中考数学必做压轴题分类之——二次函数与几何综合

1、优秀教案欢迎下载二次函数与几何综合二次函数与几何综合是中考压轴题的考查重点， 常考查函数解析式、 交点坐标、 图形面积或周长的最值、存在性问题、图形的平移、对称、旋转等压轴题的综合性强，难度大，复习时应加强训练，它是突破高分瓶颈的关键1、如图，已知抛物线C(0， 3) 两点，与y ax2bx c(a 0) 的对称轴为直线x 轴交于点B.x 1，且抛物线经过A(1 ，0) ，(1) 若直线 y mx n 经过 B、C 两点，求直线 BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x 1 上找一点 M，使点 M到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出点 M的坐标；(3)设点 P 为抛物线的对称

2、轴x 1 上的一个动点， 求使 BPC为直角三角形的点 P 的坐标2、如图，已知抛物线y x2 bx c 与 x 轴交于 A( 1，0) ， B(3，0) 两点，与 y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接 PB.(1) 求抛物线的解析式；(2)在 (1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得 BCD的面积最大？若存在，求出 D 点坐标及 BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)在 (1)中的抛物线上是否存在点Q，使得 QMB与 PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由优秀教案欢迎下载3、如图， 二次函数 y ax2 bx

3、 c 的图象的顶点 C 的坐标为 (0 ， 2) ，交 x 轴于 A、B 两点，其中 A( 1， 0) ，直线 l ：x m(m1) 与 x 轴交于 D.(1) 求二次函数的解析式和 B 的坐标；(2)在直线 l 上找点 P(P 在第一象限 ) ，使得以 P、D、B为顶点的三角形与以 B、C、O为顶点的三角形相似，求点 P 的坐标 ( 用含 m的代数式表示 ) ；(3)在 (2) 成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使 BPQ是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由4、已知抛物线y x2 2xa(a 0) 与y 轴相交于A 点，顶点

4、为M，直线1y 2x a 分别与x 轴、 y 轴相交于 B、 C 两点，并且与直线 MA相交于点 N 点(1) 若直线 BC和抛物线有两个不同交点，求a 的取值范围，并用a 表示交点 M、 A 的坐标；(2) 将 NAC沿着 y 轴翻折，若点 N 的对称点 P 恰好落在抛物线上， AP与抛物线的对称轴相交于点 D，连接 CD，求 a 的值及 PCD的面积；(3) 在抛物线 y x2 2x a(a 0) 上是否存在点 P，使得以 P、A、C、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由优秀教案欢迎下载5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l y轴于点 B(

5、0 ， 2) ， A 为 OB的中点，以A2上的一个动点，以P 为圆心， PO为半径画圆(1) 求抛物线的解析式；(2) 若P与 y 轴的另一交点为 E，且 OE 2，求点 P 的坐标；(3) 判断直线 l 与P的位置关系，并说明理由6、如图， 抛物线 y ax2 bxc(a 0) 的图象过点M( 2，3) ，顶点坐标为 N( 1，433) ，且与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点(1) 求抛物线的解析式；(2) 点 P 为抛物线对称轴上的动点，当 PBC为等腰三角形时，求点 P 的坐标；(3) 在直线 AC上是否存在一点 Q，使 QBM的周长最小？若存在， 求出 Q点坐标；

6、 若不存在，请说明理由优秀教案欢迎下载7、如图，二次函数 y x2 bx 3b 3 的图象与 x 轴交于 A，B 两点 ( 点 A 在点 B 的左边 ) ，交 y 轴于点 C，且经过点 (b 2， 2b2 5b 1) (1) 求这条抛物线的解析式；(2) M过 A， B， C三点，交 y 轴于另一点 D，求点 M的坐标；(3) 连接 AM， DM，将 AMD绕点 M顺时针旋转，两边MA，MD与x 轴， y轴分别交于点E， F.若 DMF为等腰三角形，求点E 的坐标8、如图 1，二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴分别交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，若 tan ABC 3

7、，一元二次方程 ax2 bx c 0 的两根为 8， 2.(1) 求二次函数的解析式；(2) 直线 l 以 AB为起始位置，绕点 A 顺时针旋转到 AC位置停止， l 与线段 BC交于点 D， P 是 AD的中点求点 P 的运动路程；如图 2，过点 D 作 DE垂直 x 轴于点 E，作 DFAC 所在直线于点F，连接 PE、 PF，在 l 运动过程中，EPF的大小是否改变？请说明理由；(3) 在 (2) 的条件下，连接EF，求 PEF 周长的最小值优秀教案欢迎下载9、已知抛物线C1： y 1 2x2，平移抛物线y x2，使其顶点D 落在抛物线C1 位于y 轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为C2

8、，且 C2 与 y 轴交于C(0， 2) (1) 求抛物线 C2 的解析式；(2) 抛物线 C2 与 x 轴交于 A， B 两点 ( 点 B在点 A 的右方 ) 求点 A、 B 的坐标及过点 A、 B、C的圆的圆心 E 的坐标；1(3) 在过点 (0 ，2) 且平行于x 轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由10、如图，已知直线 y 3x 3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线 y ax2 bx c 经过点 A 和点 C，对称轴为直线 l ：x 1，该抛物线与 x 轴的另一个交点为 B.(1) 求此抛物线的解析式；(2)

9、点 P 在直线 l 上，求出使 PAC 的周长最小的点 P 的坐标；(3) 点 M在此抛物线上，点 N 在 y 轴上，以 A、B、M、N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由优秀教案欢迎下载11、如图，已知抛物线 y ax2bx c(a 0) 与 x 轴交于点 A(1 ， 0) 和点 B( 3，0) ，与 y 轴正半轴交于点 C，且 OC OB.(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若点 E为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、 CE，求四边形 BOCE面积最大值，并求出此时点 E 的坐标；(3) 点 P 在抛物线的对称轴上， 若线段 PA

10、绕点 P 逆时针方向旋转 90°后， 点 A 的对应点 A 恰好也落在此抛物线上，求点 P 的坐标k12、如图，已知抛物线y 8(x 2)(x 4)(k为常数，且k 0) 与x 轴从左至右依次交于A，B两点，与y 轴交于点C，经过点B的直线y3x b 与抛物线的另一交点为3D.(1) 若点 D的横坐标为 5，求抛物线的函数表达式；(2) 若在第一象限内的抛物线上有点 P，使得以 A，B， P 为顶点的三角形与 ABC 相似，求 k 的值；(3) 在 (1) 的条件下，设 F 为线段 BD上一点 ( 不含端点 ) ，连接 AF，一动点 M从点 A 出发，沿线段 AF以每秒 1 个单位的

11、速度运动到F，再沿线段FD以每秒 2 个单位的速度运动到D后停止，当点F 的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？优秀教案欢迎下载13、已知抛物线侧 ) ，与 yy x2 bxc 与 x 轴相交于点 C，顶点为轴交于点 A(m 2，0) 和P，对称轴为 l ： x 1.B(2m 1，0)(点 A在点B 的左(1) 求抛物线解析式；(2) 直线 y kx 2(k 0) 与抛物线相交于两点 M(x1，y1) ， N(x 2， y2)(x 1<x2) ，当 |x 1 x2 | 最小时，求抛物线与直线的交点M和 N的坐标；(3) 首尾顺次连接点O，B，P，C 构成多边形的周长为L. 若线段

12、 OB在时点 O， B 移动后的坐标及L 的最小值x 轴上移动，求L 最小14、如图，抛物线 y ax 2 8ax 12a(a 0) 与 x 轴交于 A、 B 两点 (A 在 B 的左侧 ) ，与 y 轴交于点 C，点 D的坐标为 ( 6， 0) ，且 ACD 90° .(1) 请直接写出 A、 B 两点的坐标；(2) 求抛物线的解析式；(3) 抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得 PAC的周长最小？若存在， 求出点 P 的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；(4) 平行于 y 轴的直线 m从点 D 出发沿 x 轴向右平行移动， 到点 A 停止设直线 m与折线 DCA的交点为G，

13、与 x 轴的交点为H(t ，0) 记 ACD在直线 m左侧部分的面积为S，求 S 关于 t 的函数关系式及自变量t 的取值范围优秀教案欢迎下载15、如图， 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 yax2 2ax 3a(a 0) 与 x 轴交于 A、B 两点( 点 A在点 B 的左侧 ) ，经过点 A 的直线的另一个交点为D，且 CD 4AC.l ：y kx b 与y 轴负半轴交于点C，与抛物线(1)直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表达式( 其中 k、 b 用含 a 的式子表示 )(2)点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若 ACE的面积的最大值为5 ，求 a 的值；4(3) 设

14、 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q在抛物线上，以点 A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由优秀教案欢迎下载参考答案1、【思路点拨】(1) 利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；(2) 利用抛物线的轴对称性， BC与对称轴的交点即为 M，继而求出其坐标；(3) 设 P( 1，t)，用含 t 的代数式表示PB、PC.对直角顶点分三种情况讨论，利用勾股定理建立方程可求得t 的值【解答】(1) 依题意，得b 2a 1，a 1，解得 b 2，a bc 0，c3.c 3，抛物线解析式为y x2 2x3.对称轴为 x 1，且抛物线经过A(1，0) ，

15、 B( 3，0) 把 B( 3， 0) 、 C(0， 3) 分别代入直线y mxn，得 3m n 0，m 1，解得n 3，n 3.直线 ymx n 的解析式为y x 3.(2) 设直线 BC与对称轴 x 1 的交点为 M，则此时 MA MC的值最小， 把 x 1 代入直线 y x 3，得 y 2.M( 1， 2) ，即当点 M到点 A 的距离与到点C的距离之和最小时，M的坐标为 ( 1， 2) (3) 设 P( 1， t)，又 B( 3，0) ， C(0， 3)，2222222(t 3)22BC 18， PB ( 1 3) t 4t，PC( 1) t 6t 10.若点 B 为直角顶点，则222

16、2210，解得 t 2；BC PB PC，即18 4t t 6t若点 C 为直角顶点，则22218 t2 6t 102BC PC PB ，即4t ，解得 t 4；若点 P 为直角顶点，则22222PB PC BC，即4 t t 6t 10 18；解得 t 13 173 17， t 2 2.23 17) 或( 1，3 17综上所述， P 的坐标为 ( 1， 2) 或 ( 1， 4) 或( 1，22) 2、【思路点拨】(1) 把 A( 1，0) 、 B(3 ， 0) 两点的坐标代入y x2 bx c即可求出 b和 c 的值，进而求出抛物线的解析式；2 2t 3)，作 DH x 轴，则 S S S

17、S，进而得到 S 关于 t(2) 设 D(t ， t BCD梯形 DCOHBDH BOC的二次函数，利用二次函数的性质，确定D 点坐标与SBCD的最大值；(3) 因为两三角形的底边 MB相同，所以只需满足 MB上的高相等即可满足题意【解答】 1 bc 0，(1) 由解得b 2， 9 3b c 0，c3.抛物线解析式为：y x2 2x 3.(2) 设 D(t ， t 2 2t 3) ，作 DH x 轴令 x 0，则 y 3， C(0 ， 3) 则 S BCD S 梯形 DCOH S BDH S BOC优秀教案欢迎下载122t 3 3)t121 ( t (3t)( t 2t 3) ×3&

18、#215;3222329 t t.223 2 0，9当 t 2331527时，即D(，)时， S BCD有最大值，且最大面积为.322482×（ 2）(3) P(1 ，4) ，过点 P 且与 BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一，直线 BC为 y x 3，过点 P 且与 BC平行的直线为y x 5.y x 5，由 y x2 2x 3，解得 Q1(2 ， 3) ；直线 PM为 x 1，直线 BC为 y x 3， M(1， 2) 设 PM与 x 轴交于 E 点， PM EM 2，过点 E 且与 BC平行的直线为 y x 1.从而过点 E 且与 BC平行的直线与抛物线的交点也为所求

19、Q点之一y x 1，3 171 173 171 17由解得 Q2(2，2) ，Q3(2，2) y x22x 3，3 17，1 17) ，Q(3 17，1 17) 满足条件的 Q点为 Q(2 ， 3) ，Q(12223223、【解答】(1) 抛物线 yax2 bx c 的顶点坐标为C(0， 2)， b 0， c 2. y ax2 bx c 过点 A( 1， 0) ，0 a 0 2， a 2，抛物线的解析式为y 2x2 2.当 y 0 时， 2x2 2 0，解得 x± 1，点 B 的坐标为 (1 ，0) (2) 连接 BC.设 P(m，n) PDB BOC 90°，当以 P、D

20、、 B 为顶点的三角形与以 B、C、 O为顶点的三角形相似时，分两种情况：若 OCB DBP，则OBOC12m 1，即，解得 n2.DPDBnm 1m 1此时点P 坐标为 (m，2) ；若 OCB DPB，则OBOC12，解得 n 2m 2.，即m 1DBDPn此时点 P 坐标为 (m， 2m2) 优秀教案欢迎下载综上所述，满足条件的点P 的坐标为 (m，m 1) 或 (m， 2m 2)2(3) 假设在抛物线上存在第一象限内的点Q(x， 2x22) ，使 BPQ 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形如图，过点Q作 QEl于点 E. DBP BPD 90°， QPE BPD 90

21、76;， DBP QPE.在 DBP与 EPQ中，BDP PEQ 90°， DBP EPQ，BP PQ， DBP EPQ. BD PE，DP EQ.分两种情况：m 1当 P(m，2) 时， B(1 ， 0) ， D(m， 0) ， E(m，2x2 2) ，2m 1m1 2x 2，m12 m x，1解得x1 1， x2 ，2( 均不合题意，舍去 )m1 1，m2 0.当 P(m，2m 2) 时， B(1 ， 0) ， D(m， 0) ， E(m，2x2 2) ，m 12x 2 2 2（m 1），2（ m 1） m x，x25，1 2x 1，( 均不合题意，舍去 )解得9m1 1，m2

22、2.综上所述，不存在满足条件的点Q.4、【思路点拨】(1) 把两个解析式联立， 利用一元二次方程根的判别式求出a 的取值范围 利用二次函数解析式求得M、 A 的坐标；(2) 求出两直线的交点 N，从而求出其对称点 P，利用面积之差得 PCD 的面积；(3) 分两种情况进行讨论：当P 在 y 轴左侧时，利用平行四边形对角线互相平分得P 点坐标，代入二次函数解析式，求得a；当 P 在 y 轴右侧时，利用平行四边形的对边平行且相等得 P 点坐标，代入二次函数解析式，求得a.y x2 2x a，【解答】(1) 由题意联立1y x a.2整理得 2x2 5x 4a 0.优秀教案欢迎下载25由 25 32

23、a 0，解得 a.25a 0， a且 a0.32令 x 0，得 y a， A(0 ， a) 由 y (x 1) 2 1 a，得 M( 1，1 a) (2) 设直线 MA的解析式为 ykx b，代入 A(0 ，a) 、 M(1， 1 a) ，得1 a k b，k 1，a b，解得ba.故直线 MA的解析式为y x a.y x a，4x a，联立13解得y 2x a.ay 3.4aa N( 3 ，3)由于 P 点是 N 点关于 y 轴的对称点，4aa P( 3 ，3)代入 y x2 2x a，得 a 16a2 8a a，3939解得 a 4或 a 0( 舍去 ) 99139 A(0 ， 4) ，

24、C(0， 4) ， M( 1， 4 ) ， |AC| 2.S PCD S PAC S DAC11 2|AC| × |x P| 2|AC| × |x D|199 2× 2(3 1) 2.(3) 当点 P 在 y 轴左侧时，四边形APCN为平行四边形，则AC与 PN相互平分，点P 与 N4aa4aa关于原点 (0 ， 0) 中心对称，而N( 3， 3) ，故 P( 3，3) 2a1628代入 y x 2x a，得 3 9 a 3a a，解得 a 15或 a 0( 舍去 ) ， P( 5， 5) 828当点 P 在 y 轴右侧时， 四边形 ACPN为平行四边形，则NPA

25、C 且 NPAC，而 N(4aa， )、334a7aA(0 ， a) 、 C(0， a) ，故 P(3 ，3 ) 优秀教案欢迎下载2 2x a，得7a16 28代入 y xa a a，393317解得 a 或 a 0( 舍去 ) ， P(， )8285517当 P 点为 ( 2， 8) 或 ( 2， 8) 时，以 A、 C、 P、 N为顶点能构成平行四边形1(1) A 为 OB的中点， B(0 ， 2) ， A(0 ， 1) 2 C(2，0) ，D(2，0) 12c 1，a ，把 A(0 ， 1) ， D(2， 0) 代入抛物线yax c，得解得4c 1.x2抛物线的解析式为y 1.4x21(

26、2) 设点 P(x， 4 1) ，过 P 作 PMy轴于点 M，则 OM 2OE1.x2x211 或x2| 1| 1. 4 1 1.44解得 x1 2 2， x2 2 2， x30.点 P 坐标是 P1(22，1) ，P2( 22，1) ， P3(0 ， 1) x2(3) 直线 l 与P 相切设点 P(x ， 4 1) ，过 P 作 PNl于点 N，交 x 轴于点 Q.22x222x4x2x4x22x22 x4在 Rt POQ中， POx(4 1) x 16 2 116 2 1.PN 41( 2) 16x22 1.PNPO.直线 l与P 相切2.(1) 由抛物线顶点坐标为43y a(x 1)2

27、43N( 1，3) ，可设其解析式为. 将 M(2， 3)32433代入，得 3 a( 2 1) ，解得 a .333223故所求抛物线的解析式为y 3 x 3x 3.3223(2) y 3 x3x3， x0 时， y3， C(0 ， 3) 3223y 0 时， 3 x3x3 0，解得 x 1 或 x 3，A(1 ， 0) ， B( 3，0) ，优秀教案欢迎下载BC22OB OC 2 3.设 P( 1，m)，当 CP CB时，有 CP1（ m3） 2 2 3，解得 m3± 11；当 BP BC时，有 BP（ 122，解得 m±2 2；3） m 2 3当 PB PC时，221

28、（ m2（ 1 3） m3） ，解得 m0.综上所述，当 PBC 为等腰三角形时，点P 的坐标为 ( 1， 3 11) ，( 1， 311) ，( 1，22)，(1，2 2)，(1，0)(3) 由 (2)知 BC22223，AC 2，AB 4，所以 BC AC AB，即 BCAC.连接 BC并延长至 B，使 BC BC，连接BM，交直线 AC于点 Q，连接 BQ， BM.B、B关于直线AC对称，QBQB， QBQMQB QMMB，又 BM 2，所以此时 QBM的周长最小由 B( 3，0) ， C(0，3) ，易得 B(3 ， 2 3) 设直线 MB的解析式为y kx n，将 M( 2，3) ，

29、B (3 ，2 3) 代入，得 2k n3，3k n 23，3k 5 ，解得73n.53 7 3即直线 MB的解析式为 y 5 x 5 .3731，AC 的解析式为y 3x yx，x 3同理可求得直线3.由55解得4即y3x3，3y，3143Q( ，) 33143所以在直线 AC上存在一点 Q(3，3 ) ，使 QBM的周长最小3.(1) 把点 (b 2， 2b25b 1)代入解析式，得2b25b 1 (b 2) 2 b(b 2) 3b 3. 解得 b 2.抛物线解析式为y x2 2x 3.(2) 由 x2 2x 3 0，得 x 3 或 x 1. A( 3， 0) ， B(1 ，0) ， C(

30、0， 3) 抛物线的对称轴是直线 x 1，圆心 M在直线 x 1 上设 M( 1， n) ，作 MGx轴于 G， MH y 轴于 H，连接 MC， MB.MH 1， BG 2.222222MB MC， BG MG MH CH. 4 n 1 (3 n) . 解得 n 1.点 M的坐标为 ( 1， 1) 优秀教案欢迎下载(3) 由 M(1， 1) ，得 MGMH. MAMD， Rt AMG Rt DMH. MAG MDH由.旋转可知 AME DMF.AME DMF若. DMF为等腰三角形，则AME为等腰三角形设 E(x ， 0) AME为等腰三角形，分三种情况：当AE AM5时，则 x5 3， E

31、( 5 3， 0) 当 AM ME时， M在 AB 的垂直平分线上，MA ME MB， E(1 ，0) 当 AE ME时，则点 E 在 AM的垂直平分线上2222AE x 3， ME MG EG 1 ( 1 x) .2277(x 3) 1 (1 x). 解得 x 4. E( 4， 0) 所求点 E 的坐标为 (53，0)，(1 ，0) 或 ( 7，0) 44.(1) 函数y ax2 bx c 与 x 轴交于 A、B 两点，且一元二次方程ax2bx c 0 两根为 8， 2， A( 8， 0) 、 B(2 ，0) ，即 OB 2.又 tan ABC 3， OC 6，即 C(0 ， 6) 将 A(

32、 8， 0) 、 B(2 ， 0) 代入 yax2 bx6 中，3 9得 a ， b ，8 43 29二次函数解析式为y x x 6.8 4(2) 当 l 在 AB位置时， P 即为 AB 中点 H，当 l 运动到 AC位置时， P 即为 AC中点 K，1点 P 的运动路程为 ABC 的中位线HK.HK 2BC.在 Rt BOC中， OB 2， OC 6.BC 210. HK10.即点 P 的运动路程为10. EPF的大小不会改变1理由如下： DEAB，在Rt AED中， P 为斜边 AD的中点， PE 2AD PA， PAE1PEAEPD.1同理可得： PAF PFA2 DPF， EPF E

33、PD DPF2( PAE PAF)，即 EPF 2EAF.又 EAF 大小不变，EPF的大小不会改变(3) 设 PEF 的周长为 C，则 CPE PFEF，PE11AD， PFAD， CAD EF.221在等腰三角形PEF 中，过 P 作 PGEF 于点 G， EPG2EPF BAC.tan BACOC3EG3363 . tan EPG . EGPE， EF5PE AD. C AD EF (1 AO4PG455385)AD 5AD.1又当 ADBC 时， AD最小，此时C最小，又 S ABC 30， BC·AD30， AD 3 10. C 最 2优秀教案欢迎下载8 24小值为 AD1

34、0.5 5122的解析式为2125.(1) 由题意，设 D(a，a ) 则抛物线Cy (x a) a .22又点 C 在抛物线 C2 上，将 C(0， 2) 代入上式，解得a± 2. 又因为 D 在 y 轴右侧，所以 a2.抛物线2的解析式为 y (x 2)2 2.C(2) 由题意，在 y (x 2) 2 2 中，令 y0，则 x2± 2.点 B 在点 A 的右侧， A(2 2，0) ，B(22，0)又过点 A、B、C 的圆的圆心一定在线段AB的垂直平分线上， 则设 E(2 ，m)，且 |CE| |AE|.则22223圆心 E 的坐标为 (232 (2 m) m (2 2 2)，解得 m .， ) 22112(2 2(3) 假设存在 F(t ， ) ，使得四边形CEBF为菱