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1、北 京 交 通 大 学2007-2008学年第一学期微积分(b)期末考试试卷(b卷)答案 1(本题满分8分) 设函数在点处可导,求极限 解: 2(本题满分8分) 求积分 解: 令,则,所以有 3(本题满分8分) 设函数由参数方程所确定,求 解: 4(本题满分8分) 计算曲线上对应于的一段弧的长度 解: 所以,因此,所求弧长为 5(本题满分8分) 设,求 解: 等式两端从到积分,记,得 而 , 所以,有,即 ,所以,有 6(本题满分8分) 设曲线在点处的切线与轴的交点为,求极限 解: 切线斜率为,所以切线方程为 令,得的切线与轴的交点的横坐标为, 于是 7(本题满分8分) 设,求 解: 8(本题
2、满分8分) 设,求积分 解: 9(本题满分9分) 设当时,的导数与是等价无穷小,求 解: 所以, 由题意,得 所以, 10(本题满分9分) 设是常数,讨论方程根的个数,并指出每个根所在的范围 解: 将方程改写为,引入函数由于,从而有于是可得 当时,原方程无根; 当时,原方程有唯一根,; 当时,原方程有个根,; 当时,原方程有个根,; 当时,原方程有唯一根, 11(本题满分9分) 设函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且如果函数在区间上的最大值,证明:存在,使得 证明: 令,则函数在闭区间上连续,在开区间内可导,而且由题设,知, 由连续函数的最大值定理,以及题设,知存在,使得,所以 ,所以由连续
3、函数的零点定理,知存在,使得 再由,由rolle中值定理,知存在,使得而,所以存在,使得 12(本题满分9分) 设抛物线与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为,其中一条切线于抛物线相切于点, 求的表达式 为何值时,面积取最小值 解: 抛物线在点处的切线的方程为 , 即 再设抛物线在点处的切线的方程为 , 即 由于与相互垂直,故有,即 所以切线的方程为 设切线与的交点为,则有,于是直线与,以及抛物线所围图形的面积为 以下求函数在区间上的最小值点 ,令,得函数在区间上的驻点当时,;当时,所以函数在区间上的最小值点即当时,面积函数取最小值 附加题一(本题满分10分) 设函数在闭区间上连续,在开区间内二阶可导,则存在,使得 证明: 设,则与在区间上满足cauchy中值定理的条件,且 ,因此由cauchy中值定理,知存在,使得 再在区间上对函数应用lagrange中值定理,知存在,使得 所以,有
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