论非对称的部分析因设计在不同条件下的关系

1、论非对称的部分析因设计在不同条件下的关系(南开大学，香港浸会大学，伊利诺斯州技术研究院) 概要:近些年来，关于非对称的部分析因设计研究引起了人们很大的兴趣。在设计结构和对比的角度，从不同的准则出发，各种各样的新优化准则被提出来。例如，广义最小低价混杂，最小矩阵混杂准则，最小工程一致性和准则。在本文中，这些准则都有涵盖和涉及，并且准则被概括为所谓的最小准则，对于不同准则下的联系我们都进行了研究，这些联系给出了具有说服力的数据支持，我们给出一些基本最优结果，但这些并不仅仅是简单的整合几种结果(包括对称案例的结果)，而且这些对于构建非对称过饱和的模型有很好的帮助。关键词和短语:广义最小低价，最小矩阵

2、混杂准则，正交阵列，过饱和模型，均匀性1、介绍: 部分析因设计(FFDs)在科学调查中运用模型引起广泛讨论，实际的成功源于实验运用效率的同时对重多因素的研究,对于FFDS一个基本并且切实的问题是如何从一系列模型中选择一个最佳模型。从不同的角度，在模型结构和对比方面各种优化准则被提出来。对于对称FFDS的准则目前已有大量广泛的研究。最近，非对称FFDS的研究，引起人们很大兴趣。一些对于这些准则的评估应运而生。在这些准则中，广义最小阶(GMA,Tang和Deng(1999),Ma和Fang(2001),Xu和Wu(2001)考虑在ANOVA分解条件下的混杂情形和处理效果；最小矩混杂准则研究基于GM

3、A估算条件下流量和提供惊人节约方面的关系；(Yamada和Matsui(2002) 研究正交性组合的两个因素，最小工程一致性(MPU,Hickernell和Liu(2002) 研究微空间工程模型的均匀性。需要说明的是 GMA,MMA,和准则主要适用于定性条件的研究，MPU准则对于定量和定性条件都适用，但此文我们仅仅考虑MPU的定性例子，参照Cheng和Ye(2004) 提出的定量条件的准则。 以上提及的每一种准则都有优点，现在一个自然而然的问题产生了:在这些准则中存在什么联系或等价呢？这篇文章主要目的在于对非对称FFDs准则问题的研究，并且提供最优的结果

4、，在第二节，这些准则将会详细描述。准则概括为所谓的最小准则，不同准则下的联系的研究。该模型准则结果证明它们之间具有密切联系，这些联系从不同角度给出了数据支持，第三节包括一些主要的优化结果，我们提出了几种更低的界限，并给出充分且必要的优化情形，大多数结果运用均衡模型。它们不仅整合了这些结果(包括对称例子的结果)，而且对于构建非对称过饱和模型也起到了一定的作用。对于一些陈述，证明详见附录。2.模型准则和联系 一些变量和符号如下:非对称模型中，n个流量，m个因素,准则表示成D，一些代表符号，表示成D此时，模型D可表示为一个n*m阶矩阵D=，为从一系列标志中提取出来的；如，称为正交矩阵S，则表示为,如

5、果任何S列是准则组合并可能经常出现，一个均衡模型是一个正交矩阵1，这个经常称为U形模型，表示为（Fang,Lin,Winken和Zhang(2000),当，模型称为饱和的，当，均衡一致达不到，此时该模型称为非饱和的，下一节，我们将具体描述在引言中提到的准则，并且给出概括的准则。2.1 GMA,MMA,和MPU 准则 有规律的FFDs往往是最小低阶混杂（Fries和Hunter(1980),这是因为这个准则限制了这种混淆现象的不良影响。混杂已经推广到了非规律性的FFDs中（Tang和Deng(1999),Ma和Fang(2001),Xu,和Wu(2001).对于非对称情况下涵盖了所有其他的概括

6、，基于所述ANOVE分解模型 , 为了一个设计，让是矩阵包括所有的j因素的对比系数 , 。如果，该GMA准则是按顺序减少。对于一个设计，一个整数>0和一些权重,让里的，如果, 并且0 除外。因此是第i个和第j行的D之间的权衡重合数。定义第t行的MMA的准则是，以顺序地减少,。被叫做一个自然的重量。现在让我们介绍的非对称的FFD和定性因素确定的MPU准则,这是从一致性的观点发展。有兴趣的读者可以参考Hickernell和Liu（2002年，第5节），对于一般的定义和有关MPU一些讨论。对于设计D，定义叔维投影离散值为 的非负平方根.。主控准则是尽量减少依次。对于对称的FFD，则和之间的线性

7、组合关系已经彻底呈现在几篇论文，如Xu（2003,2005）。对于非对称的设计，Hickernell和Liu（2002）证明，MPU与GMA是等价的，并且Xu（2003）表明，GMA和MMA是弱等效。引理1 （i）对于一个设计D,后，MPU相当于Xu和Wu（2001）所定义的GMA（Hickernell和Liu（2002，定理2）。（ii） 对于一个，设计D，如果,对于所有的k，则对于t =1，.，s+1，其中是根据n，m，t和水平常量 (徐（2003，定理7）。因此，通过更换在（ii）这个引理与, MPU和MMA之间的弱等效遵循直接，并提供了一个理由使用MPU作为最优准则选择非对称设计。2.

8、2. 最低准则饱和设计（SSD）是一种重要的非正规的FFD。大部分研究都集中在对称的固态硬盘。作为非对称的SSD，山田和松井（2002）所使用的的作为度量双因素非正交性。对于设计的任意列，说,令是其中采用级组合（运行的次数），让其中求和是采取在所有可能的电平的组合，然后定义。注意，是类似于统计量，并且很显然是是叔维非正交设计的量度。根据这一措施，最佳的设计应尽量减少为 顺序。我们称此准则的最小准则。以，那么只是Yamada和Matsui（2002）近日，Fang,Liu和Liu（2003）定义提出了准则,对于选择非对称固态硬盘，定义为最小化。需要注意的是在考虑不同的权重与不同水平的因素，而不这

9、样做。它已经表明，和是准则的对称的，现有准则的扩展，看到Fang，Lin和Liu（2003年），Xu（2003年），Li，Liu，Zhang（2004）了解详情。2.3连接在本小节，对于所有。首先让我们看到在统计一些基本性质（5）和内：a.当且仅当通常同等出现所有可能水平组合时,=0.b.c.如果，那么当时，.d.当时，当且仅当D的强度至少为t.从上面的陈述，我们可以推测最小准则应该与MPU（嵌入式微型处理器）和GMA（集成显卡）密切相关。实际上我们可以得到以下结论。定理1.（i）对任意，设计D 当时，. （ii）而且，当时，.这个定理从统计的观点上提供了另外一个对于MPU/GMA的统计推断。

10、我们注意到Tang（2001）提出了一个准则叫V准则和最小准则相类似，并且能得到V准则和GMA之间等价的两水平自由变形。我们的定理1由2水平自由变形推广到了非对称自由变形。结合引理1和定理1，我们有推论1.对任意的，当时，和的所有取值均为最小，并且.这个结果告诉我们，通过GMA，MMA,MPU，最小准则从不同方面考虑它们相互之间紧密的联系：若取并设计D使其最小化中的一个，再最小所有的值。这个结论对构造非对称自由变形十分重要，其目的是在平衡设计中最小化其中一个值为s=1。现在，我们可以建立MMA与最小准则之间的关系，也就是对任意非对称设计，赋予强度s与D，则和在同时被最小化。但是我们不确定当j&

11、gt;s+1时和能否同时最小化。根据他们的定义，从调查一个设计的运行（也就是说行向量）之间的关系，统计调查因数（也就是纵向量）之间的关系，我们知道了动力矩。下面定理说明了和的总和的等价性，视为能量s。定理2.对任意的，设计D .这个定理要注意的是，等价对任何非对称设计均是有效的。这个定理从设计非正交列向量极小化的观点上MMA设计就是一个循序极小化当t=1,.,m的设计.3. 最优化结果这部分为上文提到的各种设计准则提供了一些最优化结果。我们的讨论集中在平衡非对称设计，也就是说设计。对于这个设计，我们的目标是最小化其成分。当它们相互等价时，由于它简易的概念和在理论上发展的有效性，我们只研究力矩测

12、量。3.1.一些下界优化理论（Marshall和Olkin（1979）对研究当时的性质是一个适当的工具。最近优化为FFDs的程序不仅包括Cheng和Mukerjee(1998)以及Cheng,Steinberg和Sun(1999)在估计能力方面，还有Zhang,Fang,Li和Sudjianto(2005)在对平衡FFDs成对出现估计的方面。回顾这两个不同的非负成分的矢量和和成分的相同总和，对所有如果，则x认为被y优化了，其中是x和y各自的有序部分。如果不论何时x都被y优化且，那么x的一个实值函数f被称为舒尔-凸函数。从t双曲正切函数动力矩定义中，我们知道它是一个不同的行向量设计间的加权重合数

13、的函数。对于一个，设计D且任意给定权重，当i=1,.,n 很容易看出，MtD是该向量的舒尔凸函数D=12D，1nD,23D,，2nD,，n-1nD, (8)对任意t2引理2 让D和D*成为两个U（n;q1,，qm)设计，D和（D*）分别用（8）的向量定义，如果D通过优化成为(D*)，那么对任意t2，有MtD*MtD。特别有，如果任意D通过优化成为(D*)，那么即MtD*是最小的，D*是一个MMA设计。从这个引理和（7）式，我们得出以下结论，还通过Xu给定（2003，定理6）引理 3 对于U（n;q1,，qm)的设计D和t2，MtDt，当且仅当ij(D)中定义（2）是一个常数,对所有的i<

14、j等式成立，其中k=1mk(nqk-1)/(n-1)。注1 从推论1，通过使k = qk，对于D22（D），A2（D）和2（D）下界可以直接得出，引理3中的这些边界是严格在相同的条件的。特别有，对于2（D），其下限用与Yumada和Matsui（2002）相同的方法得到，但他们并没有给予足够的必要条件实现这个下限。注2引理3给出下限可达到的条件。对于n,m,q1,，qm;1,，k的一些值，这个下界是可以实现的。例如，当D是一个饱和的Dn,m,q1,，qm;2，假设自然权重k=qk对于1km,下界可实现为D=（m-1，m-1）(Mukerjce和Wu（1995）)。i<j时，部分ij(D)

15、不等于=k=1mknqk-1n-1,下限可以升高。对给定m，qk和k,让=k=1mkij(k):ij(k)=0,1,对k=1m在，让L和U是两个最接近=k=1mknqk-1n-1的值,满足LU。易得，如果存在一个U(n;q1;qm)设计的D*，其中对i<j，ij(D*)的取值从L到U，那么对任意其他U(n;q1;qm)设计的D，(D*)是(D)的优化，即，D*是MMA设计。条件（7）所确定L和U的次数出现在(D*)。因此，这样的结果可作如下表示。定理3 给定k中所有k，则对于U(n;q1;qm)设计的D和t2，有 MtDU-U-LLt+-LU-LUt, (9)等号成立当且仅当对任意i，在

16、1iD,，i-1iD，ii+1D，inD，L的值为(n-1)(U-)(U-L)和U的值为n-1(-L)(U-L)。备注3 如果等号成立（9）中对于一个特定的t，将Mt(D)最小化，当i2并且it时，所有其他的Mt(D)由，L和U的值唯一确定，因此，设计D是MMA的设计。此外，当L=时，这个定理中的下限包括在引理3中的一种特殊情况。基于在最后一节的拓展关系，我们有推论2 假设对所有的k有k=qk，那么对于一个U(n;q1;qm)的设计D，M2D（U+L)-UL,D22D;K=A2D=2Dnn-22n2(U+L-UL-22等式成立的充分必要条件是与定理3的条件相同，除了在计算，L和U时将k用qk代

17、替。根据注3，这个推论告诉我们，当下界M2D是由设计D实现时，那么D是MMA的设计。这也是最佳的D22D;K，A2D和2D。最近，Li，Liu和Zhang在2004得到的下界2D，它是的下界在推论给定中的一个特例。注意，这里推算得到的最优结果还统一了所得到的结果，例如Liu和Hickernell（2002年），Fang，Ge，Liu和Qin（2003年，2004年b），Xu（2003）等，为对称的FFD。3.2 优化设计我们发现，大多数实现这些推论2提供下界的设计是SSDs。由于不对称SSDs，Yumada和Matsui（2002年）, Yumada和Lin（2002）的通过计算机搜索对建设2

18、和3级的SSDs提出了两个方法。但他们得到的设计总是无法达到下限2D。Fang，Lin和Liu（2003）提出了一种构建E(fNOD)-最优化不对称的SSDs，称之为饱和正交矩阵的分数（FSOA）方法，这是Lin（1993）的一个半数扩展的阿达玛矩阵法。近日，Li，Lin，Zhang（2004）扩展了FSOA方法的最优不对称SSDs的建设和研究了设计结果的特性。以他们的方法构造的设计也是最佳的MMA, D22D和A2D。另一个关于非对称SSDs构造的论文是方，Ge，Liu和Qin发表（2004a）。在该论文中，他们成立了一种组合设计，是在SSD和一致可分解设计之间的重要桥梁，并获得了几个新的无

19、限E(fNOD) -最优化的SSDs。从Fang，Ge，Liu和Qin的（2004年）总结发言我们知道，他们所有的设计是任何两个不同行之间的一个恰巧位置。此外，我们可以看到，大部分的设计都是D(n;p1,qm-1)的形式。对于D(n;p1,qm-1)的设计，我们有以下结果。定理4 设D是一个D(n;p1,qm-1)设计，其中pq和n/p+(m-1)n/q-m=n-1。如果在任何两个不同的行之间正好有一个重合的位置D，则D是一个具有自然权重的MMAA设计，并且它也是最佳的 D22D，A2D和MMA。从这个定理，我们可以简单的得出以下结论，当pq,E(fNOD) -最优化的D(n;p1,qm-1)

20、中U(n;q1;qm)由于Fang，Ge，Liu和Qin（2004年）仍然是最优的D22D，A2D和MMA。列并置的方法也可用于构建非对称的SSDs。Li，Liu，Zhang（2004年）把它应用到构建2D优化和MMA的设计，他们假设对于所有的k，有k =qk。显然，所得到的设计D22D和A2D也是最佳的。推论3 设Dt执行与平衡设计相同的数量，1tl，对于所有的k，给定权重k，如果数字加权恰好为ijDt，当i<j时对每个设计是恒定的，则D=(D1,，Dl)是MMA的设计。特别是，如果假定在自然权重k =qk对于所有的k都成立，根据D22D，A2D和2D,D也是最佳的。基于该推论，许多最

21、佳的SSD都可以构造，不仅从强度2的饱和正交阵列中，还从具有给定属性的SSD中所示的推论，如依据Liu和Zhang（2000），Fang，Lin和Ma（2000），Fang，Ge，Liu（2002年，2004年）和Fang，Ge，Liu和Qin（2003年，2004年b）的设计。除上述之外的方法，不对称的SSD的结构仍然需要进行进一步的研究。致谢200804，香港浸会大学FRG/03-04/ II-711和BGC/浸大/2007 /03P.The作者感谢共同主编，副主编和裁判提出的宝贵意见。附录 证明定理1 。 很容易验证，对于任何设计， (10) 因此，从结果（b）在2.3节， ，（11）因

22、此的表达式如下。作为，注意 (12)对于任何设计,和任意不同的 (13)因此从（4），我们可以看到明示中的（12）项，然后通过交换在表达式中的顺序求和并使用（13），我们得到.带（11）和引理1精梳，证明完成。证明定理2. 证明对于设计，因而因此，从（10),然后在定理的等式由结果（b）在2.3节.定理4.对于参数满足和,与自然的权重，可以容易观察到，和在推论2最接近值和只能是和。对于的设计恰好与一个巧合位置之间只是采取不同的行，其自然加权巧合数只取两个值和，因此这种设计的最优距离如下推论2。参考Cheng,C.S和Mukerjee，R.（1998）.普通部分因子设计，以最小的像差和最大容量估

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