八下压轴题一次函数与几何动点问题教师版

1、学习必备欢迎下载八年级下数学期末压轴题精选1. 等腰三角形存在性（ 2017 广西柳州） 23（10 分）如图，在四边形 OABC中，OABC，OAB=90°，O为原点，点 C 的坐标为（ 2， 8），点 B 的坐标为（ 24，8），点 D 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 BC向点 C 运动，点 E 同时从点 O出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿 OA向 A 运动，当点 E 达到点 A 时，点 D也停止运动，从运动开始，设 D（E）点运动的时间为 t 秒（ 1）连接 AD，记 ADE得面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，写出 t 的取值范围；（ 2）当 t 为

2、何值时，四边形 ABDE是矩形；（ 3）在（ 2）的条件下，当四边形 ABDE是矩形，在 x 轴上找一点 P，使得 ADP为等腰三角形，直接写出所有满足要求的P 点的坐标【分析】（1）根据三角形面积公式计算即可；（ 2）当 BD=AE时，四边形 ABDE是矩形，由此构建方程即可解决问题；（ 3）分三种情形：当 AD=AP时，当 DA=DP时，当 PD=PA时，分别求解即可；【解答】解：（1）如图 1 中， S= ×（ 243t ）× 8= 12t+96（ 0 t 8）（ 2） OA BD，当 BD=AE时，四边形 BDEA是平行四边形，学习必备欢迎下载 OAB=90

3、6;，四边形 ABDE是矩形， t=24 3t ，t=6s ，当 t=6s 时，四边形 ABDE是矩形（ 3）分三种情形讨论：由（ 2）可知 D（ 18，8），A（24， 0）， AD=10，当 AD=AP时，可得 P1（ 14，0），P2（34，0），当 DA=DP时，可得 P3（ 12，0），当 PD=PA时，设 PD=PA=x，在 Rt DP4E 中， x2 =82+（x6）2 ，解得 x= ，P4（ ，0），综上所述，满足条件的点P 坐标为（ 14，0）或（ 34，0）或（ 12， 0）或（，0）；【点评】本题考查四边形的综合题、 矩形的判定和性质、 等腰三角形的判定和性质、勾股定理等

4、知识， 解题的关键是学会用转化的思想思考问题， 学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题学习必备欢迎下载2. 直角三角形存在性（ 2017 深圳新华）如图，在平面直角坐标系中， O是坐标原点，平行四边形的顶点 C 的坐标为（ 8，8），顶点 A 的坐标为（ 6，0），边 AB在 x 轴上，点 E 为线段 AD的中点，点 F 在线段 DC上，且横坐标为 3，直线 EF 与 y 轴交于点 G，有一动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，从点 A 沿折线 ABCF 运动，当点 P 到达点 F 时停止运动，设点 P 运动时间为 t 秒（ 1）求直线 EF 的表达式及点 G的坐标；（ 2）点 P 在

5、运动的过程中，设 EFP的面积为 S（P 不与 F 重合），试求 S 与 t的函数关系式；（ 3）在运动的过程中，是否存在点 P，使得 PGF为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（ 1）根据点 C的坐标可求出点 F 的纵坐标，结合题意可得出点 F 的坐标，过点 E 作 EHx 轴于点 H，利用 AHE AOD，可求出点 E 的坐标，从而利用待定系数法可确定直线 EF 的解析式，令 x=0，可得出点 G的坐标（ 2）延长 HE交 CD的延长线于点 M，讨论点 P 的位置，当点 P 在 AB上运动时，当点 P 在 BC边上运动时， 当点 P 在

6、 CF上运动时，分别利用面积相减法可求出答案（ 3）很明显在 BC上存在两个点使 PGF为直角三角形，这两点是通过过点 G作 GP EF，过点 F 作 FP EF得出来的【解答】解：（1） C（8，8）， DCx 轴，点 F 的横坐标为 3， OD=CD=8学习必备欢迎下载点 F 的坐标为（ 3， 8）， A（ 6，0）， OA=6， AD=10，过点 E 作 EHx 轴于点 H，则 AHE AOD又 E 为 AD的中点， = AH=3， EH=4 OH=3点 E 的坐标为（ 3，4），设过 E、F 的直线为 y=kx+b，直线 EF为 y=x+6，令 x=0，则 y=6，即点 G的坐标为（

7、0， 6）（ 2）延长 HE交 CD的延长线于点 M，则 EM=EH=4 DF=3， S DEF= ×3×4=6，且 S 平行四边形 ABCD=CD?OD=8×8=64当点 P 在 AB上运动时，如图 3，S=S平行四边形 ABCD S DEFS APES 四边形 PBCF AP=t， EH=4， S APE= ×4t=2t ，学习必备欢迎下载S 四边形 PBCF=（5+8t ）× 8=524t S=64 6 2t （ 524t ），即： S=2t+6当点 P 在 BC边上运动时，S=S平行四边形 ABCD S DEFS PCFS 四边形 AB

8、PE过点 P 作 PNCD于点 N C= A， sin A=， sin C= PC=18t ，PN=PC?sin C= （ 18t ） CF=5， S PCF= ×5× （18t ）=362t 过点 B 作 BKAD于点 K AB=CD=8， PB=t 8， S 四边形 ABPE=（t 8+5）×=t S=64 6（ 362t ）（t 即S=t+（8 分），当点 P 在 CF上运动时， PC=t 18， PF=5（ t 18）=23 t EM=4， S PEF= ×4×（ 23t ）=462t 学习必备欢迎下载综上： S=（ 3）存在P1（，）

9、P2（，）3. 一次函数与平行四边形：（ 2016 山西晋中）（1）在直角坐标系中， A（1，2），B（4，0），在图 1 中，四边形 ABCD为平行四边形，请写出图中的顶点 C 的坐标（ 5 ， 2 ）学习必备欢迎下载（ 2）平面内是否存在不同于图1 的点 C，使得以 O、A、B、C为顶点的四边形为平行四边形，请在图2 中画出满足情况的平行四边形，并在图中直接标出点C的坐标（ 3）如图 3，在直角坐标系中， A（ 1，2），P 是 x 轴上一动点，在直线 y=x 上是否存在点 Q，使以 O、A、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的 Q的坐标；

10、若不存在，请说明理由【分析】（1）根据平行四边形的性质对边相等，即可解决问题（ 2）存在注意有两种情形点 C 坐标根据平行四边形的性质即可解决（ 3）存在如图 3 中所示，平行四边形 AQ1P1O，平行四边形 AOQ2P2，平行四边形AQ1OP2点 Q的坐标根据平行四边形的性质即可解决【解答】解：（1）如图 1 中，四边形 ABCD是平行四边形， OB=AC，OBAC，学习必备欢迎下载 A（1，2），B（4，0）， AC=4，点 C 坐标（ 5，2）故点 C 坐标为（ 5，2）（ 2）存在点 C 坐标如图 2 中所示，（ 3）存在如图 3 中所示，平行四边形AQ1P1O，平行四边形 AOQ2P

11、2，平行四边形AQ1OP2点 Q1（2，2），点 Q2（ 2，2）【点评】本题考查四边形综合题、 点与坐标的关系等知识， 解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，不能漏解，属于中考常考题型（ 2017 襄阳） 25（11分）如图，平面直角坐标系中，直线l ：y=x+分别交x 轴， y 轴于A， B 两点，点C在x 轴负半轴上，且ACB=30°（ 1）求 A，C 两点的坐标（ 2）若点 M从点 C 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 CB运动，连接 AM，设 ABM的面积为 S，点 M的运动时间为 t ，求出 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围（ 3）点 P

12、是 y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A，B，P，Q为顶点学习必备欢迎下载的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）由直线方程易得点 A 的坐标在直角 BOC中，利用 30 度所对的直角边等于斜边的一半求出 BC的长，利用勾股定理求出 OC的长，确定出 C的坐标即可；（ 2）先求出 ABC=90°，分两种情况考虑：当M在线段 BC上；当 M在线段 BC延长线上；表示出BM，利用三角形面积公式分别表示出S 与 t 的函数关系式即可；（ 3）点 P 是 y 轴上的点，在坐标平面内存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，分两种情况

13、，如图所示，利用菱形的性质求出AQ 的长，根据AQ与 y 轴平行得到 Q与 A 横坐标相同，求出满足题意Q得坐标即可【解答】解：（1）当 x=0 时， y=；当 y=0 时， x=1点 A 坐标为（ 1，0），点 B 坐标为（ 0，），在 Rt BOC中， OCB=30°， OB=， BC=2 OC=3点 C 坐标为（ 3， 0）（ 2）如图 1 所示： OA=1， OB= ， AB=2， ABO=30°，同理： BC=2 ， OCB=30°， OBC=60°， ABC=90°，分两种情况考虑：若M在线段 BC上时， BC=2，CM=t，可得

14、BM=BCCM=2t ，学习必备欢迎下载此时 S ABM=BM?AB= ×（ 2 t ）× 2=2t （ 0 t 2）；若 M在 BC延长线上时， BC=2 ， CM=t，可得 BM=CMBC=t2 ，此时 S ABM=BM?AB= ×（ t 2）× 2=t 2（ t 2）；综上所述， S=；（ 3）P 是 y 轴上的点，在坐标平面内存在点Q，使以 A 、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，如 2 图所示，当 P 在 y 轴正半轴上，四边形 ABPQ为菱形，可得 AQ=AB=2，且 Q 与 A 的横坐标相同，此时 Q坐标为（1，2）， AP=AQ= ，Q与

15、A 的横坐标相同， 此时 Q坐标为（ 1，），当 P 在 y 轴负半轴上，四边形 ABPQ为菱形，可得 AQ=AB=2，且 Q 与 A 横坐标相同，此时 Q坐标为（ 1， 2）， BP垂直平分 AQ，此时 Q坐标为（ 1，0），综上，满足题意 Q坐标为（ 1，2）、（1， 2）、（1，）、（ 1，0）【点评】此题属于一次函数综合题， 涉及的知识有：含 30 度直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，菱形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键学习必备欢迎下载4. 一次函数与矩形 :（ 2017 重庆江津） 26（ 12 分）如图，在平

16、面直角坐标系中，一次函数 y=mx+n （ m 0）的图象与 x 轴交于点 A（ 3，0），与 y 轴交于点 B，且与正比例函数 y=2x 的图象交于点 C（3，6）（ 1）求一次函数 y=mx+n的解析式；（ 2）点 P 在 x 轴上，当 PB+PC最小时，求出点 P 的坐标；（ 3）若点 E 是直线 AC上一点，点 F 是平面内一点，以 O、C、E、F 四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点 F 的坐标【分析】（1）由 A、 C 坐标，可求得答案；（ 2）由一次函数解析式可求得 B 点坐标，可求得 B 点关于 x 轴的对称点 B的坐标，连接 BC与 x 轴的交点即为所求的 P 点，由 B、

17、C坐标可求得直线 BC 的解析式，则可求得 P 点坐标；（ 3）分两种情形分别讨论即可当 OC为边时，四边形 OCFE是矩形，此时 EO OC，当 OC为对角线时，四边形 OECF是矩形，此时 OE AC；【解答】解：（1）一次函数 y=mx+n（m0）的图象经过点 A（ 3， 0），点 C （3，6），解得，一次函数的解析式为y=x+3学习必备欢迎下载（ 2）如图 1 中，作点 P 关于 x 轴的对称点 B，连接 CB交 x 轴于 P，此时 PB+PC 的值最小 B（0，3），C（3，6）B（ 3，0），直线 CB的解析式为 y=3x3，令 y=0，得到 x=1，P（1，0）（ 3）如图，当

18、 OC为边时，四边形 OCFE是矩形，此时 EOOC，直线 OC的解析式为 y=2x，直线 OE的解析式为 y=x，由，解得， E（ 2，1）， EO=CF，OECF，学习必备欢迎下载F（1，7）当 OC为对角线时，四边形OECF是矩形，此时OE AC，直线 OE的解析式为 y= x，由，解得，E（，），OE=CF， OE CF，F（，），综上所述，满足条件的点F 的坐标为（ 1.7 ）或（，）【点评】本题考查一次函数综合题、 轴对称最短问题、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题， 学会用分类讨论的思想思考问题， 属于中考压轴题5. 一次函数与正方形如图（ 1），四边形

19、 AOBC是正方形，点 C 的坐标是（，0），（ 1）求点 A 的坐标点和正方形 AOBC的面积；（ 2）将正方形绕点 O顺时针旋转 45°，求旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；（ 3）如图（ 2），动点 P 从点 O出发，沿折线 OACB 方向以 1 个单位 / 每秒匀速运动；另一动点 Q从点 C 出发，沿折线 CBOA 方向以 2 个单位 / 每秒匀速运动 P、Q两点同时出发，当 Q运动到点 A 时 P、Q同时停止运动设运动时间为 t 秒，是否存在这样的 t 值，使 OPQ成为等腰三角形？若存在，直接写出学习必备欢迎下载t 的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）连接 A

20、B，根据 OCA为等腰三角形可得AD=OD的长，从而得出点A的坐标，则得出正方形AOBC的面积；（ 2）根据旋转的性质可得 OA的长，从而得出 AC，AE，再求出面积即可；（ 3）存在，从 Q点在不同的线段上运动情况，可分为三种：当 Q点在 BC上时，使 OQ=QP，则有 OP=2BQ，而 OP=t， BQ=4 2t ，列式可得出t ；当 Q点在 OB上时，使 OQ=OP，而 OP=t， OQ=8 2t ，列式可得出 t ；当 Q点在 OA上时，使 OQ=PQ，列式可得出 t 【解答】解：（1）如图 1，连接 AB，与 OC交于点 D，由 OCA为等腰 Rt，得 AD=OD=OC=2 ，故点

21、A 的坐标为（ 2，2），故正方形 AOBC的面积为：× 4×4=16；（ 2）如图 1，旋转后可得 OA=OB=4，则 AC=4 4，而可知 CAE=90°， OCB=45°，故 AEC是等腰直角三角形，则 AE=AC=4 4，故 S 四边形 OAEB=S OBCSAEC=1616（ 3）存在，从 Q点在不同的线段上运动情况，可分为三种：如图 2，学习必备欢迎下载当 Q点在 BC上时，使 OQ=QP， QM为 OP的垂直平分线，则有 OP=2OM=2BQ，而 OP=t， BQ=4 2t ，则 t=2 （42t ），解得： t= 如图 3，当 Q点在 O

22、B上时，使 OQ=OP，而 OP=t，OQ=82t ，则 t=8 2t ，解得： t= 当 Q点在 OA上时，如图 4，使 OQ=PQ， t 2 24t+96=0，解得： t=12+4（舍去）， t=12 4学习必备欢迎下载【点评】此题考查了正方形的性质， 等腰三角形的判定以及旋转的性质， 是中考压轴题，综合性较强，难度较大6. 四边形综合（ 1）（2017 武汉新洲）如图，正方形 ABCD中， P 为 AB 边上任意一点， AEDP 于 E，点 F 在 DP的延长线上，且 EF=DE，连接 AF、 BF， BAF的平分线交 DF于G，连接 GC（ 1）求证： AEG是等腰直角三角形；（ 2）

23、求证： AG+CG= DG【分析】（1）根据线段垂直平分线的定义得到 AF=AD，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；（ 2）作 CHDP，交 DP于 H 点，证明 ADE DCH（AAS），得到 CH=DE，DH=AE=EG，证明 CG= GH， AG= DH，计算即可【解答】（1）证明： DE=EF，AE DP， AF=AD， AFD=ADF， ADF+DAE=PAE+DAE=90°，学习必备欢迎下载 AFD=PAE， AG平分 BAF， FAG=GAP AFD+FAE=90°， AFD+PAE+FAP=90° 2 GAP+2PAE=90°

24、，即 GAE=45°， AGE为等腰直角三角形；（ 2）证明：作 CH DP，交 DP于 H点， DHC=90° AEDP， AED=90°， AED=DHC ADE+CDH=90°， CDH+DCH=90°， ADE=DCH在 ADE和 DCH中， ADE DCH（AAS）， CH=DE，DH=AE=EG EH+EG=EH+HD，即 GH=ED， GH=CH CG= GH AG= EG， AG= DH， CG+AG= GH+ HD， CG+AG= （GH+HD），即 CG+AG= DG学习必备欢迎下载（ 2）（2017 天津） 24（8 分）

25、如图（ 1），正方形 ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，E 是 AC上一点，连结 EB，过点 A 作 AMBE，垂足为 M，AM与 BD相交于点F（ 1）求证： OE=OF；（ 2）如图（ 2）若点 E 在 AC的延长线上， AMBE 于点 M，AM交 DB的延长线于点 F，其他条件不变，结论“ OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由【分析】（ 1）根据正方形的性质对角线垂直且平分， 得到 OB=OA，又因为 AMBE，所以 MEA+MAE=90°= AFO+ MAE，从而求证出 Rt BOE Rt AOF，得到OE=OF（ 2）根据第一步得到的结

26、果以及正方形的性质得到 OB=OA，再根据已知条件求证出 Rt BOERt AOF，得到 OE=OF【解答】解：（1）四边形 ABCD是正方形 BOE=AOF=90°， OB=OA又 AM BE， MEA+MAE=90°= AFO+MAE， MEA=AFO在 BOE和 AOF中，学习必备欢迎下载 BOE AOF OE=OF（ 2） OE=OF成立四边形 ABCD是正方形， BOE=AOF=90°， OB=OA又 AM BE， F+MBF=90°， E+OBE=90°，又 MBF=OBE， F= E在 BOE和 AOF中， BOE AOF OE=

27、OF【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质， 将待求线段放到两个三角形中，通过证明三角形全等得到对应边相等是解题的关键7. 动点问题：（ 1）（2017 黄石大冶）如图 1，正方形 ABCD的边长为 6cm，点 F 从点 B 出发，沿射线 AB方向以 1cm/秒的速度移动， 点 E 从点 D 出发，向点 A 以 1cm/秒的速度移动（不到点 A）设点 E，F 同时出发移动 t 秒（ 1）在点 E， F 移动过程中，连接CE，CF， EF，则 CEF的形状是，始终保持不变；（ 2）如图 2，连接 EF，设 EF交 BD于点 M，当 t=2 时，求 AM的长；（ 3）如图 3，点

28、 G，H 分别在边 AB，CD上，且 GH=3 cm，连接 EF，当 EF与 GH的夹角为 45°，求 t 的值学习必备欢迎下载【解答】解：（1）等腰直角三角形理由如下：如图 1，在正方形 ABCD中， DC=BC， D=ABC=90°依题意得： DE=BF=t在 CDE与 CBF中， CDE CBF（SAS）， CF=CE， DCE=BCF， ECF=BCF+BCE= DCE+ BCE=BCD=90°， CEF是等腰直角三角形故答案是：等腰直角三角形（ 2）如图 2，过点 E 作 EN AB，交 BD于点 N，则 NEM=BFM END=ABD=EDN=45&#

29、176;， EN=ED=BF在 EMN与 FMB中， EMN FMB（AAS）， EM=FM RtAEF中， AE=4，AF=8，=EF=4 ， AM= EF=2；学习必备欢迎下载（ 3）如图 3，连接 CE，CF， EF与 GH交于 P由（ 1）得 CFE=45°，又 EPQ=45°， GHCF，又 AF DC，四边形 GFCH是平行四边形， CF=GH=3 ，在 Rt CBF中，得 BF=3， t=3 【点评】本题考查了四边形综合题 解题过程中， 涉及到了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用 解答该类题目时， 要巧妙的作出辅助线， 构建几何模型， 利用特殊的四边形的性质 （或者全等三角形的性学习必备欢迎下载质）得到相关线段间的数量关系，从而解决问题（ 2）（2017 成都金堂） 28（12 分）如图，边长为 a 正方形 OABC的边 OA、OC在坐标轴上在 x 轴上线段 PQ=a（Q在 A 的右边），P 从 A 出发，以每秒 1 个单位的速度向 O运动，当点 P 到达点 O时停止运动，运动时间为 t 连接 PB，过 P 作 PB的垂线，过 Q作