中考真题直角三角形与勾股定理题型

1、学习好资料欢迎下载直角三角形与勾股定理一 .选择题1. （ 2015 辽宁大连， 8， 3 分）如图，在 ABC 中， C=90 °， AC=2，点D 在 BC 上，ADC =2B,AD =5 ,则 BC 的长为（）A. 31B. 3+1C. 51D. 5+1【答案】 D【解析】解：在 ADC 中， C=90°，AC=2，所以 CD = AD 2AC 2521,22因 为 ADC =2 B ， ADC = B+ BAD , 所 以 B= BAD, 所 以BD =AD=5,所以BC= 5 +1，故选 D.2.（ 2015?四川南充 ,第 9 题 3 分）如图，菱形 ABCD

2、的周长为 8cm，高 AE 长为cm，则对角线 AC 长和 BD 长之比为（）（A） 1:2（ B） 1:3（C）1:（D） 1:【答案】【解析】D试题分析：设AC 与 BD 的交点为O，根据周长可得AB=BC=2，根据 AE=则 ABC 为等边三角形，则AC=2，BO=，即 BD =2，即 AC:BD =1：考点：菱形的性质、直角三角形.可得.BE=1 ，学习好资料欢迎下载3（ 2015?四川资阳 ,第 9 题 3 分）如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3

3、cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是A 13cmB 2 61 cmC61 cmD 2 34 cm图 5考点：平面展开最短路径问题.分析：将容器侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A，根据两点之间线段最短可知AB 的长度即为所求解答：解：如图：高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿AD=5cm， BD=12 3+ AE=12cm，3cm 与饭粒相对的点A 处，将容器侧面展开，作A 关于 EF 的对称点A，连接 AB，则 AB 即为最短距离，AB=13（ Cm）故选： A点评： 本题考查了平面展开最短路径问

4、题， 将图形展开， 利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力4. （ 2015?浙江滨州,第10 题3 分）如图，在直角的内部有一滑动杆.当端点沿直线向下滑动时，端点会随之自动地沿直线向左滑动.如果滑动杆从图中处滑动到处，那么滑动杆的中点所经过的路径是()A.直线的一部分B.圆的一部分C.双曲线的一部分D .抛物线的一部分学习好资料欢迎下载【答案】 B【解析】试题分析：根据题意和图形可知 AOB 始终是直角三角形，点C 为斜边上的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知OC 始终等于AB 的一半， O 点为定点， OC为定长，所以它始终是圆的

5、一部分.故选 B考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半5. （ 2015?浙江湖州，第 9 题 3 分）如图， AC 是矩形 ABCD 的对角线， O 是 ABC 的内切圆，现将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，使点D 与点 O 重合，折痕为FG ，点 F ，G分别在 AD ， BC 上，连结OG，DG ，若 OGDG ，且 O 的半径长为1，则下列结论不成立的是()A. CD+DF =4 B. CD- DF =2- 3C. BC+AB=2+4D . BC - AB=2【答案】 A.【解析】试题分析：如图，设 O 与 BC 的切点为 M,连接 MO 并延长 MO 交 AD 于点 N,利用

6、 “AAS” 易证 OMG GCD,所以 OM=GC=1, CD =GM=BC BM GC=BC 2.又因 AB =CD ,所以可得 BC- AB=2. 设 AB=a，BC=b,AC=c, O 的半径为r，O 是 Rt ABC 的内切圆可得r=（ a+bc），所以 c=a+b 2. 在 Rt ABC 中，由勾股定理可得，整理得2ab学习好资料欢迎下载4a 4b+4=0，又因 BC- AB=2 即 b=2+a，代入可得2a（ 2+a） 4a 4（ 2+a）+4=0 ，解得，所以，即可得BC+AB=2+4. 再设 DF =x，在 Rt ONF 中 ,FN =，OF =x，ON=,由勾股定理可得，解

7、得，所以 CD- DF =，CD+DF =.综上只有选项A 错误，故答案选A.考点：矩形的性质；直角三角形内切圆的半径与三边的关系；折叠的性质；勾股定理；6. （ 2015?浙江嘉兴，第7 题 4 分）如图，的圆与 AB 相切，则 C 的半径为（ ）中， AB=5， BC=3， AC=4，以点C 为圆心（A） 2.3（B） 2.4（C） 2.5（ D） 2.6考点：切线的性质；勾股定理的逆定理.分析：首先根据题意作图，由AB 是 C 的切线，即可得CD AB，又由在直角 ABC 中，C=90°， AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB 的长，然后由SABC =AC ?BC=AB ?

8、CD ，即可求得以C 为圆心与AB 相切的圆的半径的长解答：解：在 ABC 中，AB =5， BC=3， AC=4，AC 2+BC2=32+4 2=52=AB2， C=90°，学习好资料欢迎下载如图：设切点为D，连接 CD ，AB 是 C 的切线，CD AB，S ABC=AC?BC=AB?CD，AC ?BC=AB?CD ，即CD= C 的半径为，=，故选B 点评： 此题考查了圆的切线的性质， 勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用8. （ 2015?四川乐山 ,第 7 题 3 分）如图，已知 ABC 的三个顶点均在格

9、点上，则cosA 的值为（）ABCD【答案】 D学习好资料欢迎下载考点： 1锐角三角函数的定义；2勾股定理； 3勾股定理的逆定理；4格型9, （ 2015?四川眉山，第10 题 3 分）如图，在Rt ABC 中， B=90 °， A=30 °， DE 垂直平分斜边 AC ，交 AB 于 D， E 是垂足，连接CD若 BD=1，则 AC 的长是（）A 2B 2C4D4考点：含30 度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质；勾股定理.分析：求出 ACB，根据线段垂直平分线的性质求出AD=CD ，推出 ACD= A=30°，求出 DCB ，即可求出BD、 BC，根据含30

10、°角的直角三角形性质求出AC即可解答：解： 在 Rt ABC 中， B=90°， A=30°， ACB=60°， DE 垂直平分斜边AC， AD=CD， ACD= A=30°， DCB=60° 30°=30°，在 Rt DBC 中， B=90°， DCB =30°， BD =1，学习好资料欢迎下载 CD=2BD =2，由勾股定理得：BC=，在 Rt ABC 中， B=90°， A=30°， BC=， AC=2BC=2，故选 A点评：本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质

11、，勾股定理，含30 度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出BC 的长，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半10. （ 2015?浙江省台州市，第 8 题）如果将长为 6cm，宽为 5cm 的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（）A.8cmB. 52 cmD.1cm二.填空题1、（ 2015?四川自贡 ,第 13 题 4 分）已知，AB是 O 的一条直径，延长AB至C点，使DAC 3BC ,CD 与 O 相切于 D 点，若 CD3 ,则劣弧 AD 的长为 AO.BC13题考点：圆的基本性质、切线的性质、直角三角形的性质、勾股定

12、理、弧长公式等.分析：本题劣弧AD 的长关键是求出圆的半径和劣弧AD 所对的圆心角的度数 .在连接 OD 后，根据切线的性质易知ODC 90o ,圆的半径和圆心角的度数可以通过 Rt OPC 获得解决 .DAOBC13题学习好资料欢迎下载略解：连接半径OD.又 CD 与O 相切于 D 点 ODCD ODC90o AC 3BCAB 2OB OBBC1OC又OB OD OB2 OD1 OC 在 Rt OPCcosDOCOD1DOC60o2OC2 AOD120o在 Rt OPC 根据勾股定理可知：OD 2DC 2OC2CD3 OD222OD23解得： OD 1oo2则劣弧 AD 的长为 120OD1

13、201 2. 故应填3180o180o32. （ 2015?浙江滨州 ,第17题4分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线 AE折叠（点 E 在边 DC 上），折叠后顶点 D 恰好落在边 OC 上的点 F 处 .若点 D 的坐标为 (10,8 ），则点 E 的坐标为.【答案】（ 10,3）考点：折叠的性质，勾股定理3. （ 2015?四川省内江市，第22 题， 6 分）在 ABC 中， B=30 °， AB=12 ，AC=6，则 BC=6 考点：含 30 度角的直角三角形；勾股定理.分析：由 B=30°， AB=12 ， AC=6，利用30°所对的直角

14、边等于斜边的一半易得 ABC是直角三角形，利用勾股定理求出BC 的长解答：解： B=30°， AB=12，AC=6，学习好资料欢迎下载 ABC 是直角三角形， BC=6 ，故答案为： 6 °点评：此题考查了含 30°直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键4.（ 2015?江苏泰州 ,第 16 题 3 分）如图，矩形中， AB=8， BC=6，P 为 AD 上一点，将 ABP 沿 BP 翻折至 EBP， PE 与 CD 相交于点O，且 OE=OD ，则 AP 的长为 _.【答案】 4.8.【解析】试题分析：由折叠的性质得出EP=AP, E=

15、 A=90°,BE=AB=8，由 ASA 证明 ODP OEG ，得出 OP=OG ， PD=GE ，设 AP=EP =x，则 PD =GE=6 x，DG =x，求出 CG、 BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可.试题解析：如图所示：四边形 ABCD 是矩形 D= A=C=90°， AD=BC=6， CD=AB=8根据题意得： ABP EBP，学习好资料欢迎下载EP =AP ， E=A=90°,BE=AB=8 ，在 ODP 和 OEG 中 ODP OEGOP=OG， PD =GE，DG =EP设 AP=EP=x，则 PD=GE=6 x，DG=x，CG=8 x，B

16、G=8（ 6 x）=2+ x根据勾股定理得：222BC +CG =BG即： 62+（ 8 x） 2=（ x+2 ） 2解得： x=4.8AP =4.8.考点：1.翻折变换（折叠问题） ； 2.勾股定理； 3.矩形的性质 .5.（ 2015?江苏徐州 ,第 17 题 3 分）如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线 AC 为边作第二个正方形，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，第n 个正方形的边长为 （） n 1考点：正方形的性质.专题：规律型分析：首先求出 AC、AE 、HE 的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题解答：解： 四边形 ABCD 为正方形，AB

17、=BC =1， B=90°，AC 2=1 2+12， AC=；同理可求： AE=（）2， HE=（）3，学习好资料欢迎下载第 n 个正方形的边长an=（n 1） 故答案为（） n 1点评：该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用6.（ 2015?山东东营,第17 题4 分）如图，一只蚂蚁沿着边长为2 的正方体表面从点A 出发，经过3 个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为【答案】.考点： 1.正方体的侧面展开图；2.最值问题； 3.勾股定理 .72015?, 16题3分）如图，四边形ABCD中， A=90° AB=

18、3，AD=3，点（广东广州第，M，N分别为线段BC ，AB 上的动点 （含端点， 但点M 不与点B 重合），点E，F分别为DM ，MNEF3学习好资料欢迎下载考点：专题：分析：因为 N三角形中位线定理；勾股定理动点型根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN 最大时， EF 最大，与 B 重合时 DN 最大，此时根据勾股定理求得DN =DB=6 ，从而求得EF 的最大值为3解答：解： ED =EM， MF =FN， EF= DN，DN 最大时， EF 最大，N 与 B 重合时 DN 最大，此时 DN=DB =6 ， EF 的最大值为 3故答案为 3点评：本题考查了三角形中位线定理，勾股

19、定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键8（. 2015?泉州第 11 题 4 分）如图，在正三角形ABC 中，AD BC 于点 D ，则 BAD =30° °解： ABC 是等边三角形， BAC=60°，AB =AC ，AD BC，学习好资料欢迎下载 BAD = BAC =30°，故答案为： 30°9 (2015?湖南株洲 ,第 15 题 3 分)如图是 “赵爽弦图 ”， ABH 、 BCG、 CDF 和 DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和 EFGH 都是正方形，如果AB 10， EF 2，那么AH 等于ABGFHED第15题图C

20、【试题分析】本题考点为：全等三角形的对应边相等，直角三角形的勾股定理，正方形的边长相等；由全等可知： AH DE， AE AH HE由直角三角形可得：AE 2 DE 2 AB2 ，代入可得答案为： 610(2015?江苏无锡 ,第 17 题 2 分 )已知：如图，AD、BE 分别是 ABC 的线和角平分线， AD BE， AD =BE =6，则 AC 的长等于 _ 考点：三角形位线定理；勾股定理专题：计算题分析：延长AD至F，使DF =AD ，过点F 作平行BE 与AC延长线交于点G，过点C 作CH BE，交AF于点H，连接BF，如图所示，在直角三角形AGF ，利用勾股定理求AG的长，利用SA

21、S证得 BDF CDA ，利用全等三角形对应角相等得到 ACD= BFD ，证得AGBF ，从而证得四边形EBFG是平行四边形， 得到FG=BE=6 ，利用AAS得到三角形BOD与三角形CHD全等，利用全等三角形对应边相等得到OD=DH =3，得AH =9，然后根据AHC AFG ，对应边成比例即可求得AC解答：解：延长 AD 至 F ，使 DF =AD ，过点 F 作 FG BE 与 AC 延长线交于点G，过点 C作 CH BE，交 AF 于点 H ，连接 BF ，如图所示，在 Rt AFG ，AF =2AD=12 ， FG =BE=6，学习好资料欢迎下载根据勾股定理得： AG=6 ，在 B

22、DF 和 CDA ， BDF CDA （ SAS）， ACD =BFD ，AG BF，四边形 EBFG 是平行四边形，FG =BE=6，在 BOD 和 CHD， BOD CHD （ AAS），OD =DH =3，CHFG， AHC AFG ，=，即=，解得： AC=，故答案为：点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及勾股定理的应用，作辅助线构建直角三角形和平行四边形是解题的关键11（ 2015·湖北省武汉市，第16 题 3 分）如图， AOB 30°，点 M、 N 分别在边OA、学习好资料欢迎下载OB 上，且 OM 1， O

23、N 3，点 P、 Q 分别在边OB、 OA 上，则 MP PQ QN 的最小值是_【解析】作M 关于 ON 对称点 M1，点 N 关于 OA 的对称点N1，连接 M1N1 分别交 OA、 ON于 Q，P，此时 MP +PQ+NQ 的值最小 .由对称性质知， M1 P=MP ，N1Q=NQ，所以 MP +PQ+NQ= M1N1.连接 ON1、OM1，则 M 1OP= POM = N1OM=30°，所以 N1OM1 =90°.又 ON1=ON=3，OM1 =OM =1,所以 M1N1=OM 1 ON1 = 10 .【指点迷津】 线段和的最小值问题，一般都是将几条线段转化为同一条

24、线段长度，根据两点之间线段最短来说明.一般是通过做对称点转化到同一条线段上，根据勾股定理计算最小值.三.解答题1.（ 2015 辽宁大连，24，11 分）如图 1，在 ABC 中， C=90 °，点 D 在 AC 上，且 CD>DA,DA=2.点 P、 Q 同时从 D 点出发，以相同的速度分别沿射线DC 、射线 DA 运动。过点Q 作 AC 的学习好资料欢迎下载垂线段 QR,使 QR=PQ,联接 PR.当点 Q 到达 A 时，点P、 Q 同时停止运动。设PQ=x. PQR和 ABC 重合部分的面积为 S.S 关于 x 的函数图像如图2 所示（其中 0<x8， 8<x

25、m 时，77函数的解析式不同）填空： n 的值为 _;求 S 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围。图 1图 2（第 24 题）【答案】 (1)32（ 2）当 0< x8 时， S= 12，当 8<x4时， S=4 x 256 x324972 x7904545【解析】解： (1) 如答图 1 当 x= 8 时， PQR 和 ABC 重合部分的面积为S 就是 PQR 的7面积18832，所以 n=32此时， S=× ×=.2774949答图1答图2（2）由图像可知，S 的函数表达式有两种情况：学习好资料欢迎下载当 0<x8时，S=1×PQ&

26、#215;RQ=1x2，如答图 2722Q 点运动到A 时， x=2AD =4，所以 m=4.当 8<x4时， S= S APFS AQE1AP FG1AQ EQ722由题意 AP=2+ x ，AQ=2 x ,22因为 AQE AQ1R1,AQQE4 2xAQ1，所以 QE=Q1R152设 FG=PG=m因为 AGF AQ1R1, AGFG，所以 AG=2+ x m，AQ1Q1R122xmm4x2m=108 所以9 2277所以 S= S APFS AQE1AP FG1AQ EQ22= 1 2x 4 2x1 2x 4 2x22922252=4x 256x32904545所以 S=4 x

27、256 x32904545故答案为：当0< x8 时， S= 1x 2 ，72当 8<x4时， S=4 x2 56 x327904545学习好资料欢迎下载答图3答图42. （ 2015?四川南充,第24 题10 分）如图，点P 是正方形ABCD内一点，点P到点 A，B和D 的距离分别为1， ADP沿点A 旋转至 ABP，连结PP，并延长AP与BC 相交于点Q（ 1）求证： APP是等腰直角三角形；（ 2）求 BPQ 的大小；（ 3）求 CQ 的长【答案】略； 45°；【解析】试题分析： 根据旋转得到AP=AP BAP=DAP ，从而得出 PAP=90，°得到等腰

28、直角三角形；根据Rt APP 得出 PP的大小，然后结合BP 和 BP 的长度得到，从而得出 BPP是直角三角形，然后计算 BPQ 的大小；过点 B 作 BM AQ 于 M，根据 BPQ =45°得到 PMB 为等腰直角三角形， 根据已知得出 BM 和 AM 的长度，根据 RtABM学习好资料欢迎下载的勾股定理求出 AB，根据 ABM AQB 得出 AQ 的长度， 最后根据 RtABO 的勾股定理得出 BQ 的长度，根据 QC=BC BQ 得出答案 .试题解析： (1)、证明：由旋转可得：AP=AP BAP= DAP PAP= PAB+BAP= PAB+ DAP = BAD =90&

29、#176; APP是等腰直角三角形(3) 、过点B 作BM AQ 于MBPQ=45 ° PMB为等腰直角三角形由已知，BP=2 BM =PM=2 AM=AP+PM=3在 Rt ABM中， AB= ABM AQB AQ=在 Rt ABO 中， BQ=QC=BC BQ=考点：旋转图形的性质、勾股定理、三角形相似.3. （ 2015?浙江杭州 ,第 19 题 8 分）如图 1， O 的半径为r(r>0) ，若点 P在射线 OP 上，满足OP?OP=r 2，则称点P是点 P 关于 O 的“反演点 ”，如图 2， O 的半径为4，点 B 在 O 上， BOA=60°，OA=8

30、，若点 A、B分别是点A， B 关于 O 的反演点，求AB的长 .BOP'POA图1图2【答案】解： O 的半径为4，点 A、B分别是点A， B 关于 O 的反演点，点B 在 O上，OA=8， OAOA42, OBOB42，即 OA 842, OB442 . OA2, OB4 .点B 的反演点B与点B重合.学习好资料欢迎下载如答图，设OA 交 O 于点 M，连接 BM，OM=OB ，BOA=60°， OBM是等边三角形 . OA A M 2，BMOM.在 Rt OB ' M 中，由勾股定理得A BOB 2 OA242 22 2 3 .【考点】新定义；等边三角形的判定和

31、性质；勾股定理.【分析】先根据定义求出OA2, OB4 ，再作辅助线：连接点B与 OA 和 O 的交点 M，由已知 BOA=60°判定 OBM是等边三角形，从而在Rt OB ' M 中，由勾股定理求得AB的长 .4. （ 2015?浙江丽水，第19 题 6 分）如图，已知 ABC ，C=Rt ，AC<BC，D 为 BC 上一点，且到 A， B 两点的距离相等.（1）用直尺和圆规，作出点D 的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结 AD，若 B=37°，求 CAD 的度数 .【答案】解：（ 1）作图如下：（ 2） ABC 中， C=Rt ， B=37°， BAC=53°.AD =BD， ， B= BAD=37°学习好资料欢迎下载 CAD =BAC BAD=16°.【考点】 尺规作图； 线段垂直平分线的性质；直角三角形两锐角的关系；等腰三角形的性质.【分析】（ 1）因为到A， B 两点的距离相等在线段AB 的垂直平分线上，因此，点D 是线段AB 的垂直平分线与BC的交点，据此作图即可.（ 2）根据直角三角形两锐角互余，求出 BAC，根据等腰三角形等边对等角的性质，求出 BAD ，从而作差求得