精选高考数学大一轮复习课时作业56圆锥曲线最值范围证明问题含答案详解

1、高考数学大一轮复习课时作业56圆锥曲线-最值、范围、证明问题已知椭圆c：=1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1，f2，且离心率为，过左焦点f1的直线l与c交于a，b两点，abf2的周长为4.(1)求椭圆c的方程；(2)当abf2的面积最大时，求l的方程.如图，已知椭圆e：=1(a>b>0)的左顶点为a，右焦点为f(1,0)，过点a且斜率为1的直线交椭圆e于另一点b，交y轴于点c，=6.(1)求椭圆e的方程；(2)过点f作直线l与椭圆e交于m，n两点，连接mo(o为坐标原点)并延长交椭圆e于点q，求mnq面积的最大值及取最大值时直线l的方程.已知动圆c与圆c1：(x2)

2、2y2=1相外切，又与直线l：x=1相切.(1)求动圆圆心轨迹e的方程；(2)若动点m为直线l上任一点，过点p(1,0)的直线与曲线e相交于a，b两点.求证：kmakmb=2kmp.已知抛物线c：x2=2py(p>0)，过焦点f的直线交c于a，b两点，d是抛物线的准线l与y轴的交点.(1)若abl，且abd的面积为1，求抛物线的方程；(2)设m为ab的中点，过m作l的垂线，垂足为n.证明：直线an与抛物线相切.已知椭圆e：=1(a>b>0)的一个焦点为f2(1,0)，且该椭圆过定点m.(1)求椭圆e的标准方程；(2)设点q(2,0)，过点f2作直线l与椭圆e交于a，b两点，且

3、=，2，1，以qa，qb为邻边作平行四边形qacb，求对角线qc长度的最小值.已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆c，其上一点p到两个焦点f1，f2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆c的方程；(2)若直线y=kx1与曲线c交于a，b两点，求oab面积的取值范围.已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆m的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点a与左、右两焦点f1，f2构成的三角形中面积的最大值为.(1)求椭圆m的标准方程；(2)若a与c是椭圆m上关于x轴对称的两点，连接cf2与椭圆的另一交点为b，求证：直线ab与x轴交于定点p，并求·的取值范围.设椭圆=1(a>b>0)的左

4、焦点为f，上顶点为b，已知椭圆的离心率为，点a的坐标为(b,0)，且|fb|·|ab|=6.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为p，且l与直线ab交于点q.若=sinaoq(o为原点)，求k的值.已知点c是圆f：(x1)2y2=16上任意一点，点f与圆心f关于原点对称.线段cf的中垂线与cf交于p点.(1)求动点p的轨迹方程e；(2)设点a(4,0)，若直线pqx轴且与曲线e交于另一点q，直线aq与直线pf交于点b，证明：点b恒在曲线e上，并求pab面积的最大值.已知椭圆w：=1(a>b>0)的焦距与椭圆：y2=1的短轴长相

5、等，且w与的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为a，直线l与直线oa(o为坐标原点)垂直，且l与w交于m，n两点.(1)求w的方程；(2)求mon的面积的最大值.答案详解解：(1)由椭圆的定义知4a=4，a=，由e=知c=ea=1，b2=a2c2=1.所以椭圆c的方程为y2=1.(2)由(1)知f1(1,0)，f2(1,0)，|f1f2|=2，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，l：x=my1，联立x=my1与y2=1，得(m22)y22my1=0，|y1y2|=，sabf2=2=2，当m21=1，m=0时，sabf2最大为，l：x=1.解：(1)由题知a(a,0)，c(0，a)，故b，

6、代入椭圆e的方程得=1，结合a2b2=1，得a2=4，b2=3，故椭圆e的方程为=1.(2)由题知，直线l不与x轴重合，故可设l：x=my1，代入=1得(3m24)y26my9=0，设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则y1y2=，y1y2=，连接on，由q与m关于原点对称知，smnq=2smon=|y1y2|=，1，34，smnq3，当且仅当m=0时，等号成立，mnq面积的最大值为3，此时直线l的方程为x=1.解：(1)由题知，动圆c的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x=2的距离，所以由抛物线的定义可知，动圆c的圆心轨迹是以(2,0)为焦点，x=2为准线的抛物线，所以动圆圆心轨迹e的方程

7、为y2=8x.(2)证明：由题知当直线ab的斜率为0时，不符合题意，所以可设直线ab的方程为x=my1，联立消去x，得y28my8=0，=64m232>0恒成立，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(1，t)，则y1y2=8m，y1·y2=8，x1x2=8m22，x1·x2=1，而2kmp=2·=t，kmakmb=t，所以kmakmb=2kmp.解：(1)abl，|fd|=p，|ab|=2p.sabd=p2=1.p=1，故抛物线c的方程为x2=2y.(2)证明：显然直线ab的斜率存在，设其方程为y=kx，a，b.由消去y整理得，x22kpxp2=0.x1

8、x2=2kp，x1x2=p2.m，n.kan=.又x2=2py，y=.抛物线x2=2py在点a处的切线斜率k=.直线an与抛物线相切.解：(1)由题易知c=1，=1，又a2=b2c2，解得b2=1，a2=2，故椭圆e的标准方程为y2=1.(2)设直线l：x=ky1，由得(k22)y22ky1=0，=4k24(k22)=8(k21)>0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则可得y1y2=，y1y2=.=(x1x24，y1y2)=，|2=|2=16，由此可知，|2的大小与k2的取值有关.由=可得y1=y2，=，=(y1y20).从而=，由2，1得，从而2，解得0k2.令t=，则t，|2=

9、8t228t16=82，当t=时，|qc|min=2.解：(1)设椭圆的标准方程为=1(a>b>0)，由条件知，解得a=2，c=，b=1，故椭圆c的方程为x2=1.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得(k24)x22kx3=0，故x1x2=，x1x2=，设oab的面积为s，由x1x2=<0，知s=×1×|x1x2|=2 ，令k23=t，知t3，s=2.对函数y=t(t3)，知y=1=>0，y=t在t3，)上单调递增，t，0<，0<s.故oab面积的取值范围为(0,.解：(1)由题意知=，·2c·b=，a2=

10、b2c2，解得c=1，a=2，b=.所以椭圆m的标准方程是=1.(2)证明：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x1，y1)，直线ab：y=kxm.将y=kxm，代入=1得，(4k23)x28kmx4m212=0.则x1x2=，x1x2=.因为b，c，f2共线，所以kbf2=kcf2，即=，整理得2kx1x2(mk)(x1x2)2m=0，所以2k(mk)2m=0，解得m=4k.所以直线ab：y=k(x4)，与x轴交于定点p(4,0).因为y=3x，所以·=(x14，y1)·(x11，y1)=x5x14y=x5x11=2.因为2<x1<2，所以·的

11、取值范围是- ,18).解：(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有=，又由a2=b2c2，可得2a=3b.由已知可得，|fb|=a，|ab|=b，由|fb|·|ab|=6，可得ab=6，从而a=3，b=2.所以，椭圆的方程为=1.(2)设点p的坐标为(x1，y1)，点q的坐标为(x2，y2).由已知有y1>y2>0，故|pq|sinaoq=y1y2.又因为|aq|=，而oab=，故|aq|=y2.由=sinaoq，可得5y1=9y2.由方程组消去x，可得y1= .易知直线ab的方程为xy2=0，由方程组消去x，可得y2=.由5y1=9y2，可得5(k1)=3，两边平方，整理得

12、56k250k11=0，解得k=，或k=.所以，k的值为或.解：(1)由题意得，f点坐标为(1,0)，因为p为cf中垂线上的点，所以|pf|=|pc|.又|pc|pf|=4，所以|pf|pf|=4>|ff|=2，由椭圆的定义知，2a=4，c=1，所以动点p的轨迹方程e为=1.(2)设p点坐标为(m，n)(n0)，则q点的坐标为(m，n)，且3m24n2=12，所以直线qa：y=(x4)，即nx(4m)y4n=0，直线pf：y=(x1)，即nx(m1)yn=0.联立方程组解得xb=，yb=，则=1，所以点b恒在椭圆e上.设直线pf：x=ty1，p(x1，y1)，b(x2，y2)，则由消去x整理得(3t24)y26ty9=0，所以y1y2=，y1y2=，所以|y1y2|=，从而spab=|fa|y1y2|=.令=(1)，则函数g()=3在1，)上单调递增，故g()min=g(1)=4，所以spab=，即当t=0时，pab的面积取得最大值，且最大值为.解：(1)由题意可得故w的