理论力学空间力系

1、CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY目录目录直接投影法直接投影法=cos=cos=cosxyzFFFFFFOxyzF二次投影法二次投影法yzOx=sin cos=sin sin=cosxyzFFFFFF222=+cos() =cos() =cos() =xyzxyzFFFFFF,iFFF, jFFF,kF xyzxyzF = F +F +F = F i +F j+F kFxyF合成合成 R12=1=+=+nniixiyiziFFFFFF iF jF k222RRRRRRR=() +() +()cos(, ) =cos(, ) =cos(, ) =x

2、yzxyzFFFFFF iFFFjFFF kF yzOxnF1F3F2FRF平衡平衡= 0= 0= 0 xyzFFFR=10niiFF平衡条件：平衡条件：平衡方程：平衡方程：OABCE yxzP 求：绳的拉力和墙体的约束力。求：绳的拉力和墙体的约束力。 解：解：取球体为研究对象取球体为研究对象oo= 0,cos= 0= 0,sincos45 = 0= 0,sinsin45 = 0zExAEyBEFFPFFFFFF解得：解得：=/cos2=tan2EABFPFFPEFAFBF空间的力对空间的力对O点之矩取决于：点之矩取决于：（1）力矩的）力矩的 大小大小；（2）力矩的）力矩的 转向转向；（3）力

3、矩）力矩 作用面方位作用面方位。 须用一矢量表征须用一矢量表征( )OM FOA(x,y,z)BhyxzFr( )=2OM FFhOABxyzr=xi+yj+zkF=Fi+F j+Fk( ) =()()()OxyzzyxzyxijkMFrFxyzFFFyFzF izFxFjxFyF kOA(x,y,z)Bhyxz( )OM FFr定位矢量定位矢量( )OM FOxyzh 力对轴的矩等于力在垂直于该力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。点的矩。 力对轴之矩用来表征力对轴之矩用来表征 当力与轴在当力与轴在同一平面同一平面时，力对该轴的矩等于零。时

4、，力对该轴的矩等于零。BAFbzFxyF( )zM F( ) =()= 2zOxyxyM FM FF hOAb 注：注：( ) =( ) =( ) =xzyyxzzyxMFyFzFMFzFxFMFxFyFy( )=()=( )+( )=zOxyOxOyxM FM FM FM FxF yFxyzxyzF=F+F+F=Fi+F j+FkyzOxA(x,y,z)BabxyFzFxFyFxyFxFyF( ) =( )( ) =( )( ) =( )OxxOyyOzzM FM FM FM FM FM F 力对点的矩矢在通过力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。于力

5、对该轴的矩。( )()()()OxyzzyxzyxijkMFrFxyzFFFyFzF izFxFjxFyF k( )=( )=( )=xzyyxzzyxM FyF zFM FzF xFM FxFyFMz(F)(x,y,z)Fxy( )=2OM FOABcosOABOab ( ) cos=( )OzMFMF( ) =( )OzzM FM F( )=()= 2zOxyM FM FOab ( ) =( )( ) =( )( ) =( )OxxOyyOzzM FM FM FM FM FM F求：求：已知：已知：F、 a、b、解：解：(1) 直接计算直接计算z( )Oxyi j kM F r Fx y

6、zF F F ( )sinsin(cossincoscos )OMFFbiFajFbFak0=cossin=coscos=sinxyzxaybzFFFFFF( )OM F( )=( )( )( )=sinsin(cos sincos cos )OxyzM FM F iM F jM F kFbi FajFbFak(2) 利用力矩关系利用力矩关系( )=sin( )=sin( )=cos sincos cosxzyzzyxM FFbFbM FFaFaM FaFbFFbFa222( ) =( ) cos=+OAOMFMFFababc已知：已知： F 、 a、b、c求：求： 力力F 对对OA轴之矩轴之

7、矩( ) = 0000OijkMFrFbFFbi（2）利用力矩关系）利用力矩关系( )OM FzOabcAxy F解：（解：（1）计算）计算( )OM F()/ 200/2/2+22 22 2DBMFrFijkbbFFFbFbFbijk 已知：已知： OA=OB=OC =b, OAOBOC.求：力求：力 F 对对OA 边的中点边的中点D之矩在之矩在AC方向的投影。方向的投影。解：利用力矩关系解：利用力矩关系xyz22+22+2BFFjFkbribjOABCDF11=+22ACnik( )( )11() ()22 22 2224ACDACMFMFnFbFbFbijkikFb OABCDxyzF(

8、 )+22 22 2DFbFbFbMFijk(1) 力偶矩的大小；力偶矩的大小；(2) 力偶的转向；力偶的转向；(3) 力偶作用面的方位。力偶作用面的方位。 空间力偶矩矢为空间力偶矩矢为自由矢量自由矢量，即可以在保证大小和方向不，即可以在保证大小和方向不变的情况下在刚体内任意移动。变的情况下在刚体内任意移动。空间力偶的定义空间力偶的定义:右手螺旋右手螺旋FBAFM2M2F2F力偶矩矢：力偶矩矢： 或或 M()M F,F BA证明：证明：FB1A11F2FORF两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。自由矢量自由矢量MFRF2F1F 空间力偶系的合成与平衡空

9、间力偶系的合成与平衡xyzMM iM jM k121212=+=+=+=xxxnxixyyynyiyzzznzizMMMMMMMMMMMMMMM222=+cos() =cos() =cos() =xyzxyzMMMMMM,iMMM, jMMM,kM 合力偶矩矢：合力偶矩矢：12=+=niMMMMMzOxyABC1M2M3MnMOyxzxzyORF1122nnFFFFF = F,1122()()()OOnOnMMFMMFMMF,=11R=()niinOOiiMMFFF 主矢主矢 主矩主矩RFOMzABCOxy1F2F3F1F1M2F2M3F3MOM222= ( ) +( ) +( )( )cos

10、() =( )cos(, ) =( )cos(, ) =OxyzxOOyOOzOOMMFMFMFMFM ,iMMFMjMMFMkMxzyORF=11R=()nOOiiniiMMFFF 主矢主矢 主矩主矩RFOMOM222RRRRRRR() +() +()cos()cos(, )cos(, )xyzxyzFFFFFF ,iFFFjFFF kF ()=()OixixMFMF=1=()nOOiiMMF 由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下，由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下，主矩与简化中心的选择无关。主矩与简化中心的选择无关。xzyOOMR00OFM ,R00OFM ,R00O

11、FM ,R00OFM ,R00OFM ,合力的作用线通过简化中心合力的作用线通过简化中心RR00OOFMFM且,oRFOMo1RFdoRFRFo1doRFR() =()OOOiMFMMFR() =()zziMFMFR00OFM ,ORF 力螺旋力螺旋 左螺旋左螺旋 右螺旋右螺旋RR00/OOFMFM且,RFOOMRFOORFOMOcossinOOOMMMM RRsin=OOMMdFF原力系平衡原力系平衡R00OFM 且为一般状态,ORFOMORFOM OM OO1dOM RFR00OFM ,空间任意力系简化结果总结：空间任意力系简化结果总结：主主 矢矢主主 矩矩最后结果最后结果说说 明明平衡平

12、衡合力偶合力偶ROMdF此时主矩与简化中心的位置无关此时主矩与简化中心的位置无关合力合力力螺旋力螺旋力螺旋力螺旋合力作用线离简化中心合力作用线离简化中心O的距离的距离力螺旋的中心轴通过简化中心力螺旋的中心轴通过简化中心力螺旋的中心轴离简化中心力螺旋的中心轴离简化中心O的距离为的距离为RsinOMdF 与与 成成 角角ROFM R/OFMRFOM R0F R0F 0OM 0OM 0OM0OM合力合力合力作用线通过简化中心合力作用线通过简化中心OOxyzFFF21ABCDEGH 棱长为棱长为 a 的正方体上作用的力系如图示。试求：的正方体上作用的力系如图示。试求：（1）力系的主矢量；）力系的主矢量

13、；（2）主矢量在）主矢量在 OE 方向投影的大小；方向投影的大小；（3）力系对）力系对 AC 轴之矩；轴之矩；（4）力系最终可简化为力螺旋，求其中力偶矩大小。）力系最终可简化为力螺旋，求其中力偶矩大小。1F2FooR12oR1oR2=cos 45cos 45 = 0;2=cos 45 =;22=sin 45 =.2xyzFFFFFFFFF解解: （1）力系的主矢量）力系的主矢量R2=()2FFjkOxyz12=FFFABCDEGH1F2F（2）主矢量在主矢量在 OE 方向投影的大小方向投影的大小R2=()2FFjk3=()3OEnijkRR6=3OEOEFFnF （3）力系对）力系对 AC 轴

14、之矩轴之矩=0002222002222AijkijkMaaaFFFFFFF21BEOxyzACDGHxyz1F2F2=2AMFaj()22=()221=2ACAACMFMnFajijFaR2=()2FFjk（4）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小221=() =222AMFajjkFaR2=()2Fnjk FFF12BEOxyzACDGHxyz1F2F平衡条件：平衡条件：R= 0= 0OFMxzyORFR=1=1()niinOOiiFFMMF zABCOxy1F2F3FOMR= 0= 0OFM空间平行力系空间平行力系= 0() = 0() = 0zx

15、yFMFMF平面任意力系平面任意力系= 0= 0() = 0 xyzFFMF= 0= 0= 0() = 0() = 0() = 0 xyzxyzFFFMFMFMF平衡方程平衡方程:（1）空间铰链：）空间铰链：（2）径向轴承：）径向轴承：（3）径向止推轴承：）径向止推轴承：（4）空间固定端：）空间固定端：ooo( ) = 0,cos30cos30 +cos= 03( ) = 0,(sin30 ) = 0222= 0,+= 0yACxABzABCaMFF aQPlaaaMFFF aQPlFFFFPQ已知：已知： Q=100kN，P=20kN，a=5m，l=3.5m， = 30求：各轮的支持力。又当

16、求：各轮的支持力。又当= 0时，时， 最最大载重大载重Pmax是多少是多少。解解: 取起重机为研究对象取起重机为研究对象解得解得: FA=19.3 kN， FB=57.3 kN， FC=43.4 kNPAB,CDHzCABEHDxy alQAFBFCFPAB,CDHzCABEHDxy alQ（2）当当 = 0，由上式第一个方程得：，由上式第一个方程得：o=3cos30AQPlFa为确保安全，必须：为确保安全，必须：FA041.2kNPBFCFAFooo( ) = 0,cos30cos30 +cos= 03( ) = 0,(sin30 ) = 0222= 0,+= 0yACxABzABCaMFF

17、 aQPlaaaMFFF aQPlFFFFPQ解得解得: FA=19.3 kN， FB=57.3 kN， FC=43.4 kN已知：已知：a =300mm，b=400mm，c =600mm，R=250mm，r =100mm，P=10kN，F1= 2F2。求：求： F1、F2 及及A、B处约束力。处约束力。abcABxzyP1F2FPabcABxzy1F2F解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象212121( ) = 0,()= 0( ) = 0,()= 0( ) = 0,()() = 0= 0,= 0= 0,= 0yxBzzBxxAxBxzAzBzMFFF RPrM FFbcPbM FFF

18、aFbcFFFFFFFFP12=2=8kN= 15.6kN=6kN=3.6kN=4kNAxAzBxBzFFFFFFAxFAzFBxFBzFyABCDM1M2M3bcaxz已知：力偶矩已知：力偶矩 M2 和和 M3求：平衡时求：平衡时 M1 和支座和支座A、D的约束力。的约束力。解：取曲杆为研究对象解：取曲杆为研究对象231= 0,= 0( ) = 0,= 0= 0,+= 0( ) = 0,= 0= 0,+= 0( ) = 0,= 0 xDxyAzzAzDzzAyyAyDyxAzAyFFMFFaMFFFM FMFaFFFM FMFbFc 32321+=0,=,=,=DxAzDzAyDyMM bM

19、 cMFFFFFMaaayABCDM1M2M3bcaxz解得：解得：AyFAzFDyFDzFDxF解解: 取板为研究对象取板为研究对象456142536( ) = 0,cos30cos30= 0( ) = 0,cos30cos30= 0( ) = 0,cos30cos30= 0( ) = 0,cos30sin30cos30 = 0( ) = 0,cos30sin30cos30 = 0( ) = 0,cos30FCDAEBCBCAABMFFaMMFFaMMFFaMMFF aFaMFF aFaMFF aFsin30cos30 = 0a45612342=(),=()33MMFFFFFFaa压拉已知：

20、等边三角形板的边长为已知：等边三角形板的边长为a，在板面内作用一矩为在板面内作用一矩为M的力偶，的力偶，板、杆自重不计；板、杆自重不计；求：杆的内力。求：杆的内力。MACBDEF303030123456解得：解得：1F2F3F4F5F6F=iiCiiiCiiiCiPxxPPyyPPzzPddd=,=,=VVVCCCx Vy Vz VxyzVVV由合力矩定理，得由合力矩定理，得若物体是均质的，得若物体是均质的，得1. 重心的概念及其坐标公式重心的概念及其坐标公式zOxyCVixCyCzCxiyiziiPP曲面：曲面：ddd=,=,=AAACCCx Ay Az AxyzAAA曲线：曲线：ddd=,

21、=,=lllCCCx ly lz lxyzlll均质物体的重心就是几何中心，通常称均质物体的重心就是几何中心，通常称 形心形心ddd=,=,=VVVCCCx Vy Vz VxyzVVVoxyC1C2C330mm30mm30mm10mm10mm(a) 分割法分割法x1=15, y1=45, A1=300 x2=5, y2=30, A2=400 x3=15, y3=5, A3=300112233123112233123+= 2mm+= 27mm+iiCiiiCix Ax Ax Ax AxAAAAy Ay Ay Ay AyAAAA解解: 建立图示坐标系建立图示坐标系求：求：Z 形截面重心形截面重心。

22、2. 用组合法求重心用组合法求重心(b)负面积法（负体积法）负面积法（负体积法）40mm50mmxyo20mm解：建立图示坐标系，由对解：建立图示坐标系，由对称性可知：称性可知：yC=0123440,25,4033Rxxx2212350 ,1000,252RAAAr112233123+=19.65mm+iiCix Ax Ax Ax AxAAAA求：图示截面重心。求：图示截面重心。 悬挂法悬挂法AABC3. 用实验方法测定重心的位置用实验方法测定重心的位置EPDPAFBF1. 空间平行力系简化的最终结果一定不可能为力螺旋。空间平行力系简化的最终结果一定不可能为力螺旋。2. 根据力的平移定理，一个

23、力平移后得到一个力和一个力偶，根据力的平移定理，一个力平移后得到一个力和一个力偶，反之一个力和一个力偶肯定能合成为一个力。反之一个力和一个力偶肯定能合成为一个力。3. 作用于刚体上的任何三个相互平衡的力，必定共面。作用于刚体上的任何三个相互平衡的力，必定共面。4. 空间任意力系总可以用两个力来平衡。空间任意力系总可以用两个力来平衡。5. 若空间力系各力作用线都平行于某一平面，则其最多的独若空间力系各力作用线都平行于某一平面，则其最多的独立平衡方程有立平衡方程有 个；个； 若各力的作用线都垂直于某平面，则若各力的作用线都垂直于某平面，则其最多的独立平衡方程有其最多的独立平衡方程有 个；个； 若各

24、力的作用线都与某若各力的作用线都与某一直线相交，则其最多的独立平衡方程有一直线相交，则其最多的独立平衡方程有 个。个。 思考题5 53 35 56. 沿长方体的不相交且不平行的三条棱边作用三个相等的力沿长方体的不相交且不平行的三条棱边作用三个相等的力F，如图示，欲使此力系能简化为一个力，则，如图示，欲使此力系能简化为一个力，则 a、b、c 应满足应满足关系：关系： 。 7. 棱长为棱长为 a 的正方体上作用的力系如图示。的正方体上作用的力系如图示。则其简化的最后结果是：则其简化的最后结果是： 。a b + c = 0oxyz123=2FFFF1F2F3Foxyz1234=;=2FFFFFF1F

25、2F3F4FabcFFF合力偶合力偶 =()OMFa ijk合力合力 R=()FF ijk1. 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影直接投影法直接投影法OxyzFx=+=+yzxyzFFFFF i F jF k =cos=cos=cosxyzFFFFFF二次投影法二次投影法yzOxFxyFx=+=+yzxyzFFFFF i F jF k =sin cos=sin sin=cosxyzFFFFFF2. 力矩的计算力矩的计算（1）力对点的矩）力对点的矩 ( )()()()OxyzzyxzyxijkMFrFxyzFFFyFzF izFxF jxFyF kOA(x,y,z)Bhyxz(

26、 )OM FFr( )=2OM FFhOAB 力对轴的矩等于力在垂直于该轴的力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。平面上的投影对轴与平面交点的矩。（2）力对轴的矩）力对轴的矩 ( ) =( ) =( ) =xzyyxzzyxMFyFzFMFzFxFMFxFyFyzOxA(x,y,z)BabxyFxyFxFxFyFyFzFOABabhzFxyF( )=()= 2zOxyxyM FM FF hoab （3）力对点的矩与力对轴的矩的关系）力对点的矩与力对轴的矩的关系( )=( )( )=( )( )=( )OxxOyyOzzMFM FMFMFMFM F 力对点的矩矢在通过该点力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。轴的矩。3. 合力矩定理合力矩定理 力系的合力对任一点（或任一轴）之矩等于力系中各力对同力系的合力对任一