概率论第二章

1、随机变量离散型随机变量随机变量及其分布随机变量的分布函数随机变量函数的分布 设 =为某随机现象的样本空间，若对每一个 都有一个实数X()与之相对应，称定义在上的实值函数X=X()为随机变量.通常用下列字母表示：,.ZYX (1) 掷一枚硬币，观察出现的正反面 X (2) n个产品中的不合格品个数 Y 0，1，2，n (3) 某商场一天内来的顾客数 Z 0，1，2， (4) 某种型号电视机的寿命 T : 0, +)出现反面，出现正面0, 1X(1) 随机变量X()是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R=(，) 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 X=1.5 是不可能事件. (2) 若 X

2、 为随机变量，则 X = k 、 a X b 、 均为随机事件.即 a X b =；a X() b (3) 注意以下一些表达式： X = k= X kX k； a b = X b.(4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量.若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或 可列个，则称 X 为离散随机变量.非离散型随机变量包括连续型和混合型，主要介绍连续随机变量.前例中的 X, Y, Z 为离散随机变量； 而 T 为连续随机变量.设离散随机变量 X 的可能取值为：x1，x2，xn， 称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, 为 X 的概率分布（分布率。分布列）.分布列也可用表格形式表示：X x1

3、x2 xn P p1 p2 pn (1) pi 0， (2)1.iip (正则性)(非负性)求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率. 例1 一个袋中有10个球，6个白色，4个黑色，从中任取3个，则“取得的黑球数”X是一个随机变量，求的概率分布及)31 ()2(XPXP及解：X的所有可能取值为0，1，2，3，且301) 3(,103)2(,21) 1(,61)0(31036XPXPXPCCXP故X的分布列为X 0 1 2 3P1/6 3/10 1/3054)2() 1() 31 (31) 3()2()2(XPXPXPXPXPXP例2 设

4、某批电子管的合格品率为,43现在对该批电子管进行测试，设第X次为首次测得合格品，求X的分布列,2,1,43)41()(1kkXPk解：1 , 0X)10( ,1)0(,)1(pqpXPpXP则称X服从0-1分布（两点分布，两值分布）（1）抛硬币，观察出现正反面（2）检验产品是否合格 （2） 二项分布 记为 X b(n, p).X为n重伯努里试验中某个事件A出现的次数,当n=1时，称 b(1, p) 为 0-1分布.nkppCkXPknkkn, 1 , 0,)1 ()( 试验次数为 n=4, 事件A“出现”即取得合格品的概率为 p=0.8, 所以, X b(4, 0.8)思考： 若 Y 为不合格

5、品件数，Y ？Y b(4, 0.2) 例3. 一批产品的合格率为0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 则取得合格品件数 X 服从二项分布. 例4 设X b(2, p)， Y b(4, p)， 已知 P(X1) = 8/9， 求 P(Y1).解: 由 P(X1) = 8/9 ，知 P(X=0) = 1/9. 由此得： P(Y1) = 1 P(Y=0)所以 1/ 9 = P(X=0) =(1p)2，从而解得: p = 2/3.= 1- (1p)4 = 80/81.若随机变量 X 的概率分布为(),0,1, 2,!kP Xkekk则称 X 服从参数为 的泊松分布, 记为 X P().例5 记某一

6、昆虫的产卵数为X，)(PX且每一个卵孵化为虫的概率为,p且各卵孵化为虫是相互独立的，求下一代恰有k个虫的概率解：设下一代的虫子数为Y，而, 2 , 1 , 0,!)(iieiXPi!)()1 (!)()(kepppCiekXPkYPpkkikkikii例6 设)6(),4(XPPX求查表104196.0110674.0214870.0)7()6()6(XPXPXP泊松定理定理(二项分布的泊松近似)设随机变量 若 npn ，则nkppCkXPnXknnknknnn, 2 , 1 , 0,)1 ()(), 2 , 1(率为服从二项分布，其分布ekppCkknnknkn!)1 (4) 几何分布 )

7、, 2 , 1, 10()1 ()(1kpppkXPk)(pGX（5）超几何分布),(MNnhXnNknMNkMCCCkXP)(定义 设X为一个随机变量，对任意实数 x， 称 F(x)=P( X x) 为 X 的分布函数.)()()()()(121221xXPxXPxXPxXPxXxP已知 X 的分布列如下：X 0 1 2P 1/3 1/6 1/2求 X 的分布函数.0, 01/3, 01( )1/2, 121, 2 xxF xxx解：基本性质：RxxF, 1)(0).1 ()()()().2(2121xFxFxxxF单调不减，即对任意的右连续。)()3(xF0)(, 1)()4(limlim

8、xFxFxx 对离散随机变量的分布函数应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.X 0 1 2P 0.4 0.4 0.2解：0, 00.4, 01( )0.8, 121, 2xxF xxx 已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.例3设随机变量的分布函数为0,0,)1 ()(2xcxxbaxF求cba,0, 1, 1cba例4一汽车沿着一街道行驶，需要通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以X表示该汽车驶过

9、这条街道途中所遇到红灯的个数，求X的概率分布和分布函数。解：由于)2/1 , 3( BX因此x 的所有可能取值为0，1，2，3X的概率分布为X0123P1/83/83/81/8X 的分布函数为3, 132, 8/721, 2/110, 8/10, 0)(xxxxxxF定义：设随机变量X,若存在非负可积函数 f(x) ,则称 X 为连续随机变量，使得对任意实数 , 满足：称 f(x)为概率密度函数，简称密度函数.连续型随机变量成立，dttfxXPx)()(x密度函数的性质满足(1) (2)的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数.(非负性)(正则性),0)()1(xf 1)()2(dxxf

10、注意(1) (1) (2) F(x) 是 (, +) 上的连续函数;)()()()(122121xFxFdxxfxXxPxx)()()(xfxFxf连续，则若0)()3( aXP连续随机变量X的可能取值充满某个区间 (a, b).因为对连续随机变量X，有P(X=x)=0， 所以无法仿离散随机变量用 P(X=x) 来描述连续随机变量X的分布.注意离散随机变量与连续随机变量的差别.连续型密度函数( )( )xF xf t dt2.4. P(X=a) = 0离散型分布列: pn = P(X=xn) 2. F(x) =()iixxP Xx 3. F(a+0) = F(a); P(a0，有( ) F(a

11、) =1 F(a)= F(a) = F(a) F(a) = 2F(a) 10( )af x dx01()2afx dx均匀分布指数分布正态分布记为X U(a, b)1, ( ) 0, a x bf xb a 其 它0,( ),1,x ax aF xax bb ab x （1）均匀分布 X U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.解：记 A = X 3 , 则 P(A) = P( X 3) = 2/3设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y B(3, 2/3)，所求概率为 P(Y2) = P(Y=2)+P(Y=3)2302333212133

12、33CC =20/27例1（2） 指数分布记为 X E(), ,0( )0,0 xexf xx其中 0.1,0( )0,0 xexF xx（可靠性理论和排队论中）（无记忆性）)()|(, 0,tXPsXtsXPts有对任意的这是因为)()(1)(1)()()()()()|()(tXPeeesFtsFsXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXPtsts例2 设X为顾客在某银行窗口等待服务的时间（单位：分钟），且)5/1( EX若等待时间超过10分钟，则顾客就离开。设某顾客一个月内要来银行5次，以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布律。解：根据题意知，).10(),5(XPpp

13、BY其中)5/1( EX而因此5 ,2 , 1 , 0,)1 ()()(5225keeCkYPkkk251015tpedte故记为X N(, 2),2()1( )exp,222xf xx其中 0， 是任意实数. 是位置参数. 是尺度参数.yxO正态分布的性质(1) f(x) 关于 是对称的.p(x)x0在 点 f(x) 取得最大值.(2) 若 固定, 改变, (3) 若 固定, 改变,小f(x)左右移动, 形状保持不变. 越大曲线越平坦; 越小曲线越陡峭.x01(1) (0),2xx)( x1( ) x标准正态分布N(0, 1)密度函数记为 (x),分布函数记为 (x).(2)()1( )xx

14、 )( x(x) 的计算(1) x 0 时, 查标准正态分布函数表.(2) x a) =1(a); (3) P(aXb) = (b)(a); (4) 若a 0, 则 P(|X|a) = P(aX1.96) , P(|X|1.96)P(|X|1/2, 所以 b 0, 反查表得: (1.66) = 0.9515, 故 b = 1.66而 (a) = 0.0495 1/2,所以 a 0, (a) = 0.9505, 反查表得: (1.65) = 0.9505, 故 a = 1.65例4一般正态分布的标准化定理 设 X N(, 2),XY则 Y N(0, 1).推论: 若 X N(, 2), 则( )

15、xF x若 X N(, 2), 则 P(Xa) = a1a 设 X N(10, 4), 求 P(10X13), P(|X10|2).解: P(10X13) = (1.5)(0)= 0.9332 0.5P(|X10|k = PXk, 则 k = ( ).3课堂练习(1) 设 X N(, 42), Y N(, 52), 记 p1 = PX 4，p2 = PY +5, 则( ) 对任意的 ，都有 p1 = p2 对任意的 ，都有 p1 p2课堂练习(2) 设 X N( , 2), 则随 的增大， 概率 P| X | ( ) 单调增大 单调减少 保持不变 增减不定课堂练习(3)正态分布的 3 原则设

16、X N(, 2), 则 P( | X | ) = 0.6826. P( | X | 2 ) = 0.9545. P( | X | 0 时,| )(|)()(yhyhfyfXY,1)(yyhyyfX1ln21(1ln)yy由此得21,0(1 ln)( )0,Yyyyfy其它解：(对数正态分布)例4 设 X N (, 2)，则 Y = e X 的服从22(ln)1( )exp,0.22yf yyy续题： 设 X N (, 2)，则 Y = X2 的分布密度为0,2)(exp2)(exp2210, 0)(2222yyyyyyfY（两种方法） 例5 设 FX (x) 为X 的分布函数，若FX (x)为严格单调增的连 续函数，则Y = FX (X) U(0, 1).解：, 1)(0)(xFxF函数，是严格单调增加的连续)()(, 101yFxxFyy