八年级数学上册-知识点总结(北师大版)

1、名师总结优秀知识点数学（八年级上册）知识点总结（北师大版）第一章勾股定理1、勾股定理 - 已知直角三角形，得边的关系直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边c 的平方，即 a2b2c22、勾股定理的逆定理 -由边的关系，判断直角三角形如果三角形的三边长a，b， c 有关系 a2b 2c2 ，那么这个三角形是直角三角形。、勾股数 ：满足 a 2 b 2c2 的三个正整数， ， ，称为勾股数。3abc常见的勾股数 有：（6,8,10 ）（ 3,4,5 ）（ 5,12， ,13 ）（ 9,12,15 ）（7,24,25）（ 9,40,41 ）规律：（ 1）、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个

2、连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且 ab 时，如果 b c a2 ，那么 a,b,c就是一组勾股数 .如：（ 3,4,5）（ 5,12，,13 ）（ 7,24,25 ）（ 9,40,41 ）（ 2）大于 2 的任意偶数，2n(n 1) 都可构成一组勾股数分别是：2n, n21, n21如：（ 6,8,10 ）（ 8,15,17 ）（ 10,24,26 ）4、常见题型应用：（ 1）已知任意两条边的长度，求第三边/ 斜边上的高线/ 周长 / 面积（ 2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度/ 斜边上的高线/ 周长 / 面积（ 3）判定三角形形状：a2b2

3、c2 锐角三角形，a2b2c2 直角三角形，a2b2c2 钝角三角形判定直角三角形a. 找最长边； b. 比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c. 确定形状第二章实数1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。名师总结优秀知识点算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于a，即x 2a那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，记为a ，算术平方根为非负数a0正数的平方根有2 个，它们互为相反数平方根0的平方根是0负数没有平方根2. 无理数的表示定义：如果一个数的平方等于a，即x 2a，那么这个数就叫做a的平方根，记为a正数的立方根是正数立方根负数的立方根是负数0的立方根是0定义：

4、如果一个数 x的立方等于a，即 x3a，那么这个数 x就叫做 a的立方根，记为3 a .概念有理数和无理数统称实数正数有理数分类或 0无理数负数3. 实数及其相关概念绝对值、相反数、倒数的意义同有理数实数与数轴上的点是一一对应实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则运算规律相同。一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数0有限小数与无限循环小 数实数负有理数正实数无理数正无理数实数 0负无理数无限不循环小数负实数名师总结优秀知识点2、无理数： 无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（ 1）开方开不尽的数，如7, 32 等根号 a（a 为

5、非完全平方数或非立方数） 。（ 2）有特定意义的数，如圆周率 （ =3.14159265 )，或化简后含有 的数，如 +8 等；3（ 3）有特定结构的数，如 0.1010010001 ； 0.585885888588885 (相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1 等；（ 4）某些三角函数值，如 sin60 o 等；二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与 b 互为相反数，则有a+b=0， a= b，反之亦成立。2、绝对值在数轴上， 一个数所对应的点

6、与原点的距离，叫做该数的绝对值。 （|a|身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则 a 0；若 |a|=-a，则 a 0。3、倒数如果 a 与 b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 0）。零的绝对值是它本1 和 -1 。零没有倒数。4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。名师总结优秀知识点解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。5、估算 .注意：（ 1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（ 2）要求记忆：21.41431.73252.2 3 6.三、平方根、算数平方根和立方根1

7、平方根和算术平方根：（ 1）概念：如果 x2a ，那么 x 是 a 的平方根，记作：a ；读作“正、负根号 a ”，其中a 叫做 a 的算术平方根，读作根号a 。（ 2）性质：当 a 0 时，a 0；当 a 时，a 无意义；2a2a 。（区分、）a a ；性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（ 3）开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。a0（开平方的被开方数的条件）注意：a 的双重非负性：a0（算术平方根的非负性）2立方根：（ 1）概念：若 x3a ，那么 x 是 a 的立方根（或三次方

8、根） ，记作：3 a ；（ 2）性质： 3 a3a ； 3 a3 3a 3 aa ；性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意： 3a3a ， 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。区分： 平方根 、立方根的性质根源： 开平方是平方的逆运算；开立方是立方的逆运算。正数和负数的平方后为正，所以，只有非负数才可以开平方，因此一个非0 正数开平方后有2 个；而任何数的立方后的符号与原数的符号一致，所以，任何数都可以开立方，一个数开立方后只有1 个，符号与原数的符号也一致。四、实数大小的比较1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点

9、所表示的数，右名师总结优秀知识点边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。2、实数大小比较的几种常用方法（ 1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（ 2）求差比较：设 a、 b 是实数，a b 0a b,a b 0a b,a b 0 a b（ 3）求商比较法：设a、 b 是两正实数， a1a; a1a; a1 a b;bbbbb（ 4）绝对值比较法：设a、 b 是两负实数，则a bab 。（ 5）平方法 ： 设 a 0, b0 ，则 a2b2a b 设 a 0,b0 ，则 a 2b2ab 。 同号的有理数与无理数、同号的

10、无理数与无理数大小比较时常用平方法。如：比较3 6 与3.4； 36 与532（ 6）倒数法 ：设 a0, b0 ，则 ab11a0, b011a；设，则 a bbba规律：同号取倒（数）反向五、算术平方根有关计算（二次根式）1、含有二次根号“”； 被开方数 a 必须是非负数，即：a中 a0 。2、性质：（ 1）非负性a0（2） (a) 2(0)a2a0 ）（中前提，被开方数a a（ 3）a 2aa,( a0)（a 2中隐含被开方数a 20 ）a,( a0)（ 4）abab( a0, b0) ；（abab(a0, b0) ）（前提根号要有意义）名师总结优秀知识点（ 5）aa (a0, b0)；

11、（aa (a 0,b 0) ）（前提式子和根号要有意义，）bbbb拓展： 三个重要非负数： a20, a0,a0 .注意： 非负数之和为 0它们都是 0.3、运算结果若含有“a ”形式，必须满足： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（ 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算（ 1）六种运算： 加、减、乘、除、乘方、开方（ 2）实数的运算顺序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。（ 3）运算律加法交换律abba加法结合律(ab)ca(b c)乘法交换律abba乘法结合律(ab)c a(bc)乘法对加法的分配律a(bc)abac（ 4）与实数有关

12、的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。第三章位置的确定一、在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。二、平面直角坐标系及有关概念1、平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；x 轴和 y 轴统称坐标名师总结优秀知识点轴。它们的公共原点O称为直

13、角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第y一象限、第二象限、第三象限、第四象限。一二注意： x 轴和 y 轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。三0x四3、点的坐标的概念对于平面内任意一点P, 过点 P 分别 x 轴、 y 轴向作垂线，垂足在上x 轴、 y 轴对应的数 a， b 分别叫做点 P的横坐标、纵坐标，有序数对（a， b）叫做点 P的坐标。Pyb点的坐标用（ a， b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实

14、数对，a0x当 a b 时，（ a， b）和（ b， a）是两个不同点的坐标。平面内点的与有序实数对是一一对应的。4、不同位置的点的坐标的特征（ 1）、各象限内点的坐标的特征（结合图形，过点P 分别 x 轴、 y 轴向作垂线，垂足在上x 轴、 y 轴对应的数 x, y 在坐标轴的正向为正，负向为负）y(+,+)(-,+) By2点 A ( x1 , y1 ) 在第一象限x10, y10x3y1A点 B ( x 2, y 2 ) 在第二象限x 20,y 20x2x10 y3x4 x点 C ( x 3 , y3 ) 在第三象限x 30,y 30C (-,-)D (+,-)y4点 D ( x4 ,

15、y 4 ) 在第四象限x 40,y 40y（ 2）、坐标轴上的点的特征B(0,y2)点 P(x,y)在 x 轴上y0 ， x 为任意实数C(x3,0) 0 A(x1,0)x点 P(x,y)在 y 轴上x0 ， y 为任意实数D(0,y4)点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上x， y 同时为零，即点 P 坐标为（ 0， 0）即原点（ 3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征y点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x ）上x 与 y 相等CA点 P(x,y) 在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数45°x045°（ 4）、和坐标轴平行的直线上点

16、的坐标的特征BD名师总结优秀知识点位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。yF位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。G（ 5）、关于 x 轴、 y 轴或原点对称的点的坐标的特征0H 点 P 与点 P ' 关于 x 轴对称 （上下）横坐标相等，纵坐标互为相反数，ExyP ( x , y )y0x即点 P（ x， y）关于 x 轴的对称点为P ' （ x， -y ） 点 P 与点 P '关于 y 轴对称 （左右）纵坐标相等，横坐标互为相反数，P' ( x ,- y )y- y即点 P（ x，y）关于 y 轴的对称点为P '（ -x ， y） 点

17、 P 与点 P '关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，P(x,y)P' (- x,y)即点 P（ x， y）关于原点的对称点为P ' （ -x ， -y ）规律：P(x,y)关于谁对称谁不变，另一个变相反；xyy0-x-xx关于原点对称，两个分别变相反。x(6) 、点到坐标轴及原点的距离（结合图形理解）点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：0-yxP'(-x,-y)（ 1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于y（ 2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于x（ 3）点 P(x,y)到原点的距离等于x 2y2（由勾股定理可得）三、坐标变化与图形变化的规律：坐标（ x

18、， y）的变化x × a 或 y × ax × a ，y × ax×（ -1）或 y ×（ -1）x×（ -1）， y ×（ -1）xa 或 ya ，其中 a0xa ， ya ，其中 a0图形的变化被横向或纵向拉长（压缩）为原来的a 倍放大（缩小）为原来的a 倍关于 y轴或 x轴对称关于原点成中心对称沿 x轴（）左（ +）右或 y轴（ +）上（）下平移 a 个单位沿 x 轴（ ）左（ +）右平移 a 个单位，再沿 y 轴（ +）上（ ）下平移 a 个单名师总结优秀知识点第四章一次函数一、函数：一般地，在某一变化过程

19、中有两个变量x 与 y，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是 x 的函数，其中x 是自变量， y 是因变量。二、自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从 整式 （取全体实数） ，分式 （分母不为 0）、二次根式（偶次根式） （被开方数为非负数） 、实际意义几方面考虑。三、函数的三种表示法及其优缺点（ 1）关系式（解析）法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。（ 2）列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（ 3

20、）图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。四、由函数关系式画其图像的一般步骤（ 1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（ 2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（ 3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。五、正比例函数和一次函数1 、正比例函数和一次函数的概念一般地，若两个变量x，y 间的关系可以表示成ykxb （ k，b 为常数， k0）的形式，则yxxy特别地，当一次函数ykxb 中的b=0 时（即ykx ）（ k为常数，k0），称y 是x 的正比例函数。2、一次函数的图像:所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主

21、要特征：名师总结优秀知识点、一次函数ykxb 的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数ykx 的图像是经过原点（ 0， 0）的直线。、由于一次函数ykxb 的图象是一条直线，所以一次函数ykxb 的图象也称为直线 y kx b 。、由于两点确定一条直线，因此在画一次函数ykxb 的图象时，只要描出：与x 轴的交b），与 y 轴的交点（令 x 0 ，求出 y b ），即（ (0,b),(b点（令 y 0，求出 x,0)kk两点即可，画正比例函数 ykx 的图象时，只要描出点（ 0， 0），（ 1， k ）即可。、 k 的正负决定直线的倾斜方向 ， k 的大小决定直线的 倾斜程度 ，即 k 越大

22、，直线与 x 轴相交的锐角度数越大（直线陡）， k 越小，直线与x 轴的相交的锐角度数越小（直线缓）。、 b 的正负决定直线与y 轴交点的位置 。当 b 0 时，直线与y 轴的交于正半轴上。当 b0 时，直线与 y 轴交于负半轴上。当 b0 时，直线经过原点，是正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。4、一次函数、正比例函数的图象和性质。当 k 0 时， y 随 x 的增大而增大，图象从左到右呈上升趋势；当 k 0 时， y 随 x 的增大而减小，图象从左到右呈下降趋势。函数图象性质一次函数b.01（ 1）当 k0 时， y 随 x 的增大而增y kxbk0 b02大，图象必经过一三象限。b0

23、3 b0 时，过一二三象限 b0 时，只过一三象限 b0 时，过一三四象限时b.01（ 2）当 k0 时， y 随 x 的增大而减k0 b02小，图象必过二四象限。b03 b0 时，过一二四象限 b 0 时，只过二四象限 b0 时，过二三四象限名师总结优秀知识点正比例函数ykxy图象过原点y0 x当 k0 时， y 随 x 的增大而增大，0 x图象必过一三象限当 k0 时， y 随 x 的增大而减小，图象必过二四象限。5、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式ykx （k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式ykxb （ k0）中的常数

24、k 和 b。解这类问题的一般方法是待定系数法。（ 1）、确定正比例函数及一次函数表达式的条件由于正比例函数ykx( k0) 中只有一个待定系数k ，故只需一个条件（如一对x, y 的值或一个点）就可求得k 的值。由于一次函数ykxb(k0) 中有两个待定系数k, b ，需要两个独立的条件确定两个关于k ,b的方程，求得k,b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x, y 的值。（ 2）待定系数法先设式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而求出式子的方法叫做待定系数法。（ 3）用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 设函数表达式为ykxb 。 将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（方程组）

25、。 求出 k与 b 的值，得函数表达式。6、一次函数与一元一次方程的关系：任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0 （ k、 b 为常数， k 0）的形式而一次函数解析式形式正是y=kx+b（ k、b 为常数， k 0）当函数值y0 时， ?即 kx+b=0 就与一元一次方程完全相同结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（ k、b 为常数， k 0）的形式所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值y0 时，求相应的自变量的值从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b 确定它与x 轴交点的横坐标值名师总结优秀知识点7、一次函数ykxb 的图象与坐标轴交点求法：与 x 轴的交点：令 y

26、0，求出 xbb,0) ；k，得 (k与 y 轴的交点：令 x0，求出 yb ，得 (0, b)第五章二元一次方程组1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1 的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。4 二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。5、二元一次方程组的解法（ 1）代入（消元）法（ 2）加减（消元）法（无论是代入消元法还是加减消元法，其目的都是将“二元一次方程”变为“

27、一元一次方程”所谓之“消元” ）6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：（ 1）一次函数与二元一次方程的关系：，每个二元一次方程都可以看成一次函数，直线y=kx+b上任意一点的坐标(m, n)都是它所对应的xm二元一次方程kxyb0 的解y n（ 2）一次函数与二元一次方程组的关系：求二元一次方程组的解，可看成求两个一次函数图象的交点。a1 x b1 y c1xma1 xc1二元一次方程组的解可看作两个一次函数ya2 x b2 y c2y nb1b1名师总结优秀知识点和 ya2xc2的图象的交点(m, n)。反之，可以通过求二元一次方程组的解，求出两个一次b2b2函数图象的交点当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一