 0， 1）设 CD与平面 ADMN所成角 ，则（ 3）假设在棱PD上存在点E（ 0， m，2 m），满足条件设平面 ACN法向量=（x， y， z），由，可得，令 x=1，则 y=2， z= 1，=（ 1，

22、2， 1）设平面 AEN的法向量=（ x0，y0，z0），由，可得，令 x0=1，则 z0= 1，11cos60°=，得，化为，化为223m52m+20=0，又 m0 ， 2 解得，满足 m 0 ，2 =PE：ED=：=m：（ 2 m）=点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用?、斜线的方向向量与平面的法向量的夹角求线面角、利用两个平面的法向量的夹角求二面角是解题的关键n18（ 13 分）数列 a n 满足 4a1=1， an 1= （ 1） an1 2a n（n2），n（1）试判断数列+（ 1） 是否为等比数列，并证明；2（2）设 an ?bn=1，求数列 b n 的前 n 项和

23、 Sn考数列的求和；等比关系的确定点：专综合题；等差数列与等比数列题：分（ 1）由 an1= （ 1） nan 12a n（n2），两边取倒数，整理即可证明析： （ 2）由（ 1）及已知 an2?bn=1 可求 bn，结合数列的通项的特点，考虑利用分组求和，结合等比数列与等差数列的求和公式即可求解解解：（ 1）数列 +（ 1） n 是等比数列，证明如下答：12由 =即a1= =3另：是首项为3 公比为 2 的等比数列则（ 2）由+6（ 20+2+22+2n 1） +（1+1+1）nn*=3?4 +6?2+n 9（ n N）点 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列， 等比数列的通项公式及

24、求和公式的评： 应用19（ 13 分）设 n N* ，不等式组所表示的平面区域为Dn，把 Dn 内的整点 （横、纵坐标均为整数的点） 按其到原点的距离从近到远排列成点列： （ x1，y1），（ x2，y2），（ xn，yn）（1）求（ xn，yn）；13（2）设数列 a n 满足，求证： n2时，；（3）在（ 2）的条件下，比较与 4 的大小考点 ：数列与函数的综合专题 ：综合题分析：（ 1）由 nx+2n 0 及 x 0 得 0 x2，因为 xN* ，所以 x=1，从而 x=1 与 y=nx+2n的交点为（ 1， n），即所以 Dn 内的整点（ xn， yn）为（ 1， n）（ 2）先化简为，两式相减即可证得（ 3）先猜想： n N* 时，再利用（ 2）的结论可以证明解答：解：（ 1）由 nx+2n 0 及 x 0 得 0x 2，因为 x N* ，所以 x=1又 x=1 与 y= nx+2n 的交点为（ 1， n），所以 Dn 内的整点，按由近到远排列为：（ 1， 1），（ 1， 2），（ 1， n）（4 分）（ 2）证明： n2 时，所以，两式相减得：（9 分）（ 3） n=1 时， n=2 时，可猜想： nN* 时，（11 分）事实上 n3时，由（ 2）知所以14=（ 15 分）点评：本题以线性