典型题高考数学二轮复习知识点总结集合与常用逻辑用语

1、集合与常用逻辑用语 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式表现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下1 集合的概念、关系与运算(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性实行检验(2)集合与集合之间的关系：ab，bcac，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n1，非空真子集数为2n2.(3)集合的运算：u(ab)(ua)(ub)，u(ab)(ua)(ub)，u(ua)a

2、.2 四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理3 充分条件与必要条件若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq，则p，q互为充要条件4 简单的逻辑联结词(1)命题pq，只要p，q有一真，即为真；命题pq，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题(2)命题pq的否定是(綈p)(綈q)；命题pq的否定是(綈p)(綈q)5 全称量词与存有量词“xm，p(x)”的否定为“x0m，綈p(x0)”；“x0m，p(x0)”的否定为“xm，綈p(x)”.考点一 集合间的关系及运算例1 (1)(2012&#

3、183;课标全国)已知集合a1,2,3,4,5，b(x，y)|xa，ya，xya，则b中所含元素的个数为( )a3 b6 c8 d10(2)设函数f(x)lg(1x2)，集合ax|yf(x)，by|yf(x)，则图中阴影部分表示的集合为 ( )a1,0 b(1,0)c(，1)0,1) d(，1(0,1) 弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键答案 (1)d (2)d解析 (1)b(x，y)|xa，ya，xya，a1,2,3,4,5，x2，y1；x3，y1,2；x4，y1,2,3；x5，y1,2,3,4.b(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(

4、5,2)，(5,3)，(5,4)，b中所含元素的个数为10.(2)因为ax|yf(x)x|1x2>0x|1<x<1，则u1x2(0,1，所以by|yf(x)y|y0，ab(，1)，ab(1,0，故图中阴影部分表示的集合为(，1(0,1) (1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果(2)对于给出已知集合，实行交集、并集与补集运算时，能够直接根据它们的定义求解，也能够借助数轴、韦恩(venn)图等图形工具，使用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解 (1)(2013·山东)已知集合a0,1,2，则集合bxy|xa，y

5、a中元素的个数是( )a1 b3 c5 d9(2)设全集ur，集合px|yln(1x)，集合qy|y，则右图中的阴影部分表示的集合为( )ax|1<x0，xrbx|1<x<0，xrcx|x<0，xrdx|x>1，xr答案 (1)c (2)b解析 (1)xy.(2)由1x>0得x>1，即px|x>1；qy|y0，所以结合题意得，题中的阴影部分表示的集合是p(rq)x|1<x<0，xr考点二 四种命题与充要条件例2 (1)已知a，b，cr，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是( )a若abc3，则a2b2c2<3b若abc

6、3，则a2b2c2<3c若abc3，则a2b2c23d若a2b2c23，则abc3(2)设x，yr，则“x2y29”是“x>3且y3”的( )a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件 (1)从“否命题”的形式入手，但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别(2)结合图形与性质，从充要条件的判定方法入手答案 (1)a (2)b解析 (1)命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以a准确(2)如图：x2y29表示以原点为圆心，3为半径的圆上及圆外的点，当x2y29时，x>3且y3并不一定成立，当x2，y3时，x2y29，但x>3

7、且y3不成立；而x>3且y3时，x2y29一定成立，故选b. 一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于实行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要实行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可 (1)(2012·天津)设xr，则“x>”是“2x2x1>0”的( )a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件(2)给出以下三个命题：若ab0，则a0或b0；在ab

8、c中，若sin asin b，则ab；在一元二次方程ax2bxc0中，若b24ac<0，则方程有实数根其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )a b c d答案 (1)a (2)b解析 (1)不等式2x2x1>0的解集为，故由x>2x2x1>0，但2x2x1>0d/x>，故选a.(2)在abc中，由正弦定理得sin asin babab.故选b.考点三 逻辑联结词、全称量词和存有量词例3 (1)(2012·湖北)命题“存有一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )a任意一个有理数，它的平方是有理数b任意一个无理数，它的平方不是有

9、理数c存有一个有理数，它的平方是有理数d存有一个无理数，它的平方不是有理数(2)已知命题p：抛物线y2x2的准线方程为y；命题q：若函数f(x1)为偶函数，则f(x)关于x1对称则下列命题是真命题的是( )apq bp(綈q)c(綈p)(綈q) dpq答案 (1)b (2)d解析 (1)通过否定原命题得出结论原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”(2)命题p：抛物线y2x2的准线方程为y，所以命题p是假命题命题q：将函数f(x1)的图象向右平移1个单位得到f(x)的图象，所以函数f(x)的图象关于x1对称，故命题q是真命题所以pq为真 (1)全称命题(特称命题)的否定是其全称量词

10、改为存有量词(或存有量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论；而命题的真假能够先分清命题的构成，然后通过真值表直接判断(2)若利用某些条件直接判定或探求有困难时，往往能够将条件实行等价转化若是由命题的真假求某个参数的取值范围，还能够考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算 (1)(2013·课标全国)已知命题p：xr,2x<3x；命题q：xr，x31x2，则下列命题中为真命题的是( )apq b綈pqcp綈q d綈p綈q(2)已知命题p：“x1,2，x2a0”，命题q：“x0r，x2ax02a0”若命题“(綈p)q”是真命题，则实数a的取值范围是(

11、)aa2或a1 ba2或1a2ca>1 d2a1答案 (1)b (2)c解析 (1)当x0时，有2x3x，不满足2x<3x，p：xr,2x<3x是假命题如图，函数yx3与y1x2有交点，即方程x31x2有解，q：xr，x31x2是真命题pq为假命题，排除a.綈p为真命题，綈pq是真命题选b.(2)命题p为真时a1；“x0r，x2ax02a0”为真，即方程x22ax2a0有实根，故4a24(2a)0，解得a1或a2.(綈p)q为真命题，即綈p真且q真，即a>1.1 解答相关集合问题，首先准确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次注重元素的互异性，空集是任何集合的子集等

12、问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和韦恩图加以解决2 判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系实行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中能够使用命题的等价转化方法3 含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义实行判断4 一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.1 已知集合azc|z12ai，ar，bzc|z|2，则ab等于( )a1i,1i bic12

13、i,12i d1i答案 a解析 ab中的元素同时具有a，b的特征，问题等价于|12ai|2，ar，解得a±.故选a.2 下列命题中准确的是( )a若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“pq”为真命题b“sin ”是“”的充分不必要条件cl为直线，为两个不同的平面，若l，则ld命题“xr,2x>0”的否定是“x0r,2x00”答案 d解析 对a，只有当p，q全是真命题时，pq为真；对b，sin 2k或2k，kz，故“sin ”是“”的必要不充分条件；对c，l，l或l；对d，全称命题的否定是特称命题，故选d.3 若集合ax|x2x2<0，bx|2<x<a，则“

14、ab”的充要条件是( )aa>2 ba2ca>1 da1答案 c解析 ax|1<x<2，bx|2<x<a，如图所示：ab，a>1.(推荐时间：40分钟)一、选择题1 (2013·课标全国)已知集合a1,2,3,4，bx|xn2，na，则ab等于( )a1,4 b2,3 c9,16 d1,2答案 a解析 xn2，na，x1,4,9,16.b1,4,9,16ab1,4，故选a.2 (2012·安徽)命题“存有实数x，使x>1”的否定是( )a对任意实数x，都有x>1b不存有实数x，使x1c对任意实数x ，都有x1d存有实数x

15、，使x1答案 c解析 利用特称命题的否定是全称命题求解“存有实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x1”故选c.3 (2013·福建)已知集合a1，a，b1,2,3，则“a3”是“ab”的( )a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件答案 a解析 a3时a1,3，显然ab.但ab时，a2或3.所以a准确4 (2013·湖北)已知全集为r，集合a，b，则arb等于( )ax|x0bx|2x4cx|0x<2或x>4dx|0<x2或x4答案 c解析 ax|x0，bx|2x4arbx|x0x|x>4或x<

16、;2x|0x<2或x>45 已知集合p0，m，qx|2x25x<0，xz，若pq，则m等于( )a1 b2c1或 d1或2答案 d解析 因为qx|2x25x<0，xzx|0<x<，xz1,2，而p0，m且pq，故m1或2.故选d.6 (2013·陕西)设a，b为向量，则“|a·b|a|b|”是“ab”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件答案 c解析 由|a|b|cosa，b|a|b|，则有cosa，b±1.即a，b0或，所以ab.由ab，得向量a与 b同向或反向，所以a，b0或，所以|a&

17、#183;b|a|b|.7 已知集合a1,2,3,4，b2,4,6,8，定义集合a×b(x，y)|xa，yb，则集合a×b中属于集合(x，y)|logxyn的元素个数是( )a3 b4 c8 d9答案 b解析 由给出的定义得a×b(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)其中log221，log242，log283，log441，所以一共有4个元素，故选b.8 已知p：xr，mx220，q：xr，x22mx1>0

18、，若pq为假命题，则实数m的取值范围是( )a1，) b(，1c(，2 d1,1答案 a解析 pq为假命题，p和q都是假命题由p：xr，mx220为假命题，由綈p：xr，mx22>0为真命题，m0.由q：xr，x22mx1>0为假命题，得綈q：xr，x22mx10为真命题，(2m)240m21m1或m1.由和得m1，故选a.9 设平面点集a，b(x，y)|(x1)2(y1)21，则ab所表示的平面图形的面积为( )a. b. c. d.答案 d解析 借助图形，数形结合求解由题意知ab所表示的平面图形为图中阴影部分，曲线y与直线yx将圆(x1)2(y1)21分成s1，s2，s3，s4

19、四部分圆(x1)2(y1)21与y的图象都关于直线yx对称，从而s1s2，s3s4，而s1s2s3s4，s阴影s2s4.10给出下列命题：xr，不等式x22x>4x3均成立；若log2xlogx22，则x>1；“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题；若p且q为假命题，则p，q均为假命题其中真命题是( )a b c d答案 a解析 中不等式可表示为(x1)22>0，恒成立；中不等式可变为log2x2，得x>1；中由a>b>0，得<，而c<0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；由p且q为假只能得出p，q中至少有一个为假，不准确二、填空题11(2012·天津)已知集合axr|x2|<3，集合bxr|(xm)(x2)<0，且ab(1，n)，则m_，n_.答案 1 1解析 ax|5<x<1，因为abx|1<x<n，bx|(xm)(x2)<0，所以m1，n1.12已知r是实数集，mx|<1，ny|y1，则n(rm)_.答案 1,2解析 mx|<1x|x<0或x>2，ny|y1y|y1，rmx|0x2，n(rm)x|1x21,213设p：<0，q：0<x<m，若