§3.8力学量平均值随时间的变化守恒定律

1、在经典力学中，运动体系在每一时刻多个力学量都有确定的值，因为所研究 的是力学量的值随时间的变化（根据哈密顿理论：£二+，F,H，式中F, H口'号,1为泊松括号，F,H = F,H ,H为哈密顿量，如果F不显含时间，且 F ,H =0，则F=C是一个守恒量。找出一个守恒量，往往使研究物体的运动大大简化）然而，在量子力学中，对任何体系，在每一时刻，不是所有力学量都具有确 定的纸，一般说来，只有确定的平均值以及几率分布。因此，研究力学量的值随 是的变化没有意义，仅讨论力学量的平均值及几率分布随时间的变化。、力学量平均值随时间的变化在波函数' （x,t）所描写的态中，力学量

2、F的平均值为:(1)尸二 d - (x,t)* ? (x,t)因为' （x,t）是时间的函数，F也可能显含时间，所以F通常是时间t的函数扑*.:tdt说1由 sch-eg : H 't iU 十)*尸屮G dx Wdx(2)代入（2）式得吧=胖*兰屮dx+舟严水对畑一舟（沁）*?7dt(3) H是厄密算符。代入（3）式得:-河* H?dx ' *(I?H -H F?) dx dt:tiF如果F既不显含时间，则亍0则（4）可简化为(5)如果F既不显含时间，又与H对易，那么就有dFdt=0(6)即F的平均值不随时间变化。我们称满足条件（6）的力学量F为运动恒量，或 者说F在

3、运动中守恒。还可以证明，在这种条件下，力学量 F测量值的几率分布也不随时间改变 证明：（详见曾书77页或曾谨言书168页）二、守恒量凡不显含时间，且其算符与体系的哈密顿算符对易的力学量，称为该体系的守恒量。按上面的分析，守恒量有两个特点：1、在体系任意状态下，平均值不随时间变化2、在体系的任意状态下，几率分布不随时间改变由此可以判断：若在初始时刻，守恒量F具有确定值，贝U以后任何时刻它都具有确定值，即体系将保持在F的同一个本征态。由于守恒量具有此特点，所以 它的量子数称为好量子数。通常总是尽可能选取具有好量子数的力学量来确定体 系的状态，但是，力学量守恒，并不意味着它一定具有确定值，如果初始时

4、刻，A-AF并不具有确定值，即t（r,0）并非F的本征函数，则以后也不会具有确定值，但平均值和几率分布仍不随时间改变。体系的守恒量是否具有确定值，要看初始时刻体系状态的性质而定，这与经典力学中的守恒量有显著之别。守恒量是量子力学中一个极其主要和应用极为广泛的概念，初学者往往把它 与定态概念混淆起来。应当指出，定态是体系的一种特殊状态，而守恒量则是体 系的一种特殊的力学量，它与体系的哈密顿量对易。在定态之下，一切力学量（不 显含时间，但不管是否守恒量）的平均值及概率分布不随时间改变；而力学量只 要是体系的守恒量，则在体系的一切状态下（不管是否定态） ，它的平均值和几 率分布都不随时间改变。由此可

5、知，只有当体系不处于定态，而力学量又非体系 的守恒量，力学量的平均值和几率分布才随时间改变。三、几个重要的守恒量1、能量守恒若体系的哈密顿算符不显含时间：?H =0:t又由于 H,H=OdHdt-0H是守恒量，即能量守恒 2、动量守恒AA p2对于自由粒子，H二匕，因而:2卩dtp,Hp是守恒量，即动量守恒。3、角动量守恒粒子的势函数为U（r）的有心力场中运动时，哈密顿算符的球坐标表示式为（62页 3.2-15 , 65 页 3.3-3）VPGW）善 U（r）由于P,Lx,Ly,Lz,都只与八有关，与r无关，因而这些算符都与势函数U(r)对易。A所以，它们也与H对易，于是：可见，粒子在有心立场

6、中运动时，角动量平分和角动量分量都是守恒量。 这就是量子力学中的角动量守恒定律。4、宇称守恒把一个函数的所有坐标变量改变符号(X-X )的运算称为空间反馈。以 算符p表示这种算符:(i)我们称P为宇称算符。2P '-：(X,t)二 pj (-x,t)二(x,t)丸A即P的本征值是1，因而P的本征值是二1,由此有：pH！(偶宇称)或 P22 (奇宇称) 设体系的H?在空间反馈后保持不变，即:H?（x）=H?（ -x）则H?与宇称算符对易，这是因为对于任意波函数-，我们有pH?(x)'- (x,t)=点(乜)p'- (-x,t) =H?(x) p'(x,t)所以：F

7、? p = p H?这表示宇称是守恒量，这就是量子力学中的宇称守恒定律。上面的讨论很容易推广到多维情况。作业：102 页 3.10，3.11，3.13补充：数学预备知识一一约定求和法一、笛卡儿直角坐标系：由坐标原点与三条不共面的标架直线构成的坐标系称直线坐标系，在直线坐标系中，如果多框架上单位尺度取的不同，称为仿射坐标系；如果单位尺度相同， 则称为笛卡儿坐标系。如果标架直线互相垂直，称为笛卡儿直角坐标系，否则称 为笛卡儿斜角坐标系。通常以xj =1,2,3表示笛卡儿直角坐标系的坐标，以 hH分别表示三个坐 标的单位矢量。二、约定求和法如果在同一项中，某个指标重复出现两次，就表示要对这个指标从1

8、到3求和，例如在AB中，指标i重复出现两次，其含义是：Ai - A1B1 A2B2 A3 B3i称为约定求和指标，约定求和指标在展开式中不再出现，因此也称为“哑指 标”显然哑指标的字母可以更换，因为 ABi与AjBj的含义是相同的。例仁土 .邑.邑ex cx1&2 cx3例2 :写出Aj Bj的展开式在上式中i和j都是哑指标，展开式如下:33'A23B23 ' A31B31 ' A32 B32 ' A33B例3 :写出AjBj的展开式在上式中j是哑指标，i不参加约定求和，i称为自由指标，上式的展开式如下:AjBj 二 A1B1 A2B2 A3B3i =1

9、,2,3全部写出来:A1jBj - A11 B1A|2 B2 ' AI3 B3A2jBj = A21 B1A22B2A23 B3A3 j B j A31 B1A32 B2 ' A33B3三、克罗尼克尔符号例1 ：在笛卡儿直角坐标系中例2:单位矩阵可表示为:1 0 0§11§12 J0 1 05 2122衣 230 0 131云 32冠 33 )1 )=C ij)I =采用约定求和法和克罗尼克尔符号将给我们以后的书写和运算带来很大的方便。2、几个常用的性质和运算1)Ji 二1，22； 332 ）、；im Am 二 Ai3）；lmBmj = Bij4）- i-

10、mj ij四、置换符号（Levi-Civita符号） j ,1、定义：0,当i、j中有两个相同者两jk =4 当 i、j 为 1,23的偶排列i, j,k=l,2,3-1，当i、j为1,2,3的奇排列中："123 = -231 = "312 1；132 = ；321= ；213 = _1其余21个全部为零。2、几个例子：（采用Levi-Civita符号可使书写和运算简化） 1a12a13a21a22a23a31a32a33例1:用置换符号表示三阶行列式的值-a11a22 a33 ' a12 a23a31 ' a13a32 a21 _ a13 a22 a31

11、_ a11a23 a32 _ a33 a12 a21=-ijka1ia2ja3k = "ijk ai13j23k3 i , j , k 1,2,3例2 :用置换符号表示A B借用例1的结果：hi2 i3A汉B = AA2ABiB2 B3则：（A B» = ；jkAjBk如：(r p)i 二ijk rj Pk = yPz -i1i;tX1cX2泳3U1U2U3ZPy才2卩3-3卩2ijk（辿）iiXjC u）iijk（旦）:xj3.ijk的关系Mj'1k、：2kPTPjqir »kq；ijk ；pqr 二；ijk ；iqr 二 Jq ' krb）若

12、i = p , j =q,则有:Ijk ；ijr= ：jj'k 一 ' j ' kj = 3-；kr 一 '*r =2kc）若 i = p , j =q, k = r,贝U有:耶 ijk =2、；kk =6例 1 ：求 A （B C）解：A (B C)二 A(B C)i =A(；jkBjCQ 二；jkABjCk 例2 :证明:A (B C) =(A C)B -(A B)C证明：A (B C)i = ijk Aj (B C)k = ；ijk Aj ；kmn BmCn = ；ijk ;kmn Aj BmCn二；kijkmn Aj BmC n 二 C im - jn

13、-、in “ jm ) Aj BmCn = Ai BiCn - Am BmCi=(A C)Bi -(A B)G 二(A C)Bi -(A B)Ci所以：A (B C) =(A C)B -(A B)C例3:求证：A (B C)=B(C A)=C (A B)证明：A (B C)二 A (B C)i 二 A =jk BjC(j不动，先对ki取和)：-Bj 耶 ACk = Bj (-耶 ACk)=-Bj(A C)j = -B (A C) = B (C A)(若k不动，先对i, j取和)则有：A (B C) = A (B C) i = A ； jk Bj Ck-Ck ;ijkAiBj - Ck ；kijABj = Ck(A B) k - C (A B)例4:求证：C v» =