附关于极坐标的补充

1、附附: :关于极坐标的补充关于极坐标的补充r )( r)( rmox)( rm极坐标系的定义：极坐标系的定义：规定：当点规定：当点m在极点时，它的极坐标为在极点时，它的极坐标为 ， 可以取任意值。可以取任意值。), 0(mdefgabcxo42653534)0 , 4(a)4, 2( b), 5 . 3( e)2, 3( c)65, 1( d)34, 6( f)35, 5( g 例：在极坐标系下，写出例：在极坐标系下，写出a、b、c、d、e、f、 g各点的极坐标。各点的极坐标。 defgabcxo4 2 65 35 34)2, 4( a)47, 2( b), 5 . 3( e)23, 3( c

2、)67, 1( d)32, 6( f)3, 5( g注注 在一般情况下，极径都是取在一般情况下，极径都是取正值正值，但是在某些必要，但是在某些必要的情况下，也允许取的情况下，也允许取负值负值。当。当 时，点时，点 的位置可以按以下规则确定：作射线的位置可以按以下规则确定：作射线op，使，使 ，在在op的反向延长线上取一点的反向延长线上取一点m，使，使 ，点，点m就是坐标为就是坐标为 的点。的点。0 r)( rm xoprom )( rorrmpx注注当当 时，时，写出写出a、b、c、d、e、f、g各点极坐标。各点极坐标。0 rdefgabcxo4265), 4( a)45, 2( b)0 ,

3、5 . 3( e)23, 3( c)611, 1( d)3, 6( f)32, 5( g例如例如: 1）定义：定义：在极坐标系中，曲线可以用含有在极坐标系中，曲线可以用含有 、 这两个变数的方程这两个变数的方程 来表示，这种方来表示，这种方 程叫做曲线的程叫做曲线的极坐标方程极坐标方程。r0),( r常见曲线的极坐标方程常见曲线的极坐标方程一一,极坐标系下，曲线与方程的对应关系极坐标系下，曲线与方程的对应关系2）说明：说明：方程的每一个解为坐标的点都是曲线方程的每一个解为坐标的点都是曲线 上的点；曲线上每一个点的无穷多个坐标中，上的点；曲线上每一个点的无穷多个坐标中， 至少有一个坐标满足方程。

4、至少有一个坐标满足方程。 和求直角坐标方程类似，就是把曲线和求直角坐标方程类似，就是把曲线 看作适看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上点的极坐标线上点的极坐标 、 的关系式的关系式 表示出表示出来，就得到曲线的极坐标方程。来，就得到曲线的极坐标方程。r 0),( r二二 、求曲线的极坐标方程的方法和步骤：、求曲线的极坐标方程的方法和步骤：)(00 rmoxl 1、直线的极坐标方程、直线的极坐标方程例：求极坐标系下，经过定点例：求极坐标系下，经过定点 且且 关于极轴的倾斜角为关于极轴的倾斜角为 的直线的直线 方程方程 （其中（其中 为定值

5、）为定值）)(00 rm l ,00 r解：解：如图，设所求直线上任一点如图，设所求直线上任一点 ， 与极轴所在直线交于与极轴所在直线交于n点，连接点，连接om、op)(00 rm)( rpoxn r0 0r)( rpl opn 0 omn)(0 omp在在 中，由正弦定理得：中，由正弦定理得：omp )sin()(sin00 rr)sin()sin(00 rr即即 方程方程 （定值）（定值）l)sin()sin(00 rr当当 时，时，代入方程代入方程:2 00coscos rr l)(00 rm)( rpox )sin()sin(00 rr方程化为方程化为 l 求极坐标系下，经过定点求极坐

6、标系下，经过定点 且且 关于极轴的倾斜角为关于极轴的倾斜角为 的直线的直线 方程方程 （其中（其中 为定值）为定值）)(00 rm l ,00 r（定值（定值)当当 时，代入方程时，代入方程 方程化为方程化为 （定值）（定值）0 00sinsin rr l)sin()sin(00 rrlox)(00 rm)( rp 求极坐标系下，经过定点求极坐标系下，经过定点 且且 关于极轴的倾斜角为关于极轴的倾斜角为 的直线的直线 方程方程 （其中（其中 为定值）为定值）)(00 rm l ,00 r)(rr )sin()sin(00 rr当当 表示极点时，表示极点时， 代入方程代入方程)(00 rm00

7、r 即即 或或若允许若允许 ，则，则 方程可写为：方程可写为： 0 rl ox )( rp方程化为方程化为 l0)sin( r0 r0)sin( （表示极点）或（表示极点）或在在 中，由余弦定理：中，由余弦定理：解：如图，设所求圆上任一点解：如图，设所求圆上任一点 ，例：求极坐标系下，以定点例：求极坐标系下，以定点 为圆心，为圆心， 为半径的圆的方程。为半径的圆的方程。)(00 mr)0,(00 rr为定值为定值 )( popm 200202)cos(2r )( pr 0 0 )(00 m2、圆的极坐标方程、圆的极坐标方程即为所求圆方程。即为所求圆方程。 当圆心当圆心 表示极点时，表示极点时，

8、 代入代入 则圆方程化为：则圆方程化为： xo)(p)(00 m00 将将r )(r r200202)cos(2r 当圆心在极轴上，且圆经过极点时，当圆心在极轴上，且圆经过极点时，代入代入，将将000 r cos22r 舍去）舍去）（0cos2 rox200202)cos(2r )0 ,(rm)( p 则圆方程化为则圆方程化为即：即：设圆锥曲线上任一点设圆锥曲线上任一点 ， 设设)( rmpfk emamf cosrpbkma erpr cos整理得：整理得： cos1eepr xka)( rmf b rl3、三种圆锥曲线的统一的极坐标方程、三种圆锥曲线的统一的极坐标方程如图建立坐标系，如图建

9、立坐标系，称此方程为三种圆锥曲线的统一的极坐标方程称此方程为三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 10 e1 e1 e(允许允许 表示整个双曲线表示整个双曲线)0 rxfly cos1eepr 表示椭圆表示椭圆表示抛物线表示抛物线表示双曲线右支表示双曲线右支 例：确定方程例：确定方程 表示曲线的离心表示曲线的离心 率、焦距、长短轴长。率、焦距、长短轴长。 cos3510 r cos53131053cos5312 r31053 pe， 8158253103553310532cacacacbacxop cos1eepr 。，短短轴轴长长长长轴轴长长，焦焦距距方方程程表表示示椭椭圆圆的的离离心心率率542

10、54155325)815()825(22 eb极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一点可以有极坐标，也可以有直角坐标；同一条同一点可以有极坐标，也可以有直角坐标；同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角坐标方程。曲线可以有极坐标方程，也可以有直角坐标方程。为了研究问题方便，有时需要把在一种坐标系中的为了研究问题方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程。方程化为在另一种坐标系中的方程。 把直角坐标系的原点作为极点，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作轴的正半轴作为极轴，并在两种

11、坐标系中取相同的长度单位。为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。 设设m是平面内任一点，它的直角坐标为是平面内任一点，它的直角坐标为极坐标是极坐标是 ，从点，从点m作作 ，由三角函数，由三角函数定义，可得出定义，可得出 之间的关系。之间的关系。)( roxmn ),(yx 、与与、ryx)0(tansincos222 xxyyxrryrx ，xyoymnx r(1)(2)1、极坐标和直角坐标的互化公式：、极坐标和直角坐标的互化公式：公式公式(1)是用极坐标表示直角坐标的表达式是用极坐标表示直角坐标的表达式公式公式(2)是用直角坐标表示极坐标的表达式是用直角坐标表示极坐标的表达式 在一般情况

12、下，由在一般情况下，由 确定极角确定极角 时，时，可根据点可根据点m所在的象限取最小正角。所在的象限取最小正角。 tan )0(tansincos222 xxyyxrryrx ，(1)(2)坐坐标标化化为为直直角角坐坐标标。的的极极点点和和点点把把点点)75arcsin, 7(n)6, 5(m )25,325(m256sin5sin3256cos5cos 的的直直角角坐坐标标为为点点 ryrxmm2、极坐标与直角坐标互化公式的应用、极坐标与直角坐标互化公式的应用)5,62(n5)75arcsinsin(7sin627627)75(17)75cos(arcsin7)75arcsincos(7co

13、sn2 的的直直角角坐坐标标为为点点 ryrxn化化为为极极坐坐标标。的的直直角角坐坐标标和和点点把把点点)4 , 3(n)1,3(m )67,2(m670,m3331tan2)1()3(2222 的的极极坐坐标标为为点点在在第第三三象象限限点点 mmmrxyyxr例例2、解：解：)34,5(n340,n34tan54)3(2222arctgarctgrxyyxrnnn 的的极极坐坐标标为为点点在在第第二二象象限限点点所所表表示示的的曲曲线线。与与确确定定极极坐坐标标方方程程08sincos3)3sin(4 rrr，表表示示圆圆整整理理得得：化化直直角角坐坐标标方方程程：即即：由由4)1()3(322cos32sin2cos32sin2)cos23sin21(4)3sin(422222 yxxyyxrrrrr 例例3、解：解：表表示示直直线线化化直直角角坐坐标标方方程程：由由, 08308sincos3 yxrr 求求其其准准线线极极坐坐标标方方程程。表表示示的的曲曲线线，判判断断极