数学物理方程与特殊函数第二三章作业

1、习 题 2.14. 一根长为l、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=l端，使之获得冲量i。试写出定解问题。解：由题意可知定解问题为：习 题 2.23. 设物体表面的绝对温度为u，它向外辐射出去的热量，按斯特凡玻尔兹曼定律正比于u4，即dq=k u4dsdt，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数。试写出边界条件。解：由题意可知：边界条件为： 习 题 2.34. 由静电场gauss定理，求证：，并由此导出静电势u所满足的poisson方程。证明：由题意可知由静电场高斯定理： 习 题 2.42. (1) 解：由题意可知：=121×(-

2、3)=40 => 双曲型 => 或 -1令 则 => (5) 解：由题意可知：=8216×3=160 => 双曲型 => 或 令 则 => 习 题 2.52.试证明：若是定解问题的解，则是定解问题的解。证明：由题意可知： 其次，因是齐次定解问题的解，因此， 是定解问题的解。习 题 2.61. (3) 证明公式：证明：由题意可知：且 习 题 3.13. (4) 解：由题意可知：可分为两种情况来讨论（令）a) 当时，方程的通解为x(x)=ax+b. （a、b为任意常数） 代入边界条件得x(0)= b=0 x´(l)+hx(l)=a+h(al+

3、b)=0 => (1+hl) a=0b) 当时，方程的通解为. （a、b为任意常数）代入边界条件得x(0)=a=0 => => 边值问题的固有值为 的正根。 相应的固有函数为 7. 一根长为l的杆，一端固定，另一端受力f0而被拉长。求杆在去掉f0时的振动。设杆的截面积为s，杨氏模量为y。解：由题意可知定解问题为：=> => 当时，边值问题只有零解。当时， x(x)=ax+b. 当a=0，b0时，方程满足条件。当时， . （a、b为任意常数）代入边值条件得：x(0)= a=0， => (n=0,1,2··)则固有值为 ，相应固有函数为（bn

4、为任意非零常数） (n=0,1,2··)代入初始条件为：=> (n=0,1,2··)习 题 3.22. 一根长为l的细杆侧面和两端绝热，初始时刻细杆上的温度为。求细杆上的温度变化的规律。其定解问题为：解：由题意可知定解问题的固有值问题为：=> 当时，边值问题只有零解。当时， x(x)=ax+b. 当a=0，b=0时，边值问题只有零解。当时， . （a、b为任意常数）代入边值条件得：， => (n=0,1,2··)固有值为 ，相应固有函数为（an为任意非零常数）又 ， 习 题 3.34. 求解圆域内laplace方程n

5、eumann问题：解：由题意可知laplace方程一般解为： 其中为任意常数， （n=1,2，··）习 题 3.42. 一个长、宽各为a的方形膜，边界固定，膜的振动方程为 求方形膜振动的固有频率。解：由题意可知将定解问题进行时空分离和空间变量分离：相应空间固有值问题的固有值为 求解关于t(t)的常微分方程，可得通解为：相应的方形膜振动的固有频率习 题 3.52. 求解定解问题： 其中，t0是常数。解：由题意可知定解问题的边值问题为：解得：令，代入原定解问题，得：得：其中 6. 求解定解问题：解：由题意可知分离变量发可得固有值及固有函数分别为：固有值为 ，相应固有函数为（an为任意非零常数，n=1,2···）则 代入波动方程，并将a按xn展开，得：则 比较可得： 原定解问题解为：习 题 3.61. 求解定解问题： 其中，b和u0是常数。解：由题意可知：由于边值问题诗非齐次的，首先应该把边界条件齐次化。令代入波动方程得： 为使方程与边界条件同时齐次化，需满足