二次函数存在性问题(难)

1、学习必备欢迎下载20XX 年 07 月 20 日 1866820220 的初中数学组卷一选择题（共5 小题）1（ 2016?娄底）如图，抛物线2y=ax +bx+c （ a、b、c 为常数， a0）经过点 A （ 1，0），B（5， 6）， C（ 6， 0）（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在直线 AB 下方的抛物线上是否存在点P 使四边形 PACB 的面积最大？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 Q 为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出 QAB 为等腰三角形的点 Q 一共有几个？并请求出其中某一个点Q 的坐标2（ 2016?呼和浩特） 已知二次函数 y=ax2

2、2ax+c（ a 0）的最大值为 4，且抛物线过点 （， ），点 P（ t， 0）是 x 轴上的动点，抛物线与y 轴交点为 C，顶点为 D（1）求该二次函数的解析式，及顶点D 的坐标；（2）求 |PC PD|的最大值及对应的点P 的坐标；（3）设 Q（ 0，2t）是 y 轴上的动点，若线段PQ 与函数 y=a|x|2 2a|x|+c 的图象只有一个公共点，求 t 的取值2A（ 1，3（ 2016?河南模拟）如图 1，抛物线 y=ax +bx+3（ a0）与 x 轴、 y 轴分别交于点0）、 B（3， 0）、点 C 三点（ 1）试求抛物线的解析式；（ 2）点 D（ 2， m）在第一象限的抛物线上

3、，连接BC 、BD 试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足 PBC= DBC ？如果存在，请求出点P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图 2，在（ 2）的条件下，将BOC 沿 x 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为 B OC在平移过程中， B OC与 BCD 重叠的面积记为S，设平移的时间为t 秒，试求S 与 t 之间的函数关系式？学习必备欢迎下载4（ 2014?仙桃）已知抛物线经过A （ 2， 0）， B （0， 2），C（， 0）三点，一动点P 从原点出发以 1 个单位 /秒的速度沿 x 轴正方向运动，连接 BP，过点 A 作直线 BP 的垂

4、线交 y 轴于点 Q设点 P 的运动时间为 t 秒（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）当 BQ= AP 时，求 t 的值；（3）随着点P 的运动，抛物线上是否存在一点M ，使 MPQ 为等边三角形？若存在，请直接写 t 的值及相应点M 的坐标；若不存在，请说明理由5（ 2014 秋 ?曹县期末）如图，抛物线2，经过 A （ 1， 0），B （ 5， 0）两点y=ax +bx（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标；（3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以 A， C， M ， N 四点构成的四边形为平行四边形？若存

5、在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由二解答题（共1 小题）学习必备欢迎下载6（ 2016?枣庄）如图，已知抛物线2x= 1，且抛物线经y=ax +bx+c（ a0）的对称轴为直线过 A （ 1， 0）， C（ 0，3）两点，与 x 轴交于点 B（1）若直线 y=mx+n 经过 B、 C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴 x= 1 上找一点 M ，使点 M 到点 A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点 M 的坐标；（3）设点 P 为抛物线的对称轴 x= 1 上的一个动点， 求使 BPC 为直角三角形的点P 的坐标学习必备欢迎下载20XX 年 07 月 20 日

6、 1866820220 的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共5 小题）1（ 2016?娄底）如图，抛物线2y=ax +bx+c （ a、b、c 为常数， a0）经过点 A （ 1，0），B（5， 6）， C（ 6， 0）（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在直线 AB 下方的抛物线上是否存在点P 使四边形 PACB 的面积最大？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 Q 为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出 QAB 为等腰三角形的点 Q 一共有几个？并请求出其中某一个点Q 的坐标【解答】 解：（ 1）设 y=a（ x+1）（ x 6）（ a0），把 B （ 5，

7、 6）代入： a（5+1 ）（ 5 6） = 6，a=1， y= （ x+1 ）（ x 6）=x 2 5x 6；（2）存在，如图 1，分别过 P、B 向 x 轴作垂线 PM 和 BN ，垂足分别为 M 、 N，设 P（ m， m2 5m 6），四边形 PACB 的面积为 S，则 PM= m2+5m+6 ，AM=m+1 ，MN=5 m， CN=6 5=1 ，BN=5 ，S=SAMP +S 梯形 PMNB +SBNC2）（ m+1） +2）（5 m） +×1×6= （ m +5m+6（ 6 m +5m+62=3m +12m+36=3（ m 2） 2+48，22当 m=2 时，

8、S 有最大值为48，这时 m 5m 6=2 5×2 6= 12，（ 3）这样的 Q 点一共有 5 个，连接 Q3A 、 Q3B ， y=x 2 5x6=（ x ） 2 ；因为Q3 在对称轴上，所以设Q3（， y）， Q3AB是等腰三角形，且Q3A=Q 3B ，学习必备欢迎下载由勾股定理得： （+1） 2+y2=（ 5）2+（ y+6 ）2，y=，Q3（，）2（ 2016?呼和浩特） 已知二次函数 y=ax2 2ax+c（ a 0）的最大值为4，且抛物线过点 （， ），点 P（ t， 0）是 x 轴上的动点，抛物线与y 轴交点为 C，顶点为 D（1）求该二次函数的解析式，及顶点D 的坐

9、标；（2）求 |PC PD|的最大值及对应的点P 的坐标；（3）设 Q（ 0，2t）是 y 轴上的动点，若线段PQ 与函数 y=a|x|2 2a|x|+c 的图象只有一个公共点，求 t 的取值【解答】 解：（ 1） y=ax2 2ax+c 的对称轴为： x= =1，抛物线过（ 1， 4）和（，）两点，学习必备欢迎下载代入解析式得：，解得： a= 1， c=3，2二次函数的解析式为：y= x +2x+3 ，顶点 D 的坐标为（ 1， 4）；（ 2） C、 D 两点的坐标为（ 0， 3）、（ 1， 4）；由三角形两边之差小于第三边可知：|PC PD|CD|，P、 C、 D 三点共线时 |PCPD|

10、取得最大值，此时最大值为，|CD|=，由于 CD 所在的直线解析式为y=x+3 ，将 P（ t， 0）代入得 t= 3，此时对应的点P 为（ 3，0）；（3） y=a|x|2 2a|x|+c 的解析式可化为：y=设线段 PQ 所在的直线解析式为y=kx+b ，将 P（ t， 0），Q（ 0， 2t）代入得：线段 PQ 所在的直线解析式：y= 2x+2t ， 当线段 PQ 过点（ 0， 3），即点 Q 与点 C 重合时，线段PQ 与函数y=有一个公共点，此时t=，当线段 PQ 过点（ 3， 0），即点 P 与点（ 3，0）重合时， t=3 ，此时线段PQ 与y=有两个公共点，所以当t 3 时，线

11、段 PQ 与 y=有一个公共点，2 将 y= 2x+2t 代入 y= x +2x+3 （ x0）得：2 x +2x+3= 2x+2t ， x2+4x+3 2t=0，令 =16 4（ 1）（3 2t） =0 ，t= 0，所以当 t=时，线段PQ 与 y=也有一个公共点， 当线段 PQ过点（ 3， 0），即点 P 与点（ 3， 0）重合时，线段PQ 只与y= x2 2x+3（ x 0）有一个公共点，此时 t= 3，所以当 t 3 时，线段 PQ 与 y=也有一个公共点，学习必备欢迎下载综上所述， t 的取值是t3 或 t=或 t 323（ 2016?河南模拟）如图1，抛物线 y=ax +bx+3（

12、 a0）与 x 轴、 y 轴分别交于点A（ 1，0）、 B（3， 0）、点 C 三点（ 1）试求抛物线的解析式；（ 2）点 D（ 2， m）在第一象限的抛物线上，连接BC 、BD 试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足 PBC= DBC ？如果存在，请求出点P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图 2，在（ 2）的条件下，将BOC 沿 x 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为 B OC在平移过程中， B OC与 BCD 重叠的面积记为S，设平移的时间为t 秒，试求S 与 t 之间的函数关系式？【解答】 解：（ 1）将A （ 1， 0）、B （ 3，

13、0）代入抛物线2（a0），y=ax +bx+3，解得： a= 1， b=2 2故抛物线解析式为：y= x +2x+3（2）存在将点 D 代入抛物线解析式得：m=3 ，D （ 2， 3），学习必备欢迎下载令 x=0 ， y=3，C（ 0，3）， OC=OB ， OCB= CBO=45 °，如下图，设BP 交 y 轴于点 G，CD x 轴， DCB= BCO=45 °，在 CDB 和 CGB 中： CDB CGB （ ASA ），CG=CD=2 ，OG=1 ，点 G（0， 1），设直线 BP： y=kx+1 ，代入点 B（ 3， 0）， k= ，直线 BP： y=x+1 ，联立

14、直线 BP 和二次函数解析式：，解得：或（舍），P（，）学习必备欢迎下载（ 3）直线 BC： y= x+3，直线 BD ： y= 3x+9 ，当 0t2 时，如下图：设直线 CB： y=（ x t） +3联立直线 BD 求得 F（，），S=SBCD SCCE SCDF=×2×3×t×t×（ 2 t）（ 3）2整理得： S=t +3t （ 0t2）当 2 t3 时，如下图：H（ t， 3t+9）， I（ t， t+3）S=SHIB = （ 3t+9）（ t+3） ×（ 3 t）整理得： S=t26t+9（ 2 t3）综上所述： S=学习

15、必备欢迎下载4（ 2014?仙桃）已知抛物线经过A （ 2， 0）， B （0， 2），C（， 0）三点，一动点P 从原点出发以1 个单位 /秒的速度沿x 轴正方向运动，连接BP，过点A 作直线BP 的垂线交y轴于点 Q设点 P 的运动时间为t 秒（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）当 BQ= AP 时，求 t 的值；（3）随着点P 的运动，抛物线上是否存在一点M ，使 MPQ 为等边三角形？若存在，请直接写 t 的值及相应点M 的坐标；若不存在，请说明理由【解答】 解：（ 1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c ，抛物线经过 A （ 2， 0）， B（0， 2），C（， 0）三点，解得，

16、 y= x2 x+2（ 2） AQ PB ，BO AP ， AOQ= BOP=90 °， PAQ= PBO， AO=BO=2 ， AOQ BOP， OQ=OP=t 如图 1，当 t2 时，点 Q 在点 B 下方，此时 BQ=2 t， AP=2+t 学习必备欢迎下载BQ=AP， 2 t= （ 2+t ）， t= 如图 2，当 t2 时，点 Q 在点 B 上方，此时BQ=t 2， AP=2+t BQ=AP， t 2= （ 2+t ）， t=6 综上所述， t=或 6 时， BQ=AP （3）当 t= 1 时，抛物线上存在点M （ 1，1）；当t=3+3时，抛物线上存在点M （3， 3）分

17、析如下：AQ BP， QAO+ BPO=90 °， QAO+ AQO=90 °， AQO= BPO在 AOQ 和 BOP 中，学习必备欢迎下载， AOQ BOP，OP=OQ ， OPQ 为等腰直角三角形， MPQ 为等边三角形，则M 点必在直线 y=x 垂直平分PQ，M 在 y=x 上，设 M （ x， y），PQ 的垂直平分线上，解得或，M 点可能为（ 1， 1）或（ 3， 3） 如图 3，当 M 的坐标为（ 1， 1）时，作MD x 轴于 D，22222则有 PD=|1 t|， MP =1+|1 t| =t 2t+2， PQ =2t， MPQ 为等边三角形，MP=PQ

18、，2t +2t 2=0，t= 1+ ， t= 1（负值舍去） 如图 4，当 M 的坐标为（3， 3）时，作 ME x 轴于 E，学习必备欢迎下载则有 PE=3+t， ME=3 ，222222MP=3 +（ 3+t） =t+6t+18 ，PQ =2t， MPQ 为等边三角形，MP=PQ ， t 26t 18=0， t=3+3， t=3 3 （负值舍去）综上所述，当 t= 1+ 时，抛物线上存在点 M （ 1， 1），或当 t=3+3 时，抛物线上存在点 M （ 3， 3），使得 MPQ 为等边三角形5（ 2014 秋 ?曹县期末）如图，抛物线2，经过 A （ 1， 0），B （ 5， 0）两点y

19、=ax +bx（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标；（3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以 A， C， M ， N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由【解答】 解：（ 1）把 A （ 1， 0），B （ 5， 0）代入 y=ax 2+bx ，学习必备欢迎下载得到，解得，即抛物线的解析式为y=x22x；（2）抛物线的解析式为：其对称轴为直线x=y=x2 2x=2，连接 BC，如图 1 所示，B （ 5，0）， C（ 0，），设直线 BC 的解析式为y=kx+b （ k

20、0），解得，直线 BC 的解析式为y=x，当 x=2 时， y=1 = ，P（ 2，）；（ 3）存在，如图 2 所示， 当点 N 在 x 轴下方时，抛物线的对称轴为直线x=2， C（0，），N 1（4，）； 当点 N 在 x 轴上方时，过点 N 作 ND 垂直 x 轴于点 D ，在 AND 与 MCO 中， AND MCO （ASA ），学习必备欢迎下载ND=OC=，即 N 点的纵坐标为， x2 2x = ，解得 x=2 ±，N 2（2+， ）， N3（ 2， ），综上所述，符合条件的点N 的坐标为（ 4，）、（ 2+，）或（ 2，）二解答题（共1 小题）6（ 2016?枣庄）如图，已知抛物线2x= 1，且抛物线经y=ax +bx+c（ a0）的对称轴为直线过 A （ 1， 0）， C（ 0，3）两点，与 x 轴交于点 B（1）若直线 y=mx+n 经过 B、 C 两点，求直线 BC 和抛物