培优专题12全等三角形及其应用含答案

1、6、全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2. 全等三角形的表示方法：若abc和abc是全等的三角形，记作 “abcabc其中，“”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应

2、的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折 如图（1），dbocdeod，dboc可以看成是由deod沿直线ao翻折180°得到的；旋转 如图（2），dcoddboa，dcod可以看成是由dboa绕着点o旋转180°得到的；平移 如图（3），ddefdacb，ddef可以看成是由dacb沿cb方向平行移动而得到的。5

3、. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2） 推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即aaa；b :有两边和其中一角对应相等，即ssa。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。【分类解析】全等三角形知识的应用（1） 证明线段（或角）相等 例1：如图，已知ad=ae,ab=ac.求证：bf=fc分析：由已知条件可

4、证出acdabe，而bf和fc分别位于dbf和efc中，因此先证明acdabe，再证明dbfecf，既可以得到bf=fc.证明：在acd和abe中， acdabe (sas) b=c（全等三角形对应角相等）又 ad=ae,ab=ac. abad=acae 即 bd=ce在dbf和ecf中 dbfecf （aas） bf=fc （全等三角形对应边相等）（2）证明线段平行例2：已知：如图，deac，bfac，垂足分别为e、f，de=bf，af=ce.求证：abcd分析：要证abcd，需证ca，而要证ca，又需证abfcde.由已知bfac，deac，知decbfa=90°，且已知de=b

5、f，af=ce.显然证明abfcde条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证ca,进一步证明abcd.证明： deac，bfac （已知） decbfa=90° （垂直的定义）在abf与cde中， abfcde（sas） ca (全等三角形对应角相等) abcd （内错角相等，两直线平行）（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例3：如图，在 abc中，ab=ac，延长ab到d，使bd=ab，取ab的中点e，连接cd和ce. 求证：cd=2ce分析：()折半法：取cd中点f，连接bf，再证cebcfb.这里注意利用bf是acd中位线这个条件。证明：取

6、cd中点f，连接bf bf=ac,且bfac （三角形中位线定理） acb2 (两直线平行内错角相等)又 ab=ac acb3 （等边对等角） 32在ceb与cfb中， cebcfb (sas) ce=cf=cd （全等三角形对应边相等）即cd=2ce （）加倍法证明：延长ce到f，使ef=ce，连bf.在aec与bef中，aecbef (sas) ac=bf, 43 (全等三角形对应边、对应角相等) bfac (内错角相等两直线平行) acb+cbf=180o,abc+cbd=180o,又ab=ac acb=abccbf=cbd （等角的补角相等）在cfb与cdb中， cfbcdb (sas

7、) cf=cd即cd=2ce说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取ac中点f，连bf(如图)（b为ad中点是利用这个办法的重要前提），然后证ce=bf.(4)证明线段相互垂直例4：已知：如图，a、d、b三点在同一条直线上，adc、bdo为等腰三角形，ao、bc的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：ao=bc，aobc.证明：延长ao交bc于e,在ado和cdb中 adocdb (sas) ao=

8、bc, oad=bcd（全等三角形对应边、对应角相等） aodcoe （对顶角相等） coe+oce=90o aobc5、中考点拨：例1如图，在abc中，abac，e是ab的中点，以点e为圆心，eb为半径画弧，交bc于点d，连结ed，并延长ed到点f，使dfde，连结fc求证：fa分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中a、f不在全等的两个三角形中，但由已知可证得efac，因此把a通过同位角转到bde中的bed，只要证ebdfcd即可证明：abac，acbb，ebed，acbedbedacbedabeeabdcd又dedf，bdecdfbdecdf，bedffa说

9、明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。例2 如图，已知 abc为等边三角形，延长bc到d，延长ba到e，并且使ae=bd，连接ce、de.求证：ec=ed 分析：把已知条件标注在图上，需构造和aec全等的三角形，因此过d点作dfac交be于f点，证明aecfed即可。证明：过d点作dfac交be于f点 abc为等边三角形 bfd为等边三角形 bf=bd=fd ae=bd ae=bf=fd aeaf=bfaf 即 ef=ab ef=ac在 ace和dfe中，

10、aecfed（sas） ec=ed（全等三角形对应边相等）题型展示：例1 如图，abc中，c2b，12。求证：abaccd分析：在ab上截取aeac，构造全等三角形，aedacd，得dedc，只需证debe问题便可以解决证明：在ab上截取aeac，连结de aeac，12，adad， aedacd， dedc，aedc aedbedb，c2b， 2bbedb即 bedb ebed，即eddc， abacdc剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作aeac是利用了角平分线是角的对称轴的特

11、性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容【实战模拟】1. 下列判断正确的是（ ）（a）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（b）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等（c）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等（d）有两角和一边对应相等的两个三角形全等2. 已知：如图，cdab于点d，beac于点e，be、cd交于点o，且ao平分bac求证：oboc3. 如图，已知c为线段a

12、b上的一点，dacm和dcbn都是等边三角形，an和cm相交于f点，bm和cn交于e点。求证：dcef是等边三角形。4.如图，在abc中，ad为bc边上的中线求证：ad<(ab+ac) 5. 如图，在等腰rtabc中，c90°，d是斜边上ab上任一点，aecd于e，bfcd交cd的延长线于f，chab于h点，交ae于g求证：bdcg【试题答案】1. d2.证明： ao平分odb，cdab于点d，beac于点e，be、ce交于点o， odoe，odboec90°, bodcoe。 bodcoe（asa）oboc3. 分析 由Ðacm=Ðbcn=60&

13、#176;，知Ðecf=60°，欲证dcef是等边三角形，只要证明dcef是等腰三角形。先证dcandmcb，得Ð1=Ð2.再证dcfndceb，即可推得dcef是等边三角形的结论。证明：在dcan和dmcb，ac=mc，cn=cb，Ðcan=Ðmcb=120°，dacndmcb中， Ðfcb和dceb中，Ðfcn=Ðecb=60°，Ð1=Ð2，cn=cb，dcfndceb，cf=ce，又Ðecf=60°， dcef是等边三角形.4. 分析： 关于线段不等的问题，一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论，由于ab、ac、ad不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也就是将线段相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注意ad是bc边上的中线，延长ad至e，使dead，即可得到acdebd证明：延长ad到e，使dead，连结be在dacd与debd中 dacddebd（sas） aceb（全等三角形对应边相等）在dabe中，abebae（三角形两边之和大于第三边） abac2ad（等量代换） 说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。5.分析：由于bd与cg分别在两个三角形中，欲证b