级数敛散性的判别法定稿-副本

1、摘 要级数有很多重要的性质，其中敛散性是级数的一个非常重要的性质，敛散性的判别方法也一直是人们研究的热点。通过判别级数的敛散性可以进一步了解级数的性质。本文探讨了正项级数、交错级数以及任意项级数敛散性的判别方法，正项级数、交错级数、一般项级数通项的多变性,决定了判别正项级数、交错级数、任意项级数敛散性的方法会有很多种，常用的有达朗贝尔判别法、柯西判别法、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法。当然由于通项的特殊性也会有特殊的判别方法。本文通过归纳一些判别正项级数与交错级数敛散性的方法,让人们在学习过程中对级数敛散性的判别能够很好的把握，并掌握这些判别法成立的条件。关键词：正项级数、交错级数、敛散性、判

2、别法AbstractThe series has a lot of important properties, which is the series convergence and divergence of a very important properties, criteria for convergence and divergence has been the focus of study. Through judging the convergence of series to further understand the series nature. This article

3、of the series of positive terms, staggered series as well as any series convergence and divergence sexual discrimination method, a series of positive terms, staggered series, series of any general variability, determines the identification of series of positive terms, staggered series, any of the co

4、nvergence of the series will have a variety of methods, mainly the Darren Bell discriminant method, Cauchy method, Leibniz method, Dirichlet discrimination method. Of course due to the particularity of the general will also have the special methods of discrimination. This paper summarized some crite

5、ria for positive term series and the convergence of alternate series method, let people in the learning process of convergence of series of discrimination can be a very good grasp of, and grasp the discrimination conditions. Key words: Series of positive terms, Alternating series, Convergence and di

6、vergence, Discrimination analysis method 目 录第1章 绪论1第2章 正项级数敛散性的判别方法22.1 基本判别方法 22.2 特殊判别方法 3第3章 交错级数敛散性的判别方法93.1 基本判别方法 93.2 特殊判别方法10第4章 任意项级数敛散性判别法 16第5章 结论 19参考文献20致谢22级数敛散性的几种判别方法第1章 绪 论级数理论的发展经历了一个相当漫长的时期，17世纪到18世纪 ，可以说是级数理论发展的黄金时期，先是1669年夏牛顿详细写下关于级数研究的论文用无限多项方程的分析学,然后是莱布尼兹用同样的方法得到了结果，再然后是格

7、雷戈、泰勒，并且发展了泰勒定理，还有拉格朗日、斯特林等一系列的数学家级数理论的研究都做出了巨大的贡献。无穷级数在18世纪的形成发展，促成了数学家在19世纪建立无穷级数理论。无穷级数作为分析文档的有效工具，促使数学家在数学发展上进行大胆的尝试，虽然产生许多悖论，但使数学产生了很多分支，丰富了数学理论的发展。此外，发散级数在天文、物理上的广泛应用，推动了人类发展的进步。柯西是第一个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广而应当以极限为基础建立起完整理论的数学家，之后在经过了几十年，级数理论才得以真正的完善。 级数理论的发展可以分成几个时期：级数的早期工作、函数的展开、级数的求和、收敛与发

8、散的初探、理论的形成、理论的建立、一致收敛、影响与发展、渐近级数、级数的可和性。每个时期都经过很长的时间才得以发展，都是经过很多数学家的共同努力才得出的结果。  级数是进一步研究函数的有力工具：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等随着研究领域的逐渐扩展，数学家们运用数项级数所取得的成功变得越来越多然而在这些成果的背后，数项级数的敛散性判别是最基础的也是最急需解决的问题本文将根据前人在数项级数判别方法的基础上进一步系统全面地归纳总结数项级数敛散性

9、的判断方法。第2章 正项级数敛散性的判别方法2.1基本判别方法2.1.1比式判别法例2.1.1 判别正项级数的敛散性。解：由, 所以，正项级数收敛。注：像正项级数 （x>0）,等都可采用此法判断。2.1.2 根式判别法（柯西判别法）例2.1.2 研究级数的敛散性。解：由于 所以，级数是收敛的。注：级数、 、（>0,>0）等都可采用此法判断。比式判别法与根式判别法都是建立在正项级数比较判别法基础上的，所用的比较级数是收敛速度相对比较快的等比级数。这两种方法虽然更方便，但是它们也只能用于判别那些比等比级数收敛速度更快的级数，而对于那一类比等比级数收敛速度更缓慢的级数，这两种判别法

10、就无能为力了。这两种判别方法是我们用得比较多，因为它们用起来很方便。但是，对于比值判别法与根值判别法存在两点不足：1) 当时，判别法失效，既有收敛的，也有发散的级数。2) 判别法可能由于 根本不存在而失效。2.2 特殊判别方法2.2.1拉贝判别法定理2.2.1（拉贝判别法）设为正项级数，且存在正整数及常数r ,（1）如果存在r>1使得时，有>1，那么级数收敛；（2）如果对充分大的都有，那么级数发散。定理2.2.2（拉贝判别法的极限形式）设有正项级数，满足极限存在，那么（1）若>1这一整部分都要用公式编辑器。, 则级数收敛；（2）若<1同上。，则级数发散。例2.2.1判断

11、级数的敛散性。解：由于所以，级数收敛。注：拉贝判别法在判别范围上比比式判别法更加广泛些，在使用时会方便些。2.2.2 高斯判别法定理2.2.2设正项数列满足 (),那么（1）当>1用公式编辑器。时级数收敛；（2）当<1时级数发散。例2.2.3 Gauss超几何级数 的敛散性，其中均为非负常数。解：因为又因为，所以.根据Gauss判别法可以判定：如果，或者，那么级数收敛。如果，或者，那么级数发散。注：高斯判别法是最强的，凡是能用比式判别法、根式判别法、拉贝判别法判别敛散性的正项级数，均可采用高斯判别法来判定。2.2.3 对数判别法定理2.2.4设>0 (=1,2,), 如果满足

12、，则（1） 当>1时，级数收敛；（2） 当<1时，级数发散。例2.2.4判别级数与的敛散性。解：1),由定理2.2.4，级数收敛。2），由定理2.2.4，级数发散。例2.2.5判别级数以及的敛散性。解：1），由定理2.2.4，级数收敛；2），由定理2.2.4，发散。2.2.4 隔项比值判别法定理2.2.5 设正项级数的项是递减的，如果，则（1） 当<整体打时，级数收敛；（2） 当>同上。你自己检查一下吧，凡是这种情况都要整个用公式编辑器。时，级数发散。例2.2.6 试判断级数的敛散性。解：由于是递减的，因为由隔项比值判别法，所以是收敛的。2.2.5 运用微分中值定理判别

13、级数敛散性定理2.2.6 设在（0，1）内可导，且导函数有界，则级数 绝对收敛。例2.2.7 试判断级数的敛散性。解：易知在（0，1）内可导，同时的导函数有界，由微分中值定理可以得出绝对收敛。2.2.6 利用数列判别级数的敛散性定理2.2.7若数列有界，则级数当时绝对收敛。推论1 若数列有上界，则正项级数 当时收敛。推论2 若数列有界，则正项级数 当时收敛。定理2.2.8当时，正项级数发散。定理2.2.9 若数列收敛于,则正项级数 当时收敛。定理2.2.10 设为一数列，且，若，则：（1）当 时正项级数收敛；（2）当 时正项级数发散；（3）当 时正项级数也发散。例2.2.8 证明解：由.于是，

14、其中.其中.因此，.2.2.7 运用等价无穷小替换判别级数的敛散性定理2.2.11 设和均为正项级数，且当时，为等价无穷小量，则和的敛散性保持一致。例2.2.9 证明：极限 ，则级数收敛。证： 因为， 即当时，等价，而 应该是等价关系吧，我看你打的怎么是乘号呢？，所以 同上。 ，又由于收敛，故级数收敛。例2.2.10判别级数的敛散性。解：因为时，而。当时，该级数收敛；当时，该级数发散。故当时，收敛；当时，发散。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但每种判别方法都有它的优势和劣势，没有一种万能的判别方法。我们不能单单只知道这个定理的公式，而应真正去认识这个定理，了解这个定理的特点和它的使用局限。同

15、时还要了解在哪些情况下用这个定理可能会相对方便简单，这就有很好的应用意义，给解题带来很大的方便。对于一种判别方法，它可能在处理此问题时好用，而在处理彼问题时却失效。例如，用达朗贝尔判别方法判别正项级数的收敛性就无能为力了，但用拉贝判别法却可以非常方便地解决这一问题。因此，在判别正项级数敛散性问题时，不妨多尝试几种方法，一种不行就换另一种，总之，应用最简单的方法去解决级数敛散性问题。第3章 交错级数敛散性的判别方法3.1 基本判别方法3.1.1 利用级数敛散性定义判定例3.1.1 判别级数的敛散性。解：此为交错级数，但不满足，设为级数的部分和，先证单调减少而有下界； =括号内各项均小于零，因而单

16、调减少，又因= 有下界，故存在，设=,又，因此，=,故原级数收敛。例3.1.2 判别下列级数的敛散性。解：而级数发散，故=这个结果不对，它的极限应该是不存在而不是无穷大，你再看看。，故原级数发散。注：该方法是最原始的也是最基本的方法，应用起来思路比较简单。3.1.2 莱布尼茨判别法例3.1.3 判别下列级数的敛散性。（1） （2） 解：（1）此级数为交错级数，则；且，即：数列单调递减。因此，交错级数收敛。（2）此级数为交错级数，；显然数列单调递减。因此，交错级数收敛。注：例中两个交错级数虽然都收敛，但是，它们通项的绝对值所组成的级数，即正项级数发散，而正项级数收敛。因此，级数条件收敛，而级数绝

17、对收敛。虽然莱布尼茨判别法可以判别交错级数的敛散性，但是在具体应用过程中也存在一些问题：判别法中的两个条件难于验证;在级数收敛时,不能直接判别级数是绝对收敛还是条件收敛;该判别法只给出了级数什么时候收敛,没有给出级数发散的条件。因此我们需要学习其他的判别法，以下介绍了其他的判别法。3.2 特殊判别方法3.2.1 极限判别法定理3.2.1 若交错级数满足：，则（1）当时，原交错级数收敛，特别地，当时，原交错级数绝对收敛，当时，原交错级数条件收敛；（2）当时，原交错级数发散。（3）当时，原级数可能收敛或者发散。例3.2.1讨论级数的敛散性。解： 先考虑是正项级数，用比值判别法的极限形式：,所以，当

18、时，正项级数收敛，因此原交错级数绝对收敛；当和时，需要另外找方法讨论其敛散性。当时，交错级数为，考察 （令） 由极限判别法知，当时，原交错级数条件收敛。当时，考察级数，用正项级数的比值判别法，得，所以正项级数收敛，因此=，所以，故当时，原交错级数发散。综上所述，当时，原级数绝对收敛；当时，原级数条件收；当时，原级数发散。注：由于该定理无法给出和的情况，所以要具体情况具体讨论，不过该定理明确了交错级数何时绝对收敛，何时条件收敛，具有十分重要的意义。一般我们遇到以下情况时用该定理非常方便：通项含有连乘积；通项含有阶乘项或次方的乘积等。3.2.2 添加括号法定理3.2.2 设交错级数的通项趋于0，若

19、将级数不改变次序地任意添加一些括号，且诸括号里所含最大项数有限，则构成的新级数与原级数同敛散。利用以上定理，我们在判别交错级数的敛散性时，首先只需看一般项是否趋于0，然后再随意添加括号，看看由此得到的新级数是否收敛，即知原级数是否收敛了。例3.1.4 求()的敛散性。解：所给级数的通项趋于0，将原级数加括号后成为如下级数由于=1，又级数发散，从而加括号后的级数发散，故所给级数发散。例3.2.1 求级数的敛散性。解：将原级数加括号后成为如下级数由于，又级数收敛，从而加括号的级数收敛，故所给级数收敛。注：其实添加括号法就是将有相同规律的项用括号括起来组成一个新项，进而组成一个新的级数，再用其它的判

20、别法判别其敛散性。3.2.3 通项变形法将级数的通项用适当的方法变形，使之分解为几个级数，讨论各级数的敛散性，再利用收敛级数的运算性质来判别交错级数的敛散性，这是一种较常用的行之有效的方法。例3.2.2 判别级数的敛散性。解：将通项=因为收敛，发散，故原级数发散。例3.2.3 判别级数的敛散性。解：利用泰勒公式对级数的通项进行展开，由得到=，故，上式右边各个级数均收敛，故原级数收敛。注：通项变形法就是将级数的通项化简一下，然后再判别其敛散性。3.2.4 微分形式判别法定理3.2.3 对于交错级数 （3.2.3）设当时，为正的连续可导函数，令，若 （1）当(包括+)时，级数收敛，其中在时，级数条

21、件收敛，而当(包括+)时，级数绝对收敛；（2）当(包括-)时,级数发散。例3.2.5 判别级数的敛散性。解：令， ，由定理17可知: 当时，级数收敛；当时，级数条件收敛,当时，级数绝对收敛；当时，级数发散，所以，原级数条件收敛。例3.2.6 判别级数的敛散性。解： 令 ，则，所以所给级数收敛且绝对收敛。注：微分形式判别法是通过对通项求导的方法来判别交错级数的敛散性。它应用起来方便有效,且作为交错级数的一个判别法所起的作用是莱布尼兹判别法所不能替代的。3.2.5 比值判别法或根值判别法定理3.2.4 比值判别法 ：时，发散，当r<1时，收敛。根值判别法：当时，发散，当r<1时，收敛。

22、例3.2.7 判别级数的敛散性。解： 由=>1 ，故由比值判别法可知交错级数发散。例3.2.8 判别级数的敛散性。解：，又，从而， ，故由根值判别法知原级数收敛。注：交错级数敛散性的判别方法有很多，但是每种方法都有它的优点和劣点，没有一种万能的判别方法。所以我们在运用时要灵活变通，使用最恰当的方法，这样会让我们做起题来得心应手。第4章 任意项级数敛散性判别法设任意项级数（4.1）（其中 =1，2，3） 令，。定理4.1 任意项级数收敛交错级数收敛。比值审敛法解决的是正项级数的敛散问题。对任意项级数比值法也无能为力。但是任意项级数的敛散性，依赖于,即正项级数的敛散性。对此，有两种情况:第一

23、，若收敛，则绝对收敛；第二，若发散。则可能收敛，也可能发散，即对后者的敛散性没有定论。通过研究，我们发现，若的发散性是由比值法判断而得，则一定也发散，故可以得出以下定理。定理4.2 若比值审敛法判断发散，则也发散。定理4.3 (阿贝尔Abel判别法)设数列单调有界,级数收敛,则级数收敛。例 4 试证：收敛。解： . 而收敛,.所以单调减少。又，所以有界，所以由阿贝尔判别法收敛。定理4.4 （狄利克雷判别法）若数列单调递减，且，又级数的部分和数列有界，则级数收敛。例4.3 若数列为单调递减，且，则级数和对任何都收敛。解：因为.当时，故可得这里应该是一个等式吧，检查看看。.所以级数的部分和数列当时

24、有界，由狄利克雷判别法可得级数收敛。同理可证级数也是收敛的。作为例4.3的特殊情况，我们知道和对一切都收敛。第5章 结 论级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数与交错级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决级数问题首先解决收敛性判断。 级数敛散性的判别方法有多种，本文主要讨论了正项级数与交错级数的判别方法，判别方法有很多种，但是每种判别方法都有其优点与缺点，没有一种万能的判别方法，这需要我们在做题过程中自己寻找合适的方法来做题，只有这样才能使得我们能够迅速解决问题。 有些通项特殊的级数我们可以用一些特殊的方法判别，这样会使的题目简单化。参考文献1华东师范大学数学系.数学分析(下册)(第四版)M.北京：高等教育出版社，2001.2同济大学应用数学系.高等数学(下册)(第五版)M.北京:高等教育出版社,2002. 3同济大学,天津大学,重庆大学等.高等数学(第四版)M.北京:教育出版社，2003. 4彭砚,陈铿羽.级数敛散性的根值判别法的推广J.高等数学研究,2008,11(3):3537. 5汪晓勤.19世纪上半叶的无穷级数敛散性判别法J.高等数学研究，2004:127134. 6李世金,赵洁.数学分析解题方法600例M.上海:华东师范大学出版社，1992. 7张永明.数