2020版八年级数学下册第1章直角三角形1.4角平分线的性质课件新版湘教版

1、1.4角平分线的性质【知识再现知识再现】1.1.角的平分线：在角的内部，把角分成两个相等角的角的平分线：在角的内部，把角分成两个相等角的_叫作角的平分线叫作角的平分线.2.2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边全等三角形的性质：全等三角形的对应边_，对应角，对应角_._.射线射线相等相等相等相等3.3.三角形全等的判定方法：三角形全等的判定方法：(1)_(1)_；(2)_(2)_；(3)_(3)_；(4)aas(4)aas；(5)hl.(5)hl.sssssssassasasaasa【新知预习新知预习】阅读教材阅读教材p22-24p22-24，归纳结论：，归纳结论：1.oc1.oc是是aob

2、aob的平分线，点的平分线，点p p是射线是射线ococ上的任意一点，上的任意一点，操作测量：取点操作测量：取点p p的三个不同的位置，分别过点的三个不同的位置，分别过点p p作作pdoapdoa，peobpeob，点，点d d，e e为垂足，测量为垂足，测量pdpd，pepe的长的长. .将将三次数据填入下表：观察测量结果，猜想线段三次数据填入下表：观察测量结果，猜想线段pdpd与与pepe的大小关系，写出结论为的大小关系，写出结论为_._.pd=pepd=pepdpdpepe第一次第一次第二次第二次第三次第三次2.2.你能用所学知识证明以上你发现的结论吗？你能用所学知识证明以上你发现的结论

3、吗？已知：已知：ococ是是aobaob的平分线，点的平分线，点p p在在ococ上，上，pdoapdoa，peobpeob，垂足分别是，垂足分别是d d，e e，如图所示，求证：，如图所示，求证：pd=pe.pd=pe.证明：证明：pdoapdoa，peobpeob，pdo=peo=_pdo=peo=_，在在pdopdo和和peopeo中，中， pdopdopeo(_)peo(_)，pd=_.pd=_.9090aasaaspepe3.3.反过来，若反过来，若p p为为aobaob内的一点，且点内的一点，且点p p到边到边oaoa、obob的的距离相等，即距离相等，即pd=pepd=pe，你认

4、为经过点，你认为经过点p p的射线的射线ococ平分平分aobaob吗？为什么？吗？为什么？解：解：平分；平分；( (提示：先利用提示：先利用hlhl证明三角形全等，然后利证明三角形全等，然后利用全等三角形的对应角相等即可证明用全等三角形的对应角相等即可证明) )4.4.通过以上探索和证明，我们得出了角平分线的性质通过以上探索和证明，我们得出了角平分线的性质是：是：性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. .逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上分线上. .【基础小练基础小练】请自我检

5、测一下预习的效果吧！请自我检测一下预习的效果吧！1.(20191.(2019盐城盐都区期末盐城盐都区期末) )如图，如图，aoao是是bacbac的平分的平分线，线，omacomac于点于点m m，onabonab于点于点n n，若，若on=8 cmon=8 cm，则，则omom长长为为( ( ) )c ca.4 cma.4 cm b.5 cmb.5 cmc.8 cmc.8 cmd.20 cmd.20 cm2.(20192.(2019滨州期末滨州期末) )如图，如图，adad平分平分bacbac交交bcbc于点于点d d，deabdeab于点于点e e，dfacdfac于点于点f.f.若若s

6、sabcabc=12=12，df=2df=2，ac=3ac=3，则，则abab的长是的长是( ( ) )d da.2a.2b.4b.4c.7c.7d.9d.93.3.如图，点如图，点p p到到aobaob两边的距离相等，若两边的距离相等，若pob=30pob=30，则，则aob=_aob=_度度.6060知识点一知识点一 角平分线的性质定理角平分线的性质定理(p22(p22探究拓展探究拓展) )【典例典例1 1】如图，已知在如图，已知在abcabc中，中，bdbd是角平分线，是角平分线，c=90c=90，abc=bacabc=bac，o o是是bdbd上一点，上一点，ombcombc于点于点m

7、 m，onaconac于点于点n n，且，且om=onom=on，过点，过点o o作作opabopab于点于点p.p.世纪金世纪金榜导学号榜导学号(1)(1)求求abdabd的度数的度数. .(2)(2)求证：求证：aoao平分平分bac.bac.(3)(3)判断判断bmbm与与anan之间的数量关系，并说明理由之间的数量关系，并说明理由. .【自主解答自主解答】(1)(1)在在abcabc中，中，c=90c=90，abc=bac=45abc=bac=45，又又bdbd是角平分线，是角平分线，abdabd的度数为的度数为22.522.5. .(2)(2)obob平分平分cbacba，ombco

8、mbc，opabopab，om=opom=op，om=onom=on，on=opon=op，又又onaconac，opabopab，aoao平分平分bac.bac.(3)bm(3)bm与与anan之间的数量关系：之间的数量关系：bm=an.bm=an.理由：理由：aoao平分平分bacbac，oap=22.5oap=22.5，又又abdabd的度数为的度数为22.522.5，oap=obpoap=obp，ao=boao=bo，又又om=onom=on，在在rtrtbombom和和rtrtaonaon中，中， rtrtbomrtbomrtaon(hl)aon(hl)，an=bm.an=bm.ao

9、bo,omon，【学霸提醒学霸提醒】应用角平分线的性质的两点注意应用角平分线的性质的两点注意1.1.应用角平分线的性质时，角平分线、角平分线上的应用角平分线的性质时，角平分线、角平分线上的点到角两边的距离两个条件缺一不可，不能错用为角点到角两边的距离两个条件缺一不可，不能错用为角平分线上的点到角两边任意点距离相等平分线上的点到角两边任意点距离相等. .2.2.由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段相等，由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段相等，这是证线段相等的一个简便方法这是证线段相等的一个简便方法. .【题组训练题组训练】 1.(20191.(2019临沂质检临沂质检) )如图，在直角

10、坐标系中，如图，在直角坐标系中，adad是是rtrtoaboab的角平分线，点的角平分线，点d d的坐标是的坐标是(0(0，-3)-3)，那么点，那么点d d到到abab的距离是的距离是_._.3 32.(20192.(2019沁阳期末沁阳期末) )如图，已知如图，已知abcabc的周长是的周长是1818，obob，ococ分别平分分别平分abcabc和和acbacb，odbcodbc于点于点d d，且，且od=2od=2，则，则abcabc的面积是的面积是_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号18183.3.如图所示，在如图所示，在abcabc中，中，bac=90bac=90，adbcadbc

11、于于d d，acbacb的平分线交的平分线交adad于于e e，交，交abab于于f f，fgbcfgbc于于g g，请猜，请猜测测aeae与与fgfg之间有怎样的关系，并说明理由之间有怎样的关系，并说明理由. .世纪金世纪金榜导学号榜导学号解：解：ae=fgae=fg，aefg.aefg.理由如下：理由如下：cfcf是是acbacb的平分线，的平分线，bac=90bac=90，fgbcfgbc，adbcadbc，fa=fgfa=fg，afc+acf=90afc+acf=90，fcd+ced=90fcd+ced=90，acf=fcdacf=fcd，afc=cedafc=ced，aef=ceda

12、ef=ced，aef=afcaef=afc，ae=afae=af，ae=fgae=fg，adbcadbc，fgbcfgbc，aefgaefg，ae=fgae=fg，aefg.aefg.知识点二知识点二 角平分线的性质定理的逆定理角平分线的性质定理的逆定理(p23(p23例例1 1、p24p24动脑筋拓展动脑筋拓展) )【典例典例2 2】如图，已知如图，已知abcabc的的abcabc与与acbacb的外角平的外角平分线交于点分线交于点d d，求证：，求证：d d在在bacbac的平分线上的平分线上. .【自主解答自主解答】略略【学霸提醒学霸提醒】证明角平分线的证明角平分线的“两种方法两种方法”

13、1.1.定义法：应用角平分线的定义定义法：应用角平分线的定义. .2.2.定理法：应用定理法：应用“角的内部到角的两边的距离相等的角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上点在角的平分线上”来判定来判定. .判定角平分线时，需要满判定角平分线时，需要满足两个条件：足两个条件：“垂直垂直”和和“相等相等”. .【题组训练题组训练】 1.1.如图，在如图，在abcabc中，中，b=42b=42，adbcadbc于点于点d d，点，点e e是是bdbd上一点，上一点，efabefab于点于点f f，若，若ed=efed=ef，则，则aecaec的度数为的度数为( ( ) )a.60a.60b.6

14、2b.62c.64c.64d.66d.66d d2.(20192.(2019上海浦东新区期末上海浦东新区期末) )已知已知abcabc内一点内一点p p，如果点如果点p p到到abab，acac两边的距离相等，则点两边的距离相等，则点p p( ( ) )a.a.在在bcbc边的垂直平分线上边的垂直平分线上b.b.在在bcbc边的高上边的高上c.c.在在bcbc边所对角的平分线上边所对角的平分线上d.d.在在bcbc边的中线上边的中线上c c3.(20193.(2019宜昌伍家岗区期末宜昌伍家岗区期末) )在正方形网格中，在正方形网格中，aobaob的位置如图所示，到的位置如图所示，到aobao

15、b两边距离相等的点应两边距离相等的点应是是( ( ) )a.ma.m点点b.nb.n点点c.pc.p点点d.qd.q点点a a4.4.如图，如图，adad是是abcabc的角平分线，的角平分线，dede，dfdf分别是分别是abdabd和和acdacd的高的高. .世纪金榜导学号世纪金榜导学号求证：求证：(1)def=dfe.(2)ad(1)def=dfe.(2)ad垂直平分垂直平分ef.ef.证明：证明：(1)ad(1)ad是是abcabc的角平分线，的角平分线，deabdeab，dfacdfac，de=dfde=df，def=dfe.def=dfe.(2)(2)在在rtrtaedaed和和

16、rtrtafdafd中，中， rtrtaedrtaedrtafdafd，ae=afae=af，ead=fadead=fad，adad垂直平分垂直平分ef.ef.adad,dedf,【火眼金睛火眼金睛】已知：如图所示，已知：如图所示，bfbf与与cece相交于点相交于点d d，bd=cdbd=cd，bfacbfac于点于点f f，ceabceab于点于点e.e.求证：点求证：点d d在在bacbac的平分线上的平分线上. .【正解正解】bfacbfac，ceabceab，bed=cfdbed=cfd，在在bdebde和和cdfcdf中，中， bdebdecdf(aas)cdf(aas)，de=d

17、fde=df，adad是是bacbac的平分线，即的平分线，即d d在在bacbac的平分线上的平分线上. .bedcfd,bdecdf,bdcd, 【一题多变一题多变】如图，已知如图，已知abcabc中，中，c=90c=90，adad平分平分cabcab，且，且bc=8bc=8，bd=5bd=5，则点，则点d d到到abab的距离是多少？的距离是多少？解：解：过点过点d d作作deabdeab于点于点e e，在在abcabc中，中，c=90c=90，adad平分平分cabcab，de=cdde=cd，bc=8bc=8，bd=5bd=5，cd=bc-bd=3cd=bc-bd=3，de=cd=3de=cd=3，即点即点d d到线段到线段abab的距离是的距离是3.3.【母题变式母题变式】(2019(2019德惠期末德惠期末) )如图，在如图，在rtrtabcabc中，中，c=90c=90，adad平分平分cabcab，cd=1.5cd=1.5，bd=2.5bd=2.5，求，求acac的长的长. .世纪金世纪金榜导学号榜导学号解：解：如图，过如图，过d d作作deabdeab于点于点e e，c=90c=90，adad平分平分cabca