小学教育动量矩定理PPT课件

1、8-1 8-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩1 1质点的动量矩质点的动量矩对点O的动量矩()OMmvrmv对 z z 轴的动量矩()()zOxyMmvMmv 代数量,从 z 轴正向看, 逆时针为正,顺时针为 负.第1页/共64页()()OzzMmvMmv1()nOOiiiLMmv 1()nzziiiLMmv 单位:kgm2/s 2 2质点系的动量矩质点系的动量矩 对点的动量矩 对轴的动量矩OzzLLOxyzLL iL jL k 即 第2页/共64页iiiiizzrvmvmML)(2iiiiirmrrm2iizrmJzzJL （1 1） 刚体平移刚体平移.可将全部质量集中于质心,作为

2、一个质点来计算.()zzCLM mv()OOCLMmv,（2 2） 刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 转动惯量第3页/共64页dd()()ddOMmvrmvttdd()ddrmvrmvtt 8-2 8-2 动量矩定理动量矩定理 1 1质点的动量矩定理质点的动量矩定理设O为定点,有0vmvd()dmvFt其中:ddrvt （O为定点）第4页/共64页d()( )dxxMmvMFtd()( )dyyMmvMFtd()( )dzzMmvMFt投影式:d()( )dOOMmvMFt因此 称为质点的动量矩定理质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩.第5页/共64页dd

3、d()()dddOOi iOi iLMmvMmvttt( )d()deOOiLMFt 得称为质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理:质点系对某定点O的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和.( )( )d()()()dieOiiOiOiMmvMFMFt( )( )d()()()dieOi iOiOiMmvMFMFt 2. 2. 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 由于 ( )()0iOiMF第6页/共64页( )d()dexxiLMFt ( )d()dyeyiLMFt 投影式:( )d()dezziLMFt 内力不能改变质点系的动量矩.第7页/共64页RmgMMeOs

4、in)(RmgMmvRJtsindd22sinmRJmgRMRa例8-1 8-1 已知： , ,小车不计摩擦. .,MJRma求:小车的加速度 .RvmJLO解:Rvatvdd由 , ， 得第8页/共64页例8-28-2：已知 , , , , , , , , , , ,不计摩擦. .mOJ1m2m1r2r求: :（1 1）NF （2 2）O处约束力 （3 3）绳索张力 ，1TF2TF第9页/共64页)(222211rmrmJO( )1 12 2()()eOMFm rm r g2222112211)(ddrmrmJgrmrmtO 由 ,得( )d()deOOLMFt 222111rvmrvmJL

5、OO解：(1)(1) （2）由质心运动定理由质心运动定理CyNammmgmmmF)()(2121第10页/共64页212211212211)(mmmrmrmmmmamammymyaiiiCCy 111111rmamFgmT)(111rgmFT)()(221121rmrmgmmmFN （3） 研究研究1m222222rmamgmFT)(222rgmFT2m（4）研究研究第11页/共64页例例8-3 水涡轮以等角速度绕通过O 点的铅垂轴z 转动，试求从涡轮叶片间流过的水流给涡轮转子的转动力矩。解：解：取两叶片间的水流ABCD（质点系）为研究对象。重力平行于z 轴，对转动轴之矩为零。所以，水流作用于

6、涡轮的转动力矩与叶片对水流的约束力对z轴之矩Mz大小相等、转向相反。第12页/共64页计算 dt 时间间隔内动量矩的增量 dL 。设流动是稳定的，则由动量矩定理)coscos(222111rvrvQMMzz以上结果称为欧拉涡轮方程欧拉涡轮方程。 第13页/共64页3 3动量矩守恒定律动量矩守恒定律若 , ( )()0eOMF若 , 则 常量。( )()0ezMFzL 例：面积速度定理有心力有心力：力作用线始终通过某固定点, 该点称力心力心.由于 ,有( )0OMF ()M mvrmv 常矢量OL 则则 常矢量；常矢量；第14页/共64页d(2)drrmvrmbt常量ddrrt即 常量d2drr

7、A由图, , ddAt因此, 常量（1） 与 必在一固定平面内,即点M的运动 轨迹是平面曲线.rv 称面积速度.ddAt 面积速度定理面积速度定理：质点在有心力作用下其面积速度守恒.第15页/共64页求：剪断绳后, 角时的 .例8-4：两小球质量皆为 ,初始角速度m0第16页/共64页020221maamaLz2)sin(22lamLz时,00 时,202)sin(laa由 , 得12zzLL解解：第17页/共64页 8-3 8-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程12,nF FF主动力:12,NNFF约束力:d()()()dizzizNJMFMFt ()ziMF d()dzz

8、iJMFt 即:( )zzJMF 或22d( )dzzJMFt 或转动微分方程第18页/共64页例8-5:已知: ，求 .12, ,R J F FRFFJ)(21JRFF)(21解:第19页/共64页求微小摆动的周期 .例8-6： 物理摆（复摆），已知 ，aJmO,第20页/共64页22dsindOJmgat 解：sin微小摆动时，mgatJO22dd0dd22OJmgat即：)sin(tJmgaOO通解为 称角振幅角振幅， 称初相位初相位，由初始条件确定.OmgaJTO2周期第21页/共64页求：制动所需时间 .t例8-7：已知： ，动滑动摩擦系数 ，RFJNO,0f第22页/共64页000

9、ddtONJfF R t0ONJtfF RddONJFRf F Rt解：第23页/共64页1111RFMJt2222MRFJt2122112211iJJiMM21121221,MMRRiJJ1例8-8：已知 求： .解：ttFF 121221RRi因 ， ，得第24页/共64页21iinizrmJ8-4 8-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 单位：kgm2 1. 1. 简单形状物体的转动惯量计算简单形状物体的转动惯量计算(1)(1)均质细直杆对一端的转动惯量均质细直杆对一端的转动惯量 3d320lxxJlllz231mlJzlml由 ，得第25页/共64页42)d2(402RrrrJA

10、RAO222mRmRRmJiiz（2 2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量）均质薄圆环对中心轴的转动惯量Aiiirrmd2（3 3）均质圆板对中心轴的转动惯量）均质圆板对中心轴的转动惯量2RmA式中：221mRJO 或第26页/共64页2 2. . 回转半径（惯性半径）回转半径（惯性半径） mJzz2zzmJ或2CzzJJmd3 3平行轴定理平行轴定理Czdzz 式中 轴为过质心且与 轴平行的轴， 为Cz与 轴之间的距离。即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.第27页/共64页2211()CziJm xy )(222yx

11、mrmJiiz)(2121dyxmiiiimdymdyxm2121212)(01iiCmymy证明：因为2CzzJJmd01ymi有 ，得第28页/共64页231mlJzlm,例8-9：均质细直杆，已知 .Cz求：对过质心且垂直于杆的 轴的转动惯量。要求记住三个转动惯量22mR（1） 均质圆盘对盘心轴的转动惯量32ml（2） 均质细直杆对一端的转动惯量122ml（3） 均质细直杆对中心轴的转动惯量12)2(22mllmJJzzC则z 对一端的 轴，有解：解：第29页/共64页4 4组合法组合法OJ 求：求： .ld例8-10： 已知杆长为 质量为 ，圆盘半径为 ，质量为 .1m2m第30页/共

12、64页盘杆OOOJJJ231mlJO杆2222)2()2(21dlmdmJO盘)83(222ldldm)83(3122221ldldmlmJO解：第31页/共64页21JJJz2222112121RmRm)(214241RRlJz 解：lRm222lRm211其中mRRl)(2221由 ，得)(212221RRmJz)(2122212221RRRRl21,RRm例8-11：已知： ，zJ 求求 .第32页/共64页5 5实验法实验法O例：求对 轴的转动惯量.将曲柄悬挂在轴 O上，作微幅摆动. .mglJT2由lm,TJ其中 已知, 可测得，从而求得 .解解：第33页/共64页6. 6. 查表法

13、查表法均质物体的转动惯量均质物体的转动惯量薄壁圆筒细直杆体积惯性半径转动惯量简 图物体的形状212lmJCz23lmJz32lCz3lz2mRJzRzRlh2第34页/共64页薄壁空心球空心圆柱圆柱)3(1221222lRmJJmRJyxZ)3(121222lRRyxzlR2)(222rRmJz)(2122rRz)(22rRl232mRJzRz32Rh23第35页/共64页圆环圆锥体实心球252mRJZRz52343R)4(803103222lrmJJmrJyxZ)4(80310322lrryxzlr23)43(22rRmJZ2243rRzRr222第36页/共64页矩形薄板长方体椭圆形薄板2

14、22244)(4bmJamJbamJyyZ222122babayxzabh)(12)(12)(12222222cbmJcamJbamJyyZ)(121)(121)(121222222cbcabayxzabc22221212)(12bmJamJbamJyyZbabayxz289. 0289. 0)(12122abh第37页/共64页8-5 8-5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理1 1对质心的动量矩对质心的动量矩CCiiiiiLMmvrmv(0)i iCmrrm 因有有CiiirLrmv由于由于iCirvvvCiiCiiirLrmvrmv得得( )0iiCiiCrmvmr

15、v其中其中第38页/共64页即：无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于 质心的动量矩其结果相同.OCiiiCiiiiiLrrmvrmvrmv,iiCiiiCmvm vrmvLOCCCLrmvLOCCMmvL对任一点对任一点O的动量矩：的动量矩：质点系对任一点O的动量矩等于集中于质心的系统动量mvc对于O点的动量矩再加上此系统对于质心的动量矩Lc（矢量和）。第39页/共64页例例8-12 均质圆轮在地面上作纯滚动，轮心速度为v0。已知圆轮质量为m，半径为r，A、B分别为图示固定点，求该瞬时圆轮对点A、B的动量矩的大小。已知221mrJCCCCCAmmLvACLvrL0002002321sin

16、mrvrvmrrmvJmvACLCA0022121mrvrvmrJLCB解解：根据公式所以所以第40页/共64页11222321RRvv1223232222()OJJLmm R vRROCOBOAOLLLL 1122222332()JJm v Rm v R解：例例8-13 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3 求求系统对O轴的动量矩。第41页/共64页 ddddeOCCCiiLrmvLrFtt2 2 相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理 eeCiiirFrFdd,0ddCCCCrrvmvtt由于ddddddCCCCCrLmvrmvttt即第42页

17、/共64页 ddeCCCirmvrFt eeCiCirFrF质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理:质点系相对于质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩的外力对质心的主矩. ddeCiiLrFt得得 d()deCCiLMFt或或第43页/共64页 ()eCeCCmaFJMF 2222ddd()deCeCCrmFtJMFt 或或8-6 8-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程第44页/共64页 ()eCxxeCyyeCCmaFmaFJMF 以上各组均称为刚体平面运动微分方程以上各组均称为刚体平

18、面运动微分方程. ()etCtenCneCCmaFmaFJMF 应用时一般用投影式应用时一般用投影式：第45页/共64页 例例8-14 8-14 半径为半径为r，质量为，质量为m 的均质圆轮沿水平直的均质圆轮沿水平直线滚动，如图所示线滚动，如图所示. .设轮的惯性半径为设轮的惯性半径为 ，作用于轮的，作用于轮的力偶矩为力偶矩为M. .求轮心的加速度求轮心的加速度. .如果圆轮对地面的滑动摩如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为擦因数为f，问力偶，问力偶M必须符合什么条件不致使圆轮滑动必须符合什么条件不致使圆轮滑动? ?C第46页/共64页解解：FrMmmgFmaFmaCNCyCx2其中其中raaaaC

19、CCxCy, 0得得mgFmaFrrFMrmMraNCCCC,2222纯滚动的条件纯滚动的条件：NsFfF 即即rrmgfMCs22第47页/共64页 例8-15 均质圆轮半径为r质量为m ， 受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示.设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动. 求:质心C的运动规律.第48页/共64页ratC由于由于21, sin2tCCaSJmr很小解解:sinmgFmatCCJFr cos2mgFrRvmNCrRs第49页/共64页其解为其解为)sin(00tss式中式中rRg3220运动方程为运动方程为trRggrRvs32sin230grRvs23,000得得

20、0dd2322srRgts得得0t由由 时时, 00vss第50页/共64页一基本概念一基本概念1动量矩动量矩：物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。2质点的动量矩质点的动量矩：3质点系的动量矩质点系的动量矩：4转动惯量转动惯量：物体转动时惯性的度量。vmrvmmO)(iiiOvmrL 对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过质心垂直于质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记。第八章动量矩定理小结第51页/共64页5刚体动量矩计算刚体动量矩计算平动：平动：定轴转动：定轴转动：平面运动：平面运动：)( , CzzCCOvmmLvmrLzzLJ ()zzCCLm mvJ二质点的动量矩定理及守恒二质点的动量矩

21、定理及守恒1质点的动量矩定理质点的动量矩定理)()( )()(FmvmmdtdFmvmmdtdzzOO或2质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒 若，则 常矢量。 若，则 常量。0)(FmO0)(Fmz)( vmmO)( vmmz第52页/共64页三质点系的动量矩定理及守恒三质点系的动量矩定理及守恒1质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理)()()()()( )(ezezzeOeOOMFmdtdLMFmdtLd或2质点系的动量矩守恒质点系的动量矩守恒 若，则常矢量 若，则常量0)(eOm0)(ezmOLzL)( )( ezCzCeCCMdtdLMdtLd或四质点系相对质心的动量矩定理第53页/共64页

22、z( ) ( )zzzJm FJm F或五刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程五刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程1刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程2刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程或CxxmaFCyymaF( )CCJmFCxmxFCymyF( )CCJmF第54页/共64页六动量矩定理的应用应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴传动系统尤为方便）1已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。2已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体的角加速度或角速度的改变。3已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数和等于零，应用动量矩守恒定

23、理求角速度或角位移。第55页/共64页七应用举例七应用举例例例1 均质圆柱，半径为r，重量为Q，置圆柱于墙角。初始角速度0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f ，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。解解：选取圆柱为研究对象。(注意只是一个刚体)受力分析如图示。运动分析：质心C不动，刚体绕质心转动。根据刚体平面运动微分方程)0 , 0(CyCxaaBAFN 0QNFBA0rFrFdtdrgQBA 212补充方程：BBAANfFNfF , 第56页/共64页将式代入、两式，有0) 1(2QNfB1 , 1 , 1 , 1 22222fQfFfQfNfQfFfQNAABB将上述结果代入式，有dtffrgfdrgfffdtdt0202112 , 2110解得：) 1 ( 2)1 (02fgfrftBAFN 0QNFBA0rFrFdtdrgQBA 212补充方程：BBAANfFNfF , 第57页/共64页例例2 两根质量各为8 kg的均质细杆固连成T 字型，可绕通过O点的水平轴转动，当OA处于水平位置时, T 形杆具有角速度 =4rad/s