恒高——复数整章重难点复习——学生版

1、教师辅导学案 年 级：高二 辅导科目：数学 学员姓名：何彦瑾 授课类型复数重难点复习教学目标复习复数的常见题型教学内容复数1、 复数的概念1. 虚数单位i（1） 它的平方等于，即；（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律（3） i的乘方：，它们不超出的形式2. 复数的定义形如的数叫做复数，单个复数常常用字母z表示把复数z表示成时，叫做复数的代数形式分别叫做复数的实部与虚部，记作注意复数的实部和虚部都是实数3. 复数相等如果两个复数和的_和_分别相等，即，那么这两个复数相等，记作一般的，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小（只有实数

2、可以比较大小）4. 共轭复数当两个复数实部_，虚部_时，这两个复数叫做互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭复数z的共轭复数用，也就是当时， ，2、 复数的分类 _ _ _ _复数C _ _ _ _是实数是纯虚数3、 复平面及复数的坐标表示1. 复平面在直角坐标系里，点z的横坐标是，纵坐标是，复数可用点来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴除去原点的部分称为虚轴2. 复数的坐标表示一个复数对应了一个有序实数对；反之一个有序实数对对应了一个复数在复平面内，复数与复平面内的点是一一对应的我们常把复数看作点3. 复数的向量表示在复平面内，复数与点是一一对应的，而点与向

3、量（O为原点）又成一一对应，因此复数与向量也是一一对应的，即复数可由向量表示，并且规定相等的向量表示同一个复数我们也把复数看作向量4. 复数的模在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作由定义知，特别地，如果，则就是一个实数，它的模就等于，故模是实数中绝对值概念在复数中的推广4、 复数的运算1. 加法（1） 法则复数的加法按照以下规定的法则进行：设，是任意两个复数，则它们的和是（2） 性质 交换律： 结合律：（3） 几何意义设对应向量，对应向量，则对应的向量为因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释2. 减法（1） 法则复数的减法是加法的逆运算设，是任意两个复数，则它们

4、的差是（2） 几何意义设对应向量，对应向量，则对应的向量为表示、两点之间的距离，也等于向量的模3. 乘法（1） 法则复数的乘法规定为：（2） 性质交换律： ； 结合律：； 分配律：4. 乘方（1） 法则复数的乘方运算是指几个相同复数相乘（2） 性质； ； 5. 除法复数的除法是乘法的逆运算，即复数除以复数的商是指满足的复数，记作一般通过“分母实数化”进行除法运算，即6. 复数运算的常用结论（1） ，（2） ，（3） ，（4） ，（5） ，（6）（7） ，5、 复数的平方根与立方根1. 平方根如果复数和满足，则称是的一个平方根，也是的平方根-1的平方根是2. 立方根如果复数、满足，则称是的立方根

5、（1） 1的立方根：，（2） 的立方根：6、 复数方程1. 常见图形的复数方程（1） （其中，为常数），表示_；（2） （其中分别对应点）：_；（3） （其中且）：_；（4） （其中且）：_。2. 实系数方程在复数范围内求根（1） 求根公式：（2）韦达定理：3. 复系数方程问题常见类型（1） 已知方程的实根，求方程的复系数解法：设，将方程的实根代入方程，利用复数相等的性质求解得到（2） 求解复系数方程的根解法：设方程的根，代入方程，利用复数相等的性质求解得到复根【基本概念】1、若、都是复数，则“”是“” 的( )(A) 充要条件 (B) 既非充分条件又非必要条件(C) 充分而非必要条件 (D)

6、 必要而非充分条件2、在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”类似的，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”定义如下：对于任意两个复数，（），当且仅当“”或“且”按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：若，则；若，则；若，则，对于任意，；对于复数，若，则.其中所有真命题的个数为 【 】A1 B2 C3 D43、给出下列命题，其中正确的命题是 （ ）(A)，且，那么一定是纯虚数 (B)若、且，则 (C) 若，则不成立 (D) 若，则方程只有一个根【复数的等价性运算】1、复数问题实数化时，设复数，不要忘记条件.两复数，的条件是_.这是复数求值的主要依据.根据条件，

7、求复数的值经常作实数化处理.例1、若复数满足：，则.2、对于复数，有下列常见性质：（1）为实数的充要条件是；（2）为纯虚数的充要条件是；（3）；（4）.例2、设复数满足：（1）（2），求复数.【复数方程】1、实系数一元二次方程若存在虚根，则此两虚根互为共轭.若虚系数一元二次方程存在实根不能用判别式判断.例1、若方程的两根满足，求实数的值.例2、若方程有实根，则实数k满足（ ）（A）（B）或（C）或（D）3、看清楚数域，到底是在实数范围内解方程，还是复数范围内求解。例3、在复数范围内方程的解的个数为（）（A）2（B）4（C）6（D）8例4、若是方程的一个根，则p的值为（ ）（A）（B）（C）13

8、（D）例5、设复数与复平面上点对应.（1）若是关于的一元二次方程（）的一个虚根，且，求实数的值；（2）设复数满足条件（其中、常数），当为奇数时，动点的轨迹为. 当为偶数时，动点的轨迹为. 且两条曲线都经过点，求轨迹与的方程；（3）在（2）的条件下，轨迹上存在点，使点与点的最小距离不小于，求实数的取值范围.例6、 (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题6分. 设虚数满足为实常数，为实数）.（1） 求的值；（2） 当，求所有虚数的实部和；（3） 设虚数对应的向量为（为坐标原点），如，求的取值范围.【几何意义】1、的几何意义是复平面上对应点之间的距离，的几何意

9、义是复平面上以对应点为圆心，为半径的圆.例1、如果复数满足，那么的最小值 （ ）A1BC2 D例2、若表示的动点的轨迹是椭圆，则的取值范围是.例3、已知复数满足（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为 （ ） A双曲线的一支 B双曲线 C一条射线 D两条射线 例4、已知集合， ，若，则、之间的关系是 （ ） 【运算法则】1、实数的运算性质错误的推广到了复数中应用，导致了逻辑错误。例1、式子的化简结果是（ ）（A）（B）（C）（D）无意义【两类复数运算的周期性变化】例1、集合ZZ，用列举法表示该集合，这个集合是（ ）A0，2，2 B.0，2 C.0，2，2，2 D.0，2

10、，2，2，2例2、若,则等于( )例3、 利用1的立方根，求复数64的立方根例4、若复数z满足方程等于 （ ）ABCD【新定义】1、（11金山一模）(本题14分)阅读：设Z点的坐标(a, b)，r=|，是以x轴的非负半轴为始边、以OZ所在的射线为终边的角，复数z=a+bi还可以表示为z=r(cos+isin)，这个表达式叫做复数z的三角形式，其中，r叫做复数z的模，当r0时，叫做复数z的幅角，复数0的幅角是任意的，当0<2时，叫做复数z的幅角主值，记作argz根据上面所给出的概念，请解决以下问题：(1)设z=a+bi =r(cos+isin) (a、bÎR，r0)，请写出复数的

11、三角形式与代数形式相互之间的转换关系式；(2)设z1=r1(cos1+isin1)，z2=r2(cos2+isin2)，探索三角形式下的复数乘法、除法的运算法则，请写出三角形式下的复数乘法、除法的运算法则(结论不需要证明)【巩固练习】1、若非零复数满足,则的值是（ ）A1BCD2、若复数满足则的值是_.3、已知，求_4、已知，且，则_5、在复平面内一动点M所对应的复数为z，且满足是纯虚数又复数，它对应复平面内的动点为P，求点P的轨迹方程6、若，求7、关于的方程的一个根是，在复平面上的一个点对应的复数满足，则的取值范围是 8、已知（为虚数单位）是一元二次方程 (均为实数)的一个根，则=_. 9、

12、已知复数，则 10、若，（表示虚数单位），且为纯虚数，则实数 .11、设为虚数单位，集合，集合，则12、设是纯虚数，求复数z对应的点的轨迹方程13、使不等式成立的实数m A1 B0 C3 D复数无法比较大小14、在复平面内一动点M所对应的复数为z，且满足是纯虚数又复数，它对应复平面内的动点为P，求点P的轨迹方程15、设z是虚数，是实数，且（1）求的值及z的实部的取值范围，（2）设，求证为纯虚数，（3）求的最小值16、已知，且，则_17、已知，求_18、已知，且（1）求的最大值（2）复数z的实部与虚部的和的最大值19、如果复数满足，那么的最小值 （ ）A1BC2 D20、已知,则等于( )A B C D 21、若,则等于( )A B C D 2