高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量的线性运算学案新人教B版选修21

1、3.1.1空间向量的线性运算学习目标1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.3.掌握数乘向量运算的意义及运算律知识点一空间向量的概念思考类比平面向量的概念，给出空间向量的概念梳理(1)在空间，把具有_和_的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_或_空间向量也用有向线段表示，有向线段的_表示向量的模，向量a的起点是a，终点是b，则向量a也可记作，其模记为_(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量起点与终点重合的向量叫做_，记为0单位向量_的向量称为单位向量相反向量与向量a长度_

2、而方向_的向量，称为a的相反向量，记为a相等向量方向_且模_的向量称为相等向量，_且_的有向线段表示同一向量或相等向量共线向量或平行向量有向线段所在的直线叫做向量的基线如果空间中一些向量的基线_，则这些向量叫做_或_知识点二空间向量的加减运算及运算律思考1下面给出了两个空间向量a、b，作出ba，ba.思考2由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？梳理(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算ab，ab.(2)空间向量加法交换律ab_，空间向量加法结合律(ab)ca(bc)知识点三数乘向量运算思考实数和空间向量a的乘积a的意义

3、是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？梳理(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作a，其长度和方向规定如下：|a|_.当>0时，a与向量a方向相同；当<0时，a与向量a方向_；当0时，a0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律(a)_；(ab)_.类型一有关空间向量的概念的理解例1给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量a，b满足|a|b|，则ab；在正方体abcda1b1c1d1中，必有；若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp.其中不正确的个数是()a1 b2c3 d4反思与感悟在空间中

4、，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反跟踪训练1(1) 在平行六面体abcda1b1c1d1中，下列四对向量：与；与；与；与.其中互为相反向量的有n对，则n等于()a1 b2c3 d4(2)如图，在长方体abcdabcd中，ab3，ad2，aa1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：单位向量共有多少个？试写出模为的所有向量试写出与向量相等的所有向量试写出向量的所有相反向量类型二空间向量的加减运算例2如图，已知长方体abcdabcd，化简下列向量表达式，并在图中标出化简

5、结果的向量(1)；(2).引申探究利用例2题图，化简.反思与感悟(1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即an1an.(2) 首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，0.(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即aba(b)(4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律(5)空间向量加法结合律的证明：如图，(ab)c()，a(bc)()，所以(ab)ca(bc)跟踪训练2在如图所示的平行六面体中，求证：2.类型三数乘向量运算例3如图所

6、示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，设a，b，c，m，n，p分别是aa1，bc，c1d1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).引申探究若把本例中“p是c1d1的中点”改为“p在线段c1d1上，且”，其他条件不变，如何表示？反思与感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质跟踪训练3如图，在空间四边形oabc中，m，n分别是对边oa，bc的中点，点g在mn上，且mg2gn，如图所示，记a，b，c，试用向量a，b

7、，c表示向量.1下列命题中，假命题是()a同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小b两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同c只有零向量的模等于0d空间中任意两个单位向量必相等2在平行六面体abcda1b1c1d1中，与向量相等的向量共有()a1个 b2个 c3个 d4个3向量a，b互为相反向量，已知|b|3，则下列结论正确的是()aab bab为实数0 ca与b方向相同 d|a|34在正方体abcda1b1c1d1中，已知下列各式：()；()；()b1c1；().其中运算的结果为的有_个5化简2233_.1一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的(2)单位向量方

8、向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量2空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果提醒：完成作业第三章3.1.1答案精析问题导学知识点一思考在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量梳理(1)大小方向长度模长度|a|或|(2)零向量

9、模为1相等相反相同相等同向等长互相平行或重合共线向量平行向量知识点二思考1如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面内，以任意点o为起点作a，b，则ab，ba.思考2先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则梳理(2)ba知识点三思考>0时，a和a方向相同；<0时，a和a方向相反；a的长度是a的长度的|倍空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：分配律：(ab)ab，结合律：(a)()a.梳理(1)|a|相反(2)()aab题型探究例1b跟踪训练1(1)b(2)解由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，.与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及.向量的相反向量有，.例2解(1