两点间的距离公式和中点公式

1、圆直线直线圆平面直角坐标系中的 距离公式和中点公式 一般地，如果一般地，如果 a(x1)，b(x2) ，则这两点的距离公式为，则这两点的距离公式为1.数轴上的距离公式数轴上的距离公式|ab|x2x1|2.数轴上的中点公式数轴上的中点公式 一般地，在数轴上，一般地，在数轴上，a(x1)，b(x2) 的中点坐标的中点坐标 x 满足关系式满足关系式x=221xx xybaca1a2b2b1o过过 a，b 分别向分别向 x 轴作垂线轴作垂线aa1，bb1，垂足分别为，垂足分别为 a1，b1 ； 如图所示设如图所示设 a(x1，y1)，b(x2，y2) 过过 a，b 分别向分别向 y 轴作垂线轴作垂线a

2、a2，bb2，垂足分别为，垂足分别为 a2，b2 ；其中直线其中直线 bb1 和和 aa2 相交于相交于 点点 c 平面上两点间的距离公式平面上两点间的距离公式 a(x2 ，y2)xyb(x2，y2)o设点设点 a(x1，y1)，b(x2，y2) ，则，则 212212)()(|yyxxab因为因为x12，x22，y14，y23， 例例1已知已知 a(2，4)，b(2，3) ，求，求 |ab| 因此因此所以所以 dxx2x1224， dyy2y13(4)7解：解：657)4(|2222yxddab求两点之间的距离：求两点之间的距离：（1）a（6，2），），b（2，5）；）；（2）c（2，4），

3、），d（7，2） xybaa1a2b2b1o过过 a，b，m 分别向分别向 x 轴作垂线轴作垂线aa1，bb1， mm1，垂足分别为，垂足分别为 a1，b1 ，m1 ；如图所示设如图所示设 m(x，y) 是是 a(x1，y1) ，b(x2，y2) 的中点的中点过过 a，b，m 分别向分别向 y 轴作垂线轴作垂线 aa2，bb2， mm2，垂足分别为，垂足分别为a2， b2 ，m2 mm1m2xybaa1a2b2b1omm1m2如图所示设如图所示设 m(x，y) 是是 a(x1，y1)，b(x2，y2) 的中点的中点 （4）你能写出点）你能写出点 m 的坐标吗？的坐标吗？ （1）你能说出垂足）你

4、能说出垂足a1，a2，b1，b2，m1，m2的坐标吗？的坐标吗？（2）点）点m是是ab中点，中点，m1是是a1，b1的的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？中点吗？它们的坐标有怎样的关系？（3）m2是是a2，b2的中点吗？它们的的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？坐标有怎样的关系？在坐标平面内，两点在坐标平面内，两点 a(x1，y1)，b(x2，y2)的中点的中点 m(x，y) 的坐标之间满足：的坐标之间满足：中点公式中点公式 221yyy，221xxx例例2求证：任意一点求证：任意一点 p(x，y) 与点与点 p (x，y) 关于坐标原点成中心对称关于坐标原点成中心对称证明证明 设设 p 与与p

5、的对称中心为的对称中心为(x0，y0)，则，则 所以坐标原点为所以坐标原点为 p 与与 p 的对称中心的对称中心 , 02)(0 xxx. 02)(0yyy求下列各点关于坐标原点的对称点：求下列各点关于坐标原点的对称点：a(2，3)，b(3，5)，c(2，4)，d(3，5)例例3已知坐标平面内的任意一点已知坐标平面内的任意一点 p(a，b)， 分别求它关于分别求它关于 x 轴的对称点轴的对称点 p ， 关于关于 y 轴的对称点轴的对称点 p 的坐标的坐标xyp(a，b)op p m（1）如果点）如果点 p 与与p 关于关于 x 轴对轴对称，称，pp 与与 x 轴垂直吗？轴垂直吗？p 的横的横坐

6、标是多少坐标是多少 ?（2）pp 与与 x 轴的交点轴的交点 m 是线是线段段 pp 的中点吗？的中点吗？点点 m 的纵坐的纵坐标是多少？标是多少？（3）你能求出）你能求出p 的纵坐标的纵坐标吗？怎么求的？吗？怎么求的？（4）由以上分析，点）由以上分析，点p 的坐的坐标是多少？标是多少？（5）你能求出）你能求出p 的坐标吗？的坐标吗？ 求下列各点关于求下列各点关于 x 轴和轴和 y 轴的对称点的坐标：轴的对称点的坐标：a(2，3)，b(3，5),c(2，4)，d(3，5)例例4已知平行四边形已知平行四边形 abcd 的三个顶点的三个顶点 a(3，0)， b(2，2)，c(5，2)，求顶点，求顶点 d 的坐标的坐标 所以顶点所以顶点 d 的坐标为的坐标为 (0，4) 解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同所以它们的坐标也相同设点设点 d 的坐标为的坐标为 (x，y) ，则，则122022125322yx40yx解得解得 已知平行四边形已知平行四边形 abcd 的三个顶点的三个顶点