112余弦定理二导学案人教A版必修5

1、11.2余弦定理(二)课时目标1熟练掌握正弦定理、余弦定理；2会用正、余弦定理解三角形的有关问题1正弦定理及其变形(1)2r.(2)a2rsin_a，b2rsin_b，c2rsin_c.(3)sin a，sin b，sin c.(4)sin asin bsin cabc.2余弦定理及其推论(1)a2b2c22bccos_a.(2)cos a.(3)在abc中，c2a2b2c为直角；c2>a2b2c为钝角；c2<a2b2c为锐角3在abc中，边a、b、c所对的角分别为a、b、c，则有：(1)abc，.(2)sin(ab)sin_c，cos(ab)cos_c，tan(ab)tan_c.

2、(3)sin cos ，cos sin .一、选择题1已知a、b、c为abc的三边长，若满足(abc)(abc)ab，则c的大小为()a60° b90°c120° d150°答案c解析(abc)(abc)ab，a2b2c2ab，即，cos c，c120°.2在abc中，若2cos bsin asin c，则abc的形状一定是 ()a等腰直角三角形 b直角三角形c等腰三角形 d等边三角形答案c解析2cos bsin asin csin(ab)，sin acos bcos asin b0，即sin(ab)0，ab. 3.在abc中，已知sin as

3、in bsin c357，则这个三角形的最小外角为 ()a30° b60°c90° d120°答案b解析abcsin asin bsin c357，不妨设a3，b5，c7，c为最大内角，则cos c.c120°.最小外角为60°.4abc的三边分别为a，b，c且满足b2ac,2bac，则此三角形是()a等腰三角形 b直角三角形c等腰直角三角形 d等边三角形答案d解析2bac，4b2(ac)2，即(ac)20.ac.2bac2a.ba，即abc.5在abc中，角a，b，c所对的边长分别为a，b，c，若c120°，ca，则()a

4、a>b ba<bcab da与b的大小关系不能确定答案a解析在abc中，由余弦定理得，c2a2b22abcos 120°a2b2ab.ca，2a2a2b2ab.a2b2ab>0，a2>b2，a>b.6如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是()a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d由增加的长度确定答案a解析设直角三角形三边长为a，b，c，且a2b2c2，则(ax)2(bx)2(cx)2a2b22x22(ab)xc22cxx22(abc)xx2>0，cx所对的最大角变为锐角二、填空题7在abc中，边a，b的长是方程x25x20的两

5、个根，c60°，则边c_.答案解析由题意：ab5，ab2.由余弦定理得：c2a2b22abcos ca2b2ab(ab)23ab523×219，c.8设2a1，a,2a1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是_答案2<a<8解析2a1>0，a>，最大边为2a1.三角形为钝角三角形，a2(2a1)2<(2a1)2，化简得：0<a<8.又a2a1>2a1，a>2，2<a<8.9已知abc的面积为2，bc5，a60°，则abc的周长是_答案12解析sabcab·ac·sin aab&#

6、183;ac·sin 60°2，ab·ac8，bc2ab2ac22ab·ac·cos aab2ac2ab·ac(abac)23ab·ac，(abac)2bc23ab·ac49，abac7，abc的周长为12.10在abc中，a60°，b1，sabc，则abc外接圆的面积是_答案解析sabcbcsin ac，c4，由余弦定理：a2b2c22bccos a12422×1×4cos 60°13，a.2r，r.s外接圆r2.三、解答题11在abc中，求证：.证明右边·cos

7、 b·cos a··左边所以.12.在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边的长，cosb =，且·21.(1)求abc的面积；(2)若a7，求角c.解 （1）·21，·=21.· = |·|·cosb = accosb = 21.ac=35，cosb = ，sinb = .sabc = acsinb = ×35× = 14. (2)ac35，a7，c5.由余弦定理得，b2a2c22accos b32，b4.由正弦定理：.sin csin b×.c<b且b为锐角，

8、c一定是锐角c45°.能力提升13已知abc中，ab1，bc2，则角c的取值范围是()a0<c b0<c<c.<c< d.<c答案a解析方法一(应用正弦定理)，sin csin a，0<sin a1，0<sin c.ab<bc，c<a，c为锐角，0<c.方法二(应用数形结合)如图所示，以b为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线bc上的点外，都可作为a点从点c向圆b作切线，设切点为a1和a2，当a与a1、a2重合时，角c最大，易知此时：bc2，ab1，acab，c，0<c.14abc中，内角a、b、c的对边分别为a

9、、b、c，已知b2ac且cos b.(1)求的值；（2）设· = ，求a+c的值.解(1)由cos b，得sin b.由b2ac及正弦定理得sin2 bsin asin c.于是.(2)由· = 得ca·cosb = 由cos b，可得ca2，即b22.由余弦定理：b2a2c22ac·cos b，得a2c2b22ac·cos b5，(ac)2a2c22ac549，ac3.1解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，b，c)正弦定理由abc180°，求角a；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，c)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由abc180°求出另一角在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角a、b；再利用abc180°，求出角c.