2022年中考数学一轮复习4.8《正方形》讲解（含答案）

1、第八节 正方形课标呈现指引方向1理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系2探索并证明正方形的性质定理：正方形具有矩形和菱形的一切性质，考点梳理夯实基础1正方形：正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，它具有四边形、平行四边形、矩形、菱形所有的性质，即：边：它的四条边_；角：它的四个角_；对角线：它的对角线_，并且每一条对角线平分_；面积：它的面积等于_或_；对称性：它的对称轴是_.正方形的判定判定1：先证矩形，再证菱形，则证得正方形判定2：先证菱形，再证矩形，则证得正方形【答案】相等；为直角；互相垂直平分且相等，每一组对角；两对角线乘积的一半，边长的

2、平方；对边中点所在的直线和对角线所在的直线2中点四边形：顺次连接四边形各边中点，所得的图形是_；顺次连接矩形四边中点所得四边形是_；顺次连接菱形四边中点所得四边形是_；由此猜想：顺次连接_的四边形四边中点所得四边形是矩形，顺次连接_的四边形四边中点所得四边形是菱形即新四边形的形状与原四边形的_有关。【答案】平行四边形；菱形；矩形；对角线垂直，对角线相等，对角线.考点精析专项突破考点一 中点四边形【例1】(德州)如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点求证：中点四边形EFGH是平行四边形：如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PAPB，PCPD，APBC

3、PD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想：若改变中的条件，使APBCPD90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状(不必证明)解题点拨：如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EHFG，EHFG即可四边形EFGH是菱形先证明APCBPD，得到ACBD，再证明EFFG即可四边形EFGH是正方形，只要证明EHG90°，利用APCBPD得ACPBDP即可证明CODCPD90°，再根据平行线的性质即可证明【答案】解：证明：如图1中，连接BD点E，H分别为边AB，DA的中点，EHBD，EHB

4、D，点F，G分别为边BC，CD的中点，FGBD，FGBD，EHFG，EHGF，中点四边形EFGH是平行四边形四边形EFGH是菱形证明：如图2中，连接AC，BDAPBCPDAPBAPDCPDAPD即APCBPD在APC和BPD中，APCBPDACBD点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，EFAC,FGBD,EFFG,四边形EFGH是平行四边形，四边形EFGH是菱形四边形EFGH是正方形证明：如图2中，设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M，AC与EH交于点NAPCBPDACPBDP,DMOCMP，CODCPD90°,EHBD,ACHG,EHGENOBOCDOC90°，

5、四边形EFGH是菱形，四边形EFGH是正方形考点二 正方形的性质与判定【例2】(呼和浩特)如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若BF，则小正方形的周长为( )A. B. C. D.【答案】C解题点拨：先利用勾股定理求出DF，再根据BEFCFD，得求出EF即可解决问题。【例3】(攀枝花)如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：ADG22.5°；tanAED2；SAGDSOGD

6、；四边形AEFG是菱形；BE2OG；若SOGF1则正方形ABCD的面积是64，其中正确的结论个数为( )A2 B3 C4 D.5【答案】B解题点拨：由四边形ABCD是正方形，可得GADADO45°，又由折叠的性质，可求得ADG的度数：由AEEFBE，可得AD2AE；由AGGFOG，可得AGD的面积OGD的面积：由折叠的性质与平行线的性质及计算角的度数，易得AEG是等腰三角形，即可证得AEAGEFFG；易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE2OG；根据四边形AEFG是菱形可知ABGF，AEGF，再由BAO45°,GOF90°可得出OGF是等腰

7、直角三角形，由SOGF1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论【例4】(庆阳)如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G且AEEF当AB2时，求GEC的面积；求证：AEEF解题点拨：首先根据ABEECG得到AB:ECBE:GC，从而求得GC即可求得SGEC；取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定AHEECF从而得到AEEF；【答案】解：ABBC2，点E为BC的中点，BEEC1，AEEF，ABEECG，AB:ECBE:GC,即：2：11：GC，解得：GC，SGECEC·CG

8、15;1×；证明：取AB的中点H，连接EH；ABCD是正方形，AEEF；1AEB90°，2AEB90°12BHBE,BHE45°,且FCG45°,AHEECF135°,AHCE,AHEECF,AEEF.课堂训练当堂检测1若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( )A矩形B等腰梯形C对角线相等的四边形D对角线互相垂直【答案】C2已知四边形ABCD是平行四边形，再从ABBC，ABC90°，ACBD，ACBD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A

9、选 B选 C选 D选【答案】B3(齐齐哈尔)有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为_【答案】20和204如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CECD，过点E作EFAC交AD于点F，连接BE求证：DFAE；当AB2时，求BE2的值【答案】解：证明：如图，连接CF，在RtCDF和RtCEF中RtCDFRtCEF(HL),DFEFAC是正方形ABCD的对角线，EAF45°AEF是等腰直角三角形AEEFDFAE；AB2，ACAB2CECD，AE22过点E作EHAB于H，则AEH是等腰直角三角形，AHAE×(22)2

10、，BH2(2)，在RtBEH中BE2BH2EH2()2(2)284.中考达标模拟自测A组基础训练一、选择题1正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )A8 B4 C8 D16【答案】A2正方形ABCD在直角坐标系中的位置如下图表示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是( )A.(2,0) B.(3,0) C.(2，1) D.(2,1)【答案】B3(崇左)下列命题是假命题的是( )A对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B对角线互相垂直的矩形是正方形C对角线相等的菱形是正方形D对角线互相垂直的四边形是正方形【答案】D4(广东)如图，正方形ABCD的面

11、积为l，则以相邻两边中点连接EF为边的正方形EFGH的周长为( )A B2 C1 D21【答案】B二、填空题5如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则EBF的度数是_【答案】45°6学校的一块菱形花园两对角线的长分别是6m和8m，则这个花园的面积为_【答案】24m27如图，在正方形ABCD中,AC为对角线，点E在AB边上,EFAC于点F连接EC，AF3，EFC的周长为12则EC的长为_.2【答案】5三、解答题8(无锡)已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CEAF连接DE、DF求证：DEDF

12、【答案】证明：四边形ABCD是正方形，ADCD,DABC90°,FAD180°DAB90°.在DCE和DAF中，DCEDAF(SAS),DEDF9(哈尔滨)已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQBE于点Q，DPAQ于点P求证：APBQ；在不添加任何辅助线的情况下，诸直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长【答案】解：正方形ABCD,ADBA,BAD90°，即BAQDAP90°,DPAQ,ADPDAP90°,BAQADP,AQBE于点Q,DPAQ于点P，AQBDPA90°,AQBDPA

13、(AAS)，APBQ.AQAPPQ，AQBQPQ，DPAPPQ，DPBQPQ.B组 提高练习10(年深圳)如图，已知正方形ABCD的边长为12，BEEC将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，BF，现在有如下4个结论：ADGFDG；GB2AG；GDEBEF；SBEF在以上4个结论中，正确的有( )A1 B2 C3 D4【答案】C(提示：由折叠和正方形的性质可知，DFDCDA，DFEC90°，DFGA90°又DGDG，ADGFDG(HL)故结论正确正方形ABCD的边长为12，BEECBEECEF6设AGFGx，则EGx6，BG12x，在RtBEG中，由勾

14、股定理，得EG2BE2BG2，即(x6)262(12x)2，解得，x4，AGGF4，BG8，GB2AG故结论正确BEEF6，BEF是等腰三角形易知GDE不是等腰三角形，GDE和BEF不相似.故结论错误SBEGBE·BG·6·824，SBEF·SBEG·24.故结论正确综上所述，4个结论中，正确的有三个故选C)11(河南)如图，正方形ABCD的边长是l6，点E在边AB上，AE3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把EBF沿EF折叠，点B落在B处，若CDB恰为等腰三角形，则DB的长为_【答案】16或4(提示：如答图1，若DBDC，是等腰三角

15、形，则DBDC16；如答图2，若DBCB，过点B作MNCD于点M，交AB于点N，则CMDM8BN，又AE3，BE13EN5由翻折可知EB13，在RtEBN中，由勾股定理可求BN12，BM4，在RtDBM中，BD4.如答图3，若CBCD，此时，点F与点C重合，与已知不符综上所述，若CDB恰为等腰三角形，则DB的长为16或4)12(广东)如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QOBD，垂足为O，连接OA、OP.请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；在平移变换过程中，设ySOPB，BPx(0x2)，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值.【答案】解：四边形APQD为平行四边形；OAOP，OAOP，理由如下：四边形ABCD是正方形，ABBCPQ,ABOOB