因式分解式讲义精讲

1、教育学科教师辅导讲义学员编号:学员姓名:年 级：初一辅导科目：数学课时数：1学科教师：授课类型复习授课日期及时段2016416 12:502:50教学目的1. 熟练掌握因式分解的有关概念和运算法则。2. 熟练地、灵活地运用因式分解进行计算。教学内容因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数 学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的， 而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取 公因式法、运用公式法、分

2、组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、 技巧和应用作进一步的介绍.、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)、运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a -b) = a2-b2a 2-b2=(a+b)(a -b);(2) (a± b)2 = a2± 2ab+b2a2± 2ab+b2=(a ± b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a3+b3 a3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+

3、b2) = a3-b3a 3-b3=(a-b)(a2+ab+b 2).下面再补充两个常用的公式：(5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6) a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca);(7) (a+ b)3= a3+3a2b+3ab2+ b3 (完全立方和公式)(8) (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 十字相乘例.已知a, b, c是 abc的三边，且a2 b2 c2ab bc ca，则 abc的形状是()a.直角三角形b等腰三角形c等边三角形 d等腰直角三角形 三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例

4、1、分解因式： am an bm bn例2、分解因式：2ax 10ay 5by bx练习:分解因式 1、a2 ab ac bc2、xy3. ab ac bdcd（二） 例3、分组后能直接运用公式 分解因式：ax ay例4、分解因式:a2 2abb2c2练习:分解因式3、x2 x9y23y4、2小z 2yz5. x5+x4+x3+x2+x+1综合练习:2xy(2)2 axbx2 bx ax(3)x26xy9y216a2 8a(4) a2 6ab 12b 9b24a(5)a42a3a22(6) 4a x 4ay b2xb2y(7)2xyxz2yz y(8) a22ab2 2b2ab 1(9)y(y

5、2)(m1)(m 1)(10) (ac)(ac) b(b2a)(11)a2(b c) b2(a c) c2(ab) 2abc(12) ac3 3abc(13) xy -xz -y2+2yz-z2(14) a2 -b2 -c2 -2bc -2a+1四、十字相乘法（一）二次项系数为 1的二次三项式直接利用公式x2 (p q)x pq (x p)(x q)进行分解。特点：(1) 二次项系数是1;(2) 常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。口诀：首尾分解，求和凑中，交叉相乘。例.已知ov a < 5,且a为整数，若2x2思考：十字相乘有什么基本规律?3x a能用十字相乘

6、法分解因式，求符合条件的a .解析:例5、分解因式:x2 5x 60例6、分解因式：x 7x 6练习5、分解因式(1)x214x 24(2) a2215a36(3) x 4x练习6、分解因式(1)x2x 2(2) y 2y 15(3) x 10x24(二)二次项系数不为1(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd的二次三项式，既然是二次式，就可以写成，简记口诀：首尾分解，交叉相乘,(ax+b)(cx+d)的形式。 求和凑中。2ax bx条件：(1) a(2)(3)分解结果：cbax2例7、分解因式:分析：a?c2a c2bx3x2解：3x2练习7、分解因式:a?c1c = (a

7、1x11x 101ci)(a2x c2)(-6) + 11x10 = (x(1) 5x2(-5)= -112)(3x7x 65)(三)二次项系数为2(3) 10x217x 31的齐次多项式a31 -a2a1 c2(2)(4)cic2 a 2c13x2 7x6y211y10例8、分解因式：a2分析：将b看成常数,8ab 128b2的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。把原多项式看成关于1“ 8b1-16b8b+(-16b)= -8b解：a2 8ab 128b2=a28b( 16b)a 8b ( 16b)=(a 8b)(a 16b)练习8、分解因式(1) x2 3xy 2y2(2) m22 2 2

8、6mn 8n (3) a ab 6b（四）二次项系数不为 1的齐次多项式例 9、2x2 7xy 6y2-2y-3y(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x 2y)(2x3y)2练习9、分解因式：（1）15x例 10、x2 y2 3xy 2把xy看作一个整体 1-11 -2(-1)+(-2)= -3解：原式=(xy 1)( xy 2)2 2 27xy 4y(2) a x 6ax 8综合练习 10、( 1)8x6 7x3 1( 2)12x2 11xy 15y2（3）(x y)23(x y)102(4) (a b) 4a 4b 3（5）x2y2 5x2y 6x22 2(6) m 4mn 4n

9、3m 6n 2（7）2 x4xy4y2 2x4y3( 8)5(a b)223(a2 b2) 10(a b)2（9）4x24xy6x 3y2 y10( 10)12(x y)2 11(x2 y2) 2(x y)2思考:分解因式：abcx2(a2b2c2)x abc五、换元法。例 13、分解因式(1)2005x2(200521)x 20052(2)(x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x 解：(1 )设 2005= a，则原式=ax2 (a21)x a=(ax 1)(x a)= （2005x1）（x2005）这种多项式属（2）型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式

10、= （x2 7x 6）（x2 5x 6） x2设x25x6a ,则x27x 6 a 2x原式:=(a2x)ax2= a2 2ax x2=(ax)2=(x2 6x6)2练习13、分解因式（1)(x2xyy2)2 4xy(x2 y2)(2)(x23x2)(4x2 8x 3)90(3)(a21)2(a25)24(a23)例 14、分解因式（1） 2x4 x3 6x2 x 2观察：此多项式的特点一一是关于x的降幕排列，每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”于“等距离多项式”。方法:提中间项1的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=2 /=x (2x2x16 -12)=x22(x212

11、 )(x1-)6xxxx设殳x -t,则x212t22xx原式=x2 2(t2 2)t 62 =x2t2t 10- 2 -212=x2 2t5 t2 = x2x5 xxx=x - 2x25 x - x12 =:2x25x2 x22x 1xx=(x 1)2(2x1)(x2)(2)x4 4x3 x24x1解：原式=2=x (x4x1 -)2 =x2x -124 x1 1xxxx设x1-y，则x2 122 y2xx原式=2/ 2 =x (y4y3)=x2(y1)(y3)2 “113)：2x 123x 1=x (x-1)(x -=xxxx练习14、( 1)6x47x336x27x6(2) x4 2x3

12、 x212(x x2)例15、分解因式(1) x33x2 4解法1拆项。解法2添项。原式=x31 3x23原式=x3 3x24x 4x4=(x 1)(x2x1)3(x1)(x1)=x(x2 3x4)=(x1)(x2 x 13x3)=x(x1)(x 4)4(x 1)=(x1)(x2=(x1)(x2 4x 4)=(x1)(x 2)2=(x 1)(x2)2(2)x9x6 x33解：原式=(x91)(x61) (x31)3=(x 1)(x6x3 31) (x1)(x3 1) (x31)3=(x 1)(x6x31 x311)2=(x 1)(xx1)(x6 2x33)六、添项、拆项、配方法。配方法：因式分

13、解a2b2+4a+2b+3原式 =(a2+4a+4) -(b2-2b+1)=(a+2)2 -(b-1)2=(a+b+1)(a -b+3)(4x 4)4x 4)用配方法把 2- 2分解因式分解因式 2x 8x 6练习(1)(3)15、x34x分解因式9x7x24224(2)(x1)(x1) (x 1)(4)xx2ax1axa4+xa2+2ax+1-aa2 = xa4+2xa2+1-xa2+2ax-aa2 =(xa2+1f2-(x-a)a2 =(xa2+1+x-a)(xa2+1-x+a)(5)(x y)4(6) 2a2b2 2a2c2 2b2c2 a4 b4 c4-但人2七人2)人2-2。人2但人

14、2七人2)+。人4=但人2七人2-。人2)人2(7) x4 + 4原式=x4 + 4x2 + 4 -4x2= (x2+2)2 -(2x)2= (x2+2x+2)(x2 -2x+2)422422(8) x - 23x y +y( 9) ( m - 1)( n - 1)+4 mn证明：设伉二次方程肢 +加+ c = o(tj玉0)的两根是中x2ed b +b' aacb b 则x| ，勲-labc" x-| + x = ? hl jfr = aa就是一=(xj + x, x xjxjax1 + bx + c = a(y: + -v 十 £)a a二(込+也)州xj j&

15、amp;r-.qx斗-隔)结论：在分解二次三项式必+丘+的因式分解时.可先用公式求岀方稈a +加m = 0的两根无心然后写成当4 =62 -4负:仝0时，ax1 + &r+c?在实数范围内可以分薛因式;当a = -4ac0时t ax2 + bx + c在实数范围内不能分解因式七、待定系数法。首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例16、分解因式x2 xy 6y2 x 13y 6分析：原式的前 3项x xy 6y可以分为(x 3y)(x 2y)，则原多项式必定可分为 (x 3y m)(x22解：设 x xy 6y x 13y6 = (x

16、 3y m)(x 2y n)/ (x 3y m)( x 2y n) = x xy 6y (m n)x (3n 2m)y mn二 x2 xy 6y2 x 13y 6 = x2 xy 6y2 (m n)x (3n 2m)y mn2y n)对比左右两边相同项的系数可得3n 2m 13，解得mn 6原式=(x 3y 2)( x 2y 3)分解因式 x4 -x3 -5x2 -6x-4如果已知道这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解：设 x4 -x3 -5x2 -6x-4=(x 2 +ax+b)(x 2 +cx+d)=x4 +(a+c)x 3 +(ac+b+d)x 2 +(ad+bc)x+

17、bd从*而 a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4所以 解得 贝u x4 -<3 -5x2 -6x-4 =(x 2+x+1)(x 2 -2x-4)例17、( 1)当m为何值时，多项式 x2 y2(2)如果x3 ax2 bx 8有两个因式为 mx 5y 6能分解因式，并分解此多项式。x 1和x 2，求a b的值。(1)分析:前两项可以分解为(xy)(xy)，故此多项式分解的形式必为(x y a)(x y b)解：设x22y mx5y6=(xya)(xy b)则x22y mx5y62 =x2 y(ab)x (ba) y ababma 2a 2比较对应的系数可得：ba5

18、 ,解得：b 3或b 3ab6m 1m 1当 m1时，原多项式可以分解；当m1时，原式=(x y2)(xy3);当m1时，原式=(xy2)(xy3)(2)分析：x3 ax2 bx 8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如x c的一次二项式。解:设 x3 ax2 bx 8= (x1)(x2)(x c)则 x3 ax2 bx 8= x3(3c)x2(23c)x 2ca 3 ca7- b 2 3c解得b14,2c 8c4 a b=21练习17、(1 )分解因式x2 3xy10y2x9y2(2)分解因式x2 3xy2y25x7y6(3)已知：x2 2xy3y26x14yp能

19、分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。(4) k为何值时，x22xyky23x5y 2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。8、求根法令多项式f(x)=o,求出其根为x1,x2 ,x3 ,xn ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x 1 )(x-x 2)(x-x3)(x-xn )(况下是试根法，并且一般试-3,-2,-1,0,1,2,3 这些数是不是方程的根)例 8、分解因式 2x4 +7x3 -2x2 -13x+6解：令 f(x)=2x 4 +7x3 -2x2 -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=o 根为，-3 , -2 , 1，2则 2x +7x -2x -13x

20、+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9:主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。例 10、分解因式 a2 (b-c)+b 2 (c-a)+c 2 (a-b)分析：此题可选定 a为主元，将其按次数从高到低排列解: a2 (b-c)+b 2 (c-a)+c 2 (a-b)=a 2 (b-c)-a(b 2 -c 2)+bc(b-c)=(b-c) a 2 -a(b+c)+bc =(b-c)(a-b)(a-c)10双十字相乘法十字相乘法是利用x2(a b)x ab (x a)(x b)这个公式，写成两排形式，把二次项系数的约数和常数项的约数进行十字交

21、叉相乘，它们的和凑成一次项系数，那每一排即位多项式的一个因 式，因为呈十字交叉相乘，故称为十字相乘法。运用双十字乘法对ax2 bxy cy2 dx ey f型的多项式分解因式的步骤：1、用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；2、在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含y的一次项的系数e,同是还必须与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含x的一次项的系数d。一、用双十字相乘法分解多项式 我们先看一下两个多项式相乘的计算过程：计算(2x 3y 5)(3x y 1)。2x 3y 5

22、)3x y 126 x 9xy15x22xy 3y5y2x 3y 5 2 26x 7xy 3y 13x 8y 52 2(2x 3y 5)(3x y 1) 6x 7xy 3y 13x 8y 5从计算过程可以发现，乘积中的二次项6x2 7xy 3y2只和乘式中的一次项有关，而与常数项无 关；乘积中的一次项13x 8y，只和乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘式中 的常数项有关系。根据因式分解与整式乘法是相反变形的关系，我们来寻求多项式2x 3y3x 、y9xy 2xy 7 xy1、先用十字相乘法分解6x2 7xy 3y2。"乂 -5y 3y 8 y6x2 7xy 3y21

23、3x 8y 5的分解因式的方法是：2、再将常数项一5的两个因数写在第二个十字的右边3、 由于第2列与第3列交叉相乘之积的和等于8y。再看第1列与第3列交叉相乘之积的和等 于13x，那么原式就可以分解成(2x 3y 5)(3x y 1)。综上可知，双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意它带有 试验性质，很可能需要经过多次试验才能得到正确答案。例 1、分解因式 20x2 9xy 18y218x 33y 14。匚 4x 6- 15=9, 3x ( -7)+2 x 6=33,- 28+10=- 18,2)(5x 6y 7).20x2 9xy 18y2 18x 33y 14(

24、4x 3y评注：在使用双十字相乘法时，不必标出 x, y ,只需写出x, y的系数就可以了。即第1列是x的系数的两个因数；第2列是y的系数的两个因数；第3列是常数项的两个因数。例2、分解因式15x2 20xy x 8y 2-3 x ( 2)+5 x 1 = 6+5= 1,. 15x220xy x 8y 2 = (3x 4y1)(5x 2)。例3、分解因式9x2 16y2 18x 40 y16。/ 3x ( -2)+3 x 8= 6+24=18,.9x216y218x40y 16 = (3x 4y8)(3x 4y 2)。例4、分解因式6x2 5xy 6y222xz 23yz 20z 。8-2 2

25、x 5+3x ( - 4)=10 - 12=-2,.6x2 5xy 6y2 2xz 23yz220z(2x 3y 4z)(3x 2y 5z)。评注：注意本题中的第3列是20z2的两个因式,不要丢掉z。3-2例 5、分解因式 6x2 13xy 2y2 16x y 6。解法1: 6x213xy2y216xy 6(x2y3)(6x y2)解法2:6x213xy2y216xy6 6x2(13y16)x(2y2y 6)6x2(13y16)x(y2)(2y3)(x2y 3)( 6 xy 2) o1 22-3解法3:6x213xy2y216xy64-3=1(x 2y)(6xy)(16xy) 6(x2ym)(

26、6x yn)(2y 3)(y 2)= 6x213xy2y2(6mn)x (m2n )ymn12y 18 y216 13y6mn 16m2n1解之，得m 3, n2 omn6 6x213xy2y216xy 6(x2y3)(6x y2) o评注：解法1是使用双十字相乘法分解因式；解法 因式；解法3则使用了待定系数法。2将原多项式化成关于x的二次三项式分解练一练：用多种方法分解下式：2x2 xy y2 3y答案：(x y 1)(2x y 2)(1) 6x2 7xy 3y213x 8y 52 2x 2xy 8y 2x 14y 3 x2 8xy 15y2 2x 4y 32 2x 2xy 3y 3x y

27、2 4x2 12xy 9y2 2x 3y 62x2 7xy 22y2 5x 35y 3知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1.因式分解的对象是多项式;2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式;3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止;4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式;5.结果如有相同因式，应写成幕的形式;6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解;7.因式分解的一般步骤是:(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变

28、”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解;(2)若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法;f面我们一起来回顾本章所学的内容。1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例1.分解因式x5 x4 x3 x2 x 1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5x4x3和x2x 1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解;也可把x51分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式(x5 x

29、4 x3)(x21)x3(x2 x 1) (x31)(x(x21)(x 1)(x21)1)(x21)解二：原式=(x5 x4)(x3x2)(x1)x4(x 1) (x 1)(x4x2(x 1)(x1)4(x 1)(x(x 1)(x2x 1)2x21)x 1)(x2x2x 1)2. 通过变形达到分解的目的例1.分解因式x3 3x2解一：将3x2拆成2x2x2，则有原式3 c 2z 2x 2x(x4)x2(x 2) (x2)(x2)2(x 2)(xx2)(x 1)(x 2)2解二:将常数 4拆成13 ,则有原式x31(3x23)(x 1)(x2 x1) (x1)(3x3)(x 1)(x2 4x4)

30、(x 1)(x 2)23.在证明题中的应用例：求证：多项式(x24)(x210x 21)100的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平万数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明：2 2(x24)(x210x 21)100(x 2)(x2)(x3)( x7)100(x 2)(x7)(x2)(x3)100(x2 5x 14)(x2 5x6) 100设yx2 5x，则原式(y i4)(y 6)100y2 8y 16 (y 4)2无论y取何值都有(y4)20(x24)(x210x21)100的值一定是非负数4.因式分解中的转化思想例：分解因式：(a 2

31、b c)3(a b)3 (b c)3分析：本题若直接用公式法分解,过程很复杂，观察a+b, b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=a, b+c=b,a+2b+c=a+b原式 (a b)3 a3 b332a3a b3ab2333b ab2 23a2b 3ab23ab (a b)3(a b)(b c)(a 2b c)说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨例 1.在 abc 中，三边 a,b,c 满足 a216b2 c2 6ab i0bc 0求证：a c 2b证明：a2 16b2 c2 6ab i0bc 0a2 6ab 9 b2 c2

32、10bc 25b20即(a 3b)2 (c 5b)20(a 8b c)(a 2b c) 0a b ca 8b c，即 a 8b c 0于是有a 2b c 0即 a c 2b说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。例2.已知：x12，则x31x3 x解: x313(x-)(x21 !)xxx1 r/1 2(x)(x)2 1xx212说明：利用x2 亠(x丄)22等式化繁为易。xx100，即要求它们的差小于零，把它们题型展示1.若x为任意整数，求证：(7x)(3x)(4 x )的值不大于 100。解：(7x)(3x)(4x2)100(x 7)(x2)(x3)( x 2)

33、1002 2(x5x 14)(x5x 6)1002 2(x25x)8(x25x)162 2(x2 5x 4)20(7x)(3 x)(4 x22) 100说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。2.将a2但1)2但2a)2分解因式，并用分解结果计算6272422。解：a2 (a 1)2 但2 a)2a2 a2 2a 1 (a2 a)22(a2 a) 1 (a2 a)2(a2 a 1)26272422(3661)24321849说明：利用因式分解简化有理数的计算。实战模拟1. 分解因式：(1)3x510x438x3x21

34、0x8(2)(a23a3)(a23a 1)5(3)2 x2xy3y23x 5y2(4)3 x7x62.已知：xy 6,xy1,求:x3 y3的值。3. 矩形的周长是28cm,两边x,y使x3 x2y xy2 y3 0，求矩形的面积。4. 求证：n3 5n是6的倍数。(其中n为整数)5. 已知：a、b、c 是非零实数，且a2b2c 1，a(-)b(-丄)c(-)3，求 a+b+c 的值。b c c a a b6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较 a2 b2 c2和4a2b2因式分解练习题精选一、填空：(30分)1、 若x2 2(m 3)x 16是完全平方式，则m的值等于。2 22、x x m (x n)贝u m =n=3、2x3y2与12x6y的公因式是4、 若 xm yn =(x y2)(x y2)(x2 y4)，贝