福州铜盘中学初高中衔接数学校本学案

1、福州铜盘中学初高中衔接数学校本学案目录 第01课时 乘法公式、因式分解.2第02课时 绝对值.5第03课时 分式、根式.7第04课时一元二次方程根与系数的关系11第05课时 二次函数的图象与性质 15第06课时 二次函数的解析式 .22初高中衔接内容（1）-乘法公式、因式分解一、引入新课1、乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：平方差公式 ；完全平方公式 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：立方和公式 ；立方差公式 ；三数和平方公式 ；两数和完全立方公式 ；两数差完全立方公式 2、因式分解分组分解法求根法十字相乘法二、例题精讲例1：计算：、例2：、已知，求代数式的值。 例3：因式

2、分解：、例4：因式分解：、*例5 因式分解：（双十字相乘法）、3关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解（求根法）若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.例6把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）； （2）解： （1）令=0，则解得， = =（2）令=0，则解得， =三、练习作业1、填空：、( )；、 ；2、若是一个完全平方式，则等于 （ ）（A） （B） （C） （D）3、不论，为何实数，的值 （ ）（A）总是正数 （B）总是负数（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数4、 (1)、在中，已知三边满足，试判断该三角形的形状。 (2)、已知，求的值。(3)、已

3、知，求的值。5、因式分解：、初高中衔接内容(2) 绝对值一、引入新课初中学习了数的绝对值，例如：。POa|a|PaO|a|对于任意数，其绝对值呢？为此，我们先研究绝对值的几何意义。绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。由图可知：当时，点到原点的距离就是，所以；当时，点到原点的距离就是0，所以；当时，点到原点的距离就是，所以；绝对值的代数意义：绝对值等于本身的数是_；绝对值等于它的相反数的数是_。即：两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离。绝对值的性质：、二、例题精讲例1：、，求。、，求的取值范围。例2：化简下列函数，并分别画出它们的图象：、例3

4、：化简：、|x5|2x13| （x5）三、课堂练习1、填空：、若，则=_；若，则=_。、如果，且，则_；若，则_。2、已知数轴上的三点分别表示有理数，那么表示( )A、两点的距离B、两点的距离C、两点到原点的距离之和D、两点到原点的距离之和3、下列叙述正确的是 （ ）A、若，则 B、若，则C、若，则 D、若，则4、化简：、初高中衔接内容(3) 分式、根式1分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式当M0时，分式具有下列性质：；。上述性质被称为分式的基本性质。2繁分式：像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。例1：、代数式有意义，则需要满足的条件是_。、化简：(3)、若，求的

5、值。一般地，形如的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，等是有理式。3、分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等 一般地，与，与，与互为有理化因式。分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘

6、法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。例2：把下列各式分母有理化：、例3：化简计算：、例4：试比较下列各组数的大小：、 、 4、二次根式的意义： 例5：将下列式子化为最简二次根式：1 ； 、； 、例6：化简：（1）； （2）。课堂练习1填空题：对任意的正整数n， ()；2选择题：若，则（ ）（A） （B） （C） （D）3、正数满足，求的值。2 计算。4、化简：、初高中衔接内容(4) 一元二次方程1根的判别式一元二次方程的根的情况可以由来判定，我们把叫做一

7、元二次方程的根的判别式，通常用符号“”来表示。对于一元二次方程，有、当0时，方程有两个不相等的实数根；、当0时，方程有两个相等的实数根；、当0时，方程没有实数根。例1：判定下列关于的方程的根的情况（其中为常数），若方程有实数根，写出方程的实数根。1 、x23x30； (2)、x2ax(a1)0； 例2：取何值时，方程有两个相等的实数根，并求出方程的这两个根。2根与系数的关系（韦达定理）：如果的两根分别是，那么，。特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程，若是其两根，由韦达定理可知，即，所以，方程可化为 ，由于是一元二次方程的两根，所以，也是一元二次方程的两根。以两个数为根的一元二次方程（二次项

8、系数为1）是。例3：已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值。例4：求一个一元二次方程，使它的两根为。 例5：设是方程的两个根，求下列各式的值：1 、 例6：、若关于的方程的一根大于零、另一根小于零，求实数的取值范围。、若关于的方程的一根大于1、另一根小于1，求实数的取值范围。课堂练习 1、选择题：方程的根的情况是 （ ）A、有一个实数根 B、有两个不相等的实数根C、有两个相等的实数根 D、没有实数根若关于x的方程mx2 (2m1)xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围（ ）A、m B、m C、m，且m0 D、m，且m02、填空：、若方程x23x10的两根分别是x1和x2，则 。2

9、 以3和1为根的一元二次方程是 。3、已知，当k取何值时，方程kx2axb0有两个不相等的实数根？4、选择题：、已知关于x的方程x2kx20的一个根是1，则它的另一个根是（ ）（A）3 （B）3 （C）2 （D）2、下列四个说法：方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程3 x270的两根之和为0，两根之积为；方程3 x22x0的两根之和为2，两根之积为0其中正确说法的个数是（ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个、关于x的一元二次方程ax25xa2a0的一个根是0，则a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或1

10、5、填空：、方程kx24x10的两根之和为2，则k 、方程2x2x40的两根为、，则22 、已知关于x的方程x2ax3a0的一个根是2，则它的另一个根是 6、求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10各根的相反数。初高中衔接内容(5)二次函数的图象与性质 问题1 函数yax2与yx2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y2x2，yx2，y2x2的图象，通过这些函数图象与函数yx2的图象之间的关系，推导出函数yax2与yx2的图象之间所存在的关系先画出函数yx2，y2x2的图象先列表：x-3-2-10123x294101492x2188202818yx2y2x2图

11、2.2-1xOy从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了再描点、连线，就分别得到了函数yx2，y2x2的图象（如图21所示），从图21我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y2x2的图象可以由函数yx2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数yx2，y2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数yx2的图象之间的关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：图2.2-2xyO1y2x2y2(x1)2y2(x1)21二次函数yax2(a0)的图象可以由yx2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到在二次函数yax2(a0)中，二次项系数a决

12、定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小问题2 函数ya(xh)2k与yax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数y2(x1)21与y2x2的图象（如图22所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y2(x1)21的图象这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点类似地，还可以通过画函数y3x2，y3(x1)21的图象，研究它们图象之间的相互关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数ya(xh)2k(a0)中，a决定了二次函数图象

13、的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”由上面的结论，我们可以得到研究二次函数yax2bxc(a0)的图象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c ，所以，yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数yax2bxc(a0)具有下列性质：（1）当a0时，函数yax2bxc图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，函数取最小值y（2）当a0时，函数yax2bxc图象开口向

14、下；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，函数取最大值y 上述二次函数的性质可以分别通过图223和图224直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题xOyx1A(1,4)D(0,1)BC图2.25例1 求二次函数y3x26x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象解：y3x26x13(x1)24，函数图象的开口向下；对称轴是直线x1；顶点坐标为(1，4)；当x1时，函数y取最大值y4；当x1时，y随

15、着x的增大而增大；当x1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(1，4)，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图25所示）说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：X/元130150165Y/件705035若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润日销售量y

16、15;(销售价x120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值解：由于y是x的一次函数，于是，设ykx（B）将x130，y70；x150，y50代入方程，有 解得 k1，b200 yx200设每天的利润为z（元），则z(x+200)(x120)x2320x24000 (x160)21600，当x160时，z取最大值1600答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元例3 把二次函数yx2bxc的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数yx2的图像

17、，求b，c的值解法一：yx2bxc(x+)2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图像，也就是函数yx2的图像，所以， 解得b8，c14解法二：把二次函数yx2bxc的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数yx2的图像，等价于把二次函数yx2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数yx2bxc的图像由于把二次函数yx2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y(x4)22的图像，即为yx28x14的图像，函数yx28x14与函数yx2bxc表示同一个函数，b8，c14说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们

18、要牢固掌握二次函数图像的变换规律这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题例4 已知函数yx2，2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论解：（1）当a2时，函数yx2的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x2；（2）当2a0时，由

19、图226可知，当x2时，函数取最大值y4；当xa时，函数取最小值ya2；（3）当0a2时，由图2 26可知，当x2时，函数取最大值y4；当x0时，函数取最小值y0；（4）当a2时，由图226可知，当xa时，函数取最大值ya2；当x0时，函数取最小值y0xyO2axyO2aa24图2.26xyOa224a22xyOaa24说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题练习1填空题（1）二次函数y2x2mxn图象的顶点坐标为(1，2)，则m

20、，n （2）已知二次函数yx2+(m2)x2m，当m 时，函数图象的顶点在y轴上；当m 时，函数图象的顶点在x轴上；当m 时，函数图象经过原点（3）函数y3(x2)25的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x 时，函数取最 值y ；当x满足 时，y随着x的增大而减小2求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象（1）yx22x3； （2）y16 xx24已知函数yx22x3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x2；（2）x2；（3）2x1；（4）0x3一、基础题：1、

21、函数的顶点是 （ ）A、(1,0)B、(1,0)C、(,0) D、(,0) 2、若，则函数的图形的顶点在 （ ）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3、抛物线的顶点在轴上，则值为 （ ）A、0B、1C、2D、44、求二次函数的图像的顶点坐标和对称轴方程。二、提高题：5、求把二次函数的图象经过下列变换后得到的图象所对应的函数解析式：、向上平移3个单位，向左平移2个单位；、关于直线。6、求二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并指出当取何值时，随的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象。初高中衔接(6) 二次函数的解析式1一般式：yax2bxc(a0)；2顶点式：ya(xh)2k

22、 (a0)，其中顶点坐标是(h，k)除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交点个数当抛物线yax2bxc(a0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2bxc0 并且方程的解就是抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点个数与方程的解的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式b24ac有关，由此可知，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点个数与根的判别式b24ac存在下列关系：（1）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴有

23、两个交点；反过来，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点，则0也成立（2）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有一个交点，则0也成立（3）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有交点，则0也成立于是，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2bxc0的两根，所以x1x2，x1x2，即 (x1x2)， x1x2所以，yax2bxca() = ax2(x1x2)xx1x2 a(xx1) (xx2

24、) 由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为ya(xx1) (xx2) (a0)这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3交点式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题 例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1上，并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置，从

25、而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a解：二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2又顶点在直线yx1上，所以，2x1，x1顶点坐标是（1，2）设该二次函数的解析式为，二次函数的图像经过点（3，1），解得a2二次函数的解析式为，即y2x28x7说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题例2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式分析一：由于题目所给的条

26、件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式解法一：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，可设二次函数为ya (x3) (x1) (a0)，展开，得 yax22ax3a， 顶点的纵坐标为 ，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，|4a|2，即a所以，二次函数的表达式为y，或y分析二：由于二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式解法二：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，对称轴为直线x1又顶点到x轴的距离为2，顶点的纵坐标为2，或2于