圆弧插值样条的约束生成方法及其应用

1、圆弧插值样条的约束生成方法及其应用浙江海外旅游公司计算机室 (杭州310002)浙江工业大学机电工程学院 (杭州310014)朱大可姜献峰【摘要】利用具有参数化设计 、特征造型能力的 cad 系统中构形的约束功能与方法 ,给出了一种圆弧插值样条曲线的 约束生成方法 。这种方法并不需要或依赖系统的曲线造型 功能 ,并可局部调整 ,尤其对缺乏曲线造型功能的 cad 系统 构建插值样条将有独到的作用 。关键词 :约束 ;插值 ;圆弧样条曲线 ;算法确定 , 因此样条可有 n 个自由度 。而 bi 与 ai +1 的相切将产生 n- 1 个约束方程 , 其圆弧样条生成必须整体地求解此 n - 1 个

2、约束方程构成的方程组 。依前面方法所定义的圆弧样条曲线 , 其分段数将有所增 加 , 但它具有相当的灵活性 。由于分段数的增加 , 使得此时样 条曲线还有一定数量的自由度 。如图 2 所示情形 , 由 bi 过 pi 点且在 pi 处与 ti 相切 , 因此 bi 还存在一个自由度 ( 即圆弧半 径) 。同样 , ai +1 也还存在一个自由度 ( 圆弧半径) 。又由 bi 与 ai +1 相切消耗了一个自由度 , 因此在 bi 与 ai +1 之间还存在一 个自由度以供曲线形状调节之用 。与以往的圆弧插值样条生 成方法相比 , 所定义的圆弧样条具有局部性质 , 可方便于各 圆弧段的生成与修改

3、 、调整 。例如 , 我们可具体适当地指定圆 弧 ai +1 的半径 , 从而唯一确定 bi 的半径以调节 pi 与 pi +1 之间插值型值点的样条曲线生成方法是几何造型的重要手段之一 ,其中分段圆弧光滑连接的圆弧样条插值 ,具有较为 重要的意义 。因为在绝大部分 cad 系统中 ,基本因素通常是 以直线 、圆弧构成 。圆弧样条的引入 ,可使系统在不增加额 外要求的情形下 ,使系统的功能得以延伸 。关于圆弧插值样 条的生成方法有许多 ,通常需要通过一个几乎整体的求解过程1 ,2。具有参数化设计 、特征造型能力的 cad 系统中 , 一曲线的形状 。我们也可适当地选择 a 与 b 的半径 ,

4、使得它i +1i般提供了一套对基本因素的约束限制方法 ,以便于实现参数化设计与最终的构形 。们的半径最为接近 ( 即半径差的绝对值最小) , 可以证明对图2 ( a) 的情形 ,i = (1/ 2)i +1 时 ai +1 与 bi 的半径最为接近 。其 中 mi +1 , ni 分别为圆弧 ai +1 与 bi 的圆心 。但依此方法确定的 ai +1 与 bi , 在局部可能较优 , 但从整个样条曲线来看 , 可能并 不一定最优 , 而且此时 ai +1 与 bi 的生成也相对较为复杂 , 一 般可不采用此方法 。1 型值点的圆弧样条插值设 pi ( i = 0 , , n) 为平面上的一列

5、型值点 , 如图 1 示 。在各型值点 pi 处 , 建立一方向 ti 。设 s 为过 pi , 且在 pi 处切向 为 ti 的样条曲线 , 其中在型值点 pi 与 pi +1 之间 , 样条曲线 s 由过 pi 点且在 pi 处与 ti 相切的圆弧 bi 及过 pi +1 点且在 pi +1 处与 ti +1 相切的圆弧 ai +1 构成 , 而 bi 与 ai +1 在 pi 与 pi +1 之间 相接并相切 。由此 , s 将由 2 n 段圆弧构成 , 圆弧首尾相接 , 并 在连接点处为 g1 连续 。图 1在以往的圆弧样条的构建中1 , 其中的圆弧 bi 定义为与ai - 1 相同

6、。由于此时的 ai - 1 ( 及 bi ) 在其半径给定后即可唯一图 2·10 ·meem no . 3 1999在具有特 征 造 型 及 参 数 化 设 计 能 力 的 cad 系 统 软 件(如 autodesk 公司的 mdt 软件) 中 ,在构形时 ,除具备对各几 何元素赋予一定形式的尺寸 ,并进行尺寸约束外 ,通常还提 供了以下几类约束方式3 :(1) 平行约束 ; (2) 正交约束 ; (3) 相切约束 ; (4) 共线约 束 ; (5) 同心约束 ; (6) 垂直约束 ; (7) 水平约束 ; ( 8) 投射约 束 ;等 。其中 ,投射约束具有一定的特殊地位

7、 ,它实现的是将特 定的点 (如圆心 、端点 、中点 、交点等) 约束 ( 投射) 到所指定的 线段上 。利 用 这 些 约 束 , 即 可 实 现 圆 弧 插 值 样 条 的 生 成 过 程 。在以下步骤中 ,就以 mdt 为例讨论其圆弧样条的生成 方法 。(3)在必要时对 bi ( 或 ai +1 ) 的半径进行参数化 , 修改其半径以局部微调曲线形状 。圆弧样条曲线 c 生成 、输出 。(4)由 2. 1 中步骤 (4) 可知 , 此时 ai 与 bi 必都过 pi , 且与 ti 相切 , 因此样条曲线 c 必首尾相连并切向连续 。图 4 所示为一叶片泵的定子的一个视图 ,其内部轮廓为

8、 由以上方法生成的 ,由 12 段圆弧构成的圆弧样条 ,其中实线 为所生成的圆弧样条 ,虚线为相应的结构线 。2 . 1 插值两点的圆弧样条约束生成步骤如图 3 示 , 分别过 p 与 q 作结构直线 tp 、tq , 使其(1)分别与 p 、q 点处的曲线切向重合 。图 43结论本文研究了通过具有参数化设计特征造型能力的 cad系统的约束功能生成圆弧插值样条曲线的方法 。由于使用 的都是 cad 系统所提供的较为一般的功能和手段 , 因此整 个生成 过 程 并 未 给 系 统 增 加 额 外 的 负 荷 。与 nurbs 相 比 较 ,该方法更简便易行 ,尤其适用于零件的部分结构中插值 样条

9、的生成 。图 3分别过 p 与 q 作结构直线 l p 、lq , 并用正交约束使(2)得 l p 与 tp 垂直 , lq 与 tq 垂直 。(3)以适当的半径分别作圆弧 cp 与 cq , 并用修剪命令参考文献将多余线条修剪去 , 使其首尾相连成折线状 。用投射约束 , 将 cp 接近 p 的端点约束到 tp 与 l p(4)董光昌等 , 样条曲线拟合与双圆弧逼近 ,应用数学学报 ,1987 ,1 (4) :330340i. d. faux and m. j . pratt , computational geometry fordesign and manufacture , first

10、 published , chichester , ellishorwood ltd. , 19791126197mechanical desktop 3. 0 user reference , autodesk co .199819661上 , 将 cq 接近 q 的端点约束到 tq 与 lq 上 , 并分别将 cp 与 cq的圆心约束到 l p 与 lq 上 。2用相切约束将 cp 与 cq 在连接点处约束为相切 。(5)此时插值 p 、q 两点的圆弧样条即已生成完毕 。在此两点插值样条生成完毕后 , 可对 cp ( 或 cq) 的半径 进行参数化 , 调整 cp ( 或 cq) 的半径以

11、达到调整曲线形状的3issn1001 - 4551mec hanical & el ectrical engineering ma gazine (bimonthly strarted in 1971)vol . 16 no . 3 , may . 1999edited by editorial office of mec hanical & el ec2trical engineering ma gazine add :no . 128 laodong road , hangzhou ,chinap. c :310002tel :86 - 571 - 7914088 , 79

12、11877fax :86 - 571 - 7027649simplif ied dyna mic nurbs swung surfaces f orphysics - ba sed sha pe designli dexin yun min ying jinchun (1)abstrcat :this paper represents a concept of simpli2 fied dynamic nurbs swung surfaces for physics - based shape design. a dynamic freeform surface model which is

13、useful for representing a broad class of objects with sym2 metries and topological variability is developed. the new model is based upon swung nurbs surfaces , and it in2 herits their desirable crosssectional design properties. it melds these geometric features with the demonstrated con2 venience of

14、 surface design within a physics - based frame2 work. the equations of motion for the simplified dynamic nurbs swung surfaces model are derived using the la2 grangian mechanics . some application examples of sim2 plified dynamic nurbs swung surfaces are showed , which include rounding and blending ,

15、 scattered data fit2 ting and interactive sculpting.key words :simplified d - nurbs ; swung surfaces ;deformable models ;force ;constrints- dimensional reconstructionresearch on data ba se - ba sed para metric cappsystemyuan j ulin zhang jianyang et al (8)huang changlinabstrcat :the product database

16、 is built based on theintranet . it transforms the descriptive characters into pa2 rameters with concrete data meaning , which can be di2 rectly shared by other cax systems and mis systems of enterprise . new content of working step can be automati2 cally acquired by changing any parameter of techni

17、cs , which has realized the parametric of the technics card in some sense .key words :database ;parametric ;capparc splinemethodinterpolate ba sed on constra inedzhu dake jiang xianfeng ( 10)this paper , based on the constrainabstrcat : infunction provided by the 3d cad system , an arc spline interp

18、olation method is presented. this method doesntneed curve modeling and is local adjusted and especially fit for the cad system with which without curve modeling block.key words : constrain ; interpolation ; arc spline curve ;algorithmthe study of the accuracy of cae system ba sedon the ra pid toolin

19、g manufacturetong s huiguang zhang renji yan yongnian (4)liu yuanabstrcat :introduced the cae system of rapid tool2ing , analyzed the factors influencing the precise of prod2 ucts. the author promoted to analyze the precision of three main manufacturing stage and use the mode recog2 nize theory , th

20、e error theory and the neutral network method to solve the error feedback problem to assure the quality of the products.key words :cae ; rt ;feedbackfuzzy logic control of dydra ulic flux f or a hy2dromatic tension test machineyangqihua ( 12)abstrcat :a method of fuzzy control based on alter2 able d

21、omain for hydromatic tension test machine are intro2 duced. a idea of design and practicability for fuzzy con2 trol system are also given.key words :fuzzy control ; digital electro - hydraulic valve ;fuzzy control rulesthree - dimensional reconstruction of the mea2surement ba sed on the stereo visionzuo aiqiu ruan xiaodong l uo hanxiu zhuge liang (6)abstrcat : the three - dimensional reconstruction