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文档简介
1、11.2余弦定理(二)课时目标1熟练掌握正弦定理、余弦定理;2会用正、余弦定理解三角形的有关问题1正弦定理及其变形(1)2r.(2)a2rsin_a,b2rsin_b,c2rsin_c.(3)sin a,sin b,sin c.(4)sin asin bsin cabc.2余弦定理及其推论(1)a2b2c22bccos_a.(2)cos a.(3)在abc中,c2a2b2c为直角;c2>a2b2c为钝角;c2<a2b2c为锐角3在abc中,边a、b、c所对的角分别为a、b、c,则有:(1)abc,.(2)sin(ab)sin_c,cos(ab)cos_c,tan(ab)tan_c.
2、(3)sin cos ,cos sin .一、选择题1已知a、b、c为abc的三边长,若满足(abc)(abc)ab,则c的大小为()a60° b90°c120° d150°答案c解析(abc)(abc)ab,a2b2c2ab,即,cos c,c120°.2在abc中,若2cos bsin asin c,则abc的形状一定是 ()a等腰直角三角形 b直角三角形c等腰三角形 d等边三角形答案c解析2cos bsin asin csin(ab),sin acos bcos asin b0,即sin(ab)0,ab. 3.在abc中,已知sin as
3、in bsin c357,则这个三角形的最小外角为 ()a30° b60°c90° d120°答案b解析abcsin asin bsin c357,不妨设a3,b5,c7,c为最大内角,则cos c.c120°.最小外角为60°.4abc的三边分别为a,b,c且满足b2ac,2bac,则此三角形是()a等腰三角形 b直角三角形c等腰直角三角形 d等边三角形答案d解析2bac,4b2(ac)2,即(ac)20.ac.2bac2a.ba,即abc.5在abc中,角a,b,c所对的边长分别为a,b,c,若c120°,ca,则()a
4、a>b ba<bcab da与b的大小关系不能确定答案a解析在abc中,由余弦定理得,c2a2b22abcos 120°a2b2ab.ca,2a2a2b2ab.a2b2ab>0,a2>b2,a>b.6如果将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状是()a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d由增加的长度确定答案a解析设直角三角形三边长为a,b,c,且a2b2c2,则(ax)2(bx)2(cx)2a2b22x22(ab)xc22cxx22(abc)xx2>0,cx所对的最大角变为锐角二、填空题7在abc中,边a,b的长是方程x25x20的两
5、个根,c60°,则边c_.答案解析由题意:ab5,ab2.由余弦定理得:c2a2b22abcos ca2b2ab(ab)23ab523×219,c.8设2a1,a,2a1为钝角三角形的三边,那么a的取值范围是_答案2<a<8解析2a1>0,a>,最大边为2a1.三角形为钝角三角形,a2(2a1)2<(2a1)2,化简得:0<a<8.又a2a1>2a1,a>2,2<a<8.9已知abc的面积为2,bc5,a60°,则abc的周长是_答案12解析sabcab·ac·sin aab
6、183;ac·sin 60°2,ab·ac8,bc2ab2ac22ab·ac·cos aab2ac2ab·ac(abac)23ab·ac,(abac)2bc23ab·ac49,abac7,abc的周长为12.10在abc中,a60°,b1,sabc,则abc外接圆的面积是_答案解析sabcbcsin ac,c4,由余弦定理:a2b2c22bccos a12422×1×4cos 60°13,a.2r,r.s外接圆r2.三、解答题11在abc中,求证:.证明右边·cos
7、 b·cos a··左边所以.12.在abc中,a,b,c分别是角a,b,c的对边的长,cosb =,且·21.(1)求abc的面积;(2)若a7,求角c.解 (1)·21,·=21.· = |·|·cosb = accosb = 21.ac=35,cosb = ,sinb = .sabc = acsinb = ×35× = 14. (2)ac35,a7,c5.由余弦定理得,b2a2c22accos b32,b4.由正弦定理:.sin csin b×.c<b且b为锐角,
8、c一定是锐角c45°.能力提升13已知abc中,ab1,bc2,则角c的取值范围是()a0<c b0<c<c.<c< d.<c答案a解析方法一(应用正弦定理),sin csin a,0<sin a1,0<sin c.ab<bc,c<a,c为锐角,0<c.方法二(应用数形结合)如图所示,以b为圆心,以1为半径画圆,则圆上除了直线bc上的点外,都可作为a点从点c向圆b作切线,设切点为a1和a2,当a与a1、a2重合时,角c最大,易知此时:bc2,ab1,acab,c,0<c.14abc中,内角a、b、c的对边分别为a
9、、b、c,已知b2ac且cos b.(1)求的值;(2)设· = ,求a+c的值.解(1)由cos b,得sin b.由b2ac及正弦定理得sin2 bsin asin c.于是.(2)由· = 得ca·cosb = 由cos b,可得ca2,即b22.由余弦定理:b2a2c22ac·cos b,得a2c2b22ac·cos b5,(ac)2a2c22ac549,ac3.1解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解,常见类型及其解法见下表:已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a,b,c)正弦定理由abc180°,求角a;由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解两边和夹角(如a,b,c)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c;由正弦定理求出小边所对的角;再由abc180°求出另一角在有解时只有一解三边(a,b,c)余弦定理由余弦定理求出角a、b;再利用abc180°,求出角c.
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