线性代数ch2-2

1、形数形数表，称为数域表，称为数域中的一个中的一个矩阵矩阵.由数域由数域中的中的个数个数 排成的行列的矩排成的行列的矩ija记作：记作：111212122211nnmmmnaaaaaaaaaa 实矩阵实矩阵，复矩阵，行矩阵复矩阵，行矩阵，列矩阵，方阵，方阵列矩阵，方阵，方阵的行列式，两矩阵同型，两矩阵相等的行列式，两矩阵同型，两矩阵相等.1 1）零矩阵零矩阵个元素全为零的矩阵称为个元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵. .2 2）对角矩阵对角矩阵主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角阵对角阵. .3 3）单位矩阵单位矩阵主对角线上的所有元素全为的对角阵称为主

2、对角线上的所有元素全为的对角阵称为单位阵单位阵. .4 4）数量矩阵数量矩阵主对角线上的所有元素全为主对角线上的所有元素全为的对角阵称为的对角阵称为数量阵数量阵. .5 5）三角矩阵三角矩阵上三角矩阵与下三角矩阵统称为上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵三角阵. .6 6）负矩阵负矩阵称满足下列两个条件的矩阵为称满足下列两个条件的矩阵为阶梯形矩阵阶梯形矩阵：1 1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；）若有零行（元素全为零的行），位于底部；7 7）阶梯形矩阵阶梯形矩阵2 2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右. .称满足下列三个条件的矩阵为称满足

3、下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵行最简形矩阵：1 1）行阶梯形矩阵）行阶梯形矩阵8 8）行最简形矩阵行最简形矩阵2 2）各非零行的首非零元均为）各非零行的首非零元均为. .3 3）首非零元所在列其它元素均为）首非零元所在列其它元素均为. .称满足下列两个条件的矩阵为称满足下列两个条件的矩阵为标准形标准形：1 1）左上角为单位阵；）左上角为单位阵；9 9）标准形标准形）其它元素均为）其它元素均为. .注意注意: :只有只有同型矩阵同型矩阵才能进行才能进行加法加法运算运算. .()ijijm nabab (),()ijm nijm naabb，若若规定规定（设（设均是同型矩阵）均是同型矩阵）（1

4、1） （交换律）（交换律）abba（2 2） （结合结合律）律）()()abcabc（3 3）aoa（4 4）()aao （5 5） （减法）（减法）()abab (),ijm naar ()ijm naaa 若若规定规定（设（设 均是均是 矩阵，矩阵， ）a b cmn ,r 1aa （1 1）()()aa （2 2）()abab（3 3）()aaa（4 4）（6 6）oo 1 1）数乘矩阵是数）数乘矩阵是数去乘去乘中的每一个元素中的每一个元素. .0ao （5 5）2 2）若）若 ，则，则ao 0.0.oraoorand ao设甲、乙两家公司生产设甲、乙两家公司生产、三种三种型型11121

5、3212223aaaaaa 如果生产这三种型号的计算机每台的利润如果生产这三种型号的计算机每台的利润( (单位：单位：万万甲甲乙乙2520182416270.50.20.7112131bbb 0.50.20.7b 252018241627a 那么这两家公司的月利润那么这两家公司的月利润 ( (单位：万元单位：万元) ) 为多少为多少? ?号的计算机，月产量（单位：台）为号的计算机，月产量（单位：台）为元台元台)为为29.134.1 c 250.5200.2180.7240.5160.2270.7 甲公司每月的利润为甲公司每月的利润为29.129.1万元，乙公司的利润为万元，乙公司的利润为由例题

6、可知矩阵由例题可知矩阵、的元素之间有下列关系的元素之间有下列关系11 11122113311121 112221233121a ba ba bccaba ba ba bc11 111221133121 1122212331a ba ba ba ba ba b 111213212223aaaaaa112131bbb34.134.1万元万元. .依题意依题意(),ijm nabcc ()(),ijmnssijaabb，若若规定规定1 1221ijijijissjikkjca ba ba ba b 其中其中1 21 2im jn（， ，；， ， ）1 1）条件）条件 左左矩阵矩阵的的列列数等于数等于

7、右右矩阵矩阵的的行行数数2 2）方法）方法cijc等于等于左左矩阵矩阵 的的第第 行行与与右右矩阵矩阵 的的第第 列列对应元素对应元素左行右列法左行右列法矩阵乘积矩阵乘积 的元素的元素abji乘积的和乘积的和. .3 3）结果）结果 左行右列左行右列左左矩阵矩阵的的行行数数为为乘积乘积的行数的行数，右右矩阵矩阵的的列列数为乘积数为乘积的列数的列数. . 1121111211ssbbaaab 11 11122111ssa ba ba b11kka b 1121111211ssaabbba 1s 1s 与与矩阵的乘积矩阵的乘积1s 1s 与与矩阵的乘积为矩阵的乘积为11 1111 1211 121

8、 1121 1221 11 111 121 1ssssssa ba ba ba ba ba ba ba ba b 为一阶方阵，即一个数为一阶方阵，即一个数一个阶方阵一个阶方阵例例1 1设设225225,223162amn解解,) ,.mn a mnmn a am an求求(,(,(2222ab 3333 0000 12121212 ba 3333 2222am an 1661661661663333 52253162bmn 1 1、无交换律、无交换律2 2、无消去律、无消去律3 3、若、若abba?aman mn ?abo .ao orbo?（假定所有运算合法，（假定所有运算合法， 是矩阵，是

9、矩阵， ）a b c,r ()ab cacbc()abca bc （1 1）()()()aba bab（2 2）()a bcabac（3 3）（4 4）aooao（5 5）eaaeaoe不尽相同，不尽相同， 亦不尽相同亦不尽相同. .定义定义对于矩阵对于矩阵 ，若，若 ，称，称 与与 可交换可交换. .,a babba ba例例2 2设设 ，求，求 的所有可交换矩阵的所有可交换矩阵. .a1021a 解解1234xxxxx 设设axxa ，于是，于是即即1212343410102121xxxxxxxx 12132422xxxxxx建立方程组得建立方程组得1423,0,xxxxr13100.,(

10、 ,)xaxorxa brxxba所以所以12234422xxxxxx kkaaaa (),ijn naakz 规定规定若若1 1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵、一般矩阵的幂无意义，除了方阵. .2 2、 只能是正整数只能是正整数. .k（1 1）1212kkkkaaa （2 2）121 2()kkk kaa （设（设 均是均是 阶方阵，阶方阵， ）a b12,k k kz n（4 4）kee （3 3）()kkkaa （5 5）122221kkkkkaaaa aaaaa（6 6） 1kkaba bab kabkka b?（1 1） 2ab ?222aabb（2 2）（7 7） kae 112

11、2211kkkkkkkkkacacacae例例3 3101a 设设，计算，计算23,.kaaa2110101a 解解1201 321120101aaa1301 下用数学归纳法下用数学归纳法证明证明101kka 猜想猜想当当 时，等式显然成立时，等式显然成立. . 2n 当当 时，等式成立，时，等式成立，即即nk 11(1, 2 ,)0101kkkak等式成立等式成立. .所以猜想正确所以猜想正确. .要证要证 时成立，此时有时成立，此时有1nk1110101kkkaaa 1101k 解解010000010000000abe 例例4 4 设设，计算，计算 . .100100a ka2001000

12、 ,000b 3000000 ,000b 易见易见 3333kkkbb bobok kkabe 1122211kkkkkkkkkbcbcbcbe11222333kkkkkkkecbcbcboo 1100010010001001000kkk . 200110002000kk k 121(1)2000kkkkkkk kkk 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做阵，叫做 的的转置矩阵转置矩阵，记作，记作 . .aor a aa例例,854221 a1425 .28ta 9 6 ,b 9.6tb （假定所有运算合法，（假定所有运算合法， 是矩阵，是矩阵， ）a

13、 br ttaa （1 1）()tttabab（2 2） tttabb a （4 4）（3 3） ttaa 121121tttttnnnna aaaaaa a 例例5() ,.tttabb a求求已知已知102123 ,4345ab解解2162811119tab （）2412413035ttb a 1021234345ab 所以所以而且而且()tttabb a 显然显然2162811119 2116112819 对称矩阵对称矩阵的的特点是：特点是：它的元素以它的元素以主对角线主对角线为对称轴为对称轴对应相等对应相等. . 0211223113101101如如设设 为为 阶方阵，若阶方阵，若 ，

14、即，即 ，antaa ijjiaa 那么那么 称为称为对称矩阵对称矩阵. .a 两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵, , 对称对称矩阵的数乘也是对称矩阵矩阵的数乘也是对称矩阵. .但两个对称矩阵的乘积不但两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵一定是对称矩阵. .0121105225011210 ataa ijjiaa 设设 为为 阶方阵，若阶方阵，若 ，即，即 ，n那么那么 称为称为反对称矩阵反对称矩阵. .a反对称矩阵反对称矩阵的主要特点是的主要特点是: :主对角线上的元素为主对角线上的元素为0,0,其余其余的元素关于的元素关于主对角线主对角线互为相互为相反数反

15、数. .如如 两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵, ,反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵. .但两个反对称矩但两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵阵的乘积不一定是反对称矩阵. .证明证明 tttxxeh2 tttxxe2 ,2hxxet 2hhht 22txxe tttxxxxxxe44 tttxxxxxxe44 ttxxxxe44 例例6 6 设列矩阵设列矩阵 ，满足，满足 tnxxxx,21 , 1 xxten为为 阶单位矩阵，且阶单位矩阵，且 ，证明，证明 是对是对h2thexxthhe 称矩阵，且称矩阵，且 . .h

16、是对是对称矩阵称矩阵. .又又.e 证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵与都可表示成对称阵与反对称阵之和反对称阵之和. .na证明证明aat ,c 所以所以c c为对称矩阵为对称矩阵. .aat ,b 所以所以b b为反对称矩阵为反对称矩阵. .22ttaaaaa ,22bc 命题得证命题得证. .例例7 7tcaa设设 tttcaa则则,tbaa 设设 tttbaa则则 方阵与行列式是两个不同的概念方阵与行列式是两个不同的概念. . 由阶方阵由阶方阵的元素所构成的行列式（各元的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做素的位置不变）叫做方阵方阵的行列式的行列式. .记作记作.et

17、aorda（假定所有运算合法，（假定所有运算合法，是矩阵，是矩阵，）taa （1 1）naa （2 2）nnaa （4 4）（3 3）aba bbaab ab ?例例8 83, 3.abaa求求已知已知100210211 ,130 ,324004ab解解所以所以6,20,ab易见易见120aba b33216aa333162aa行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成矩阵的转置构成矩阵的转置. .aija112111222212nnnnnnaaaaaaaaaa a称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵. .（假定所有运算合法，（假定所有运算合法， 是矩阵，是矩阵， ）a br （1 1） ttaa （2 2） abb a 同理可得同理可得.eaaaaa 证明证明.eaaaaa 所以所以112111222212nnnnnnaaaaaaaaa111212122212nnnnnnaaaaaaaaaaa .ea .a aa e aaa当当 为复矩阵时，用为复