33 二维连续型随机变量及其概率密度

1、1vrc .),(YX),(yxf),(YX),(YXxoy),(yxf xydvduvufyxF),(),(),(YX2按定义，按定义，概率密度概率密度具有以下性质具有以下性质 Gxoy),(YXGGdxdyyxfGYXP),(),(),(yxf),(yx2( , )( , )F x yf x yx y ( , )0f x y n (1)1),(),( Fdxdyyxf3由性质（由性质（4 4）和（）和（1.11.1），如图），如图3-33-3，在，在 的连续点处有的连续点处有),(yxfyxyyYyxxXxPyx,lim00),(),(),(),(1lim00yxFyyxFyxxFyyxx

2、Fyxyx),(),(2yxfyxyxF4这表示若这表示若 在点在点 连续，则当连续，则当 很小时很小时, ,即即 落在小长方形落在小长方形 内的概率近似内的概率近似地等于地等于),(yxf),(yxyx ,yxyxfyyYyxxXxP),(,(, )X Y,(,(yyyxxxyxyxf),(),(yxfz xoy),(GYXPG( , )zf x y5例例 1 1 若二维随机变量若二维随机变量 具有概率密度具有概率密度 ),(YX1,( , )0,DSf x y,),(其它Dyx 其中其中 为区域为区域 的面积，则称的面积，则称 服从服从 区域上的均匀分布特别地，设区域上的均匀分布特别地，设

3、 在以圆在以圆点为中心、点为中心、 为半径的圆域为半径的圆域 上服从均匀分上服从均匀分布，求二维联合概率密度布，求二维联合概率密度. .DSD),(YXD),(YXrR解：解：6解解222ryxcyxf),(222ryx0),(yxfc12rcdxdyccdxdyRR21rc., 0,1),(2222其它时当ryxryxf7例例2 2 设二维随机变量设二维随机变量 具有概率密度具有概率密度 (1)(1)求分布函数求分布函数(2)(2)求概率求概率. .),(YX(2)2,0,0( , ),0,x yexyf x y其它解：解：8解解),(YX),(GYXXYGxoyxy 2()01(, )(

4、, )23xyyGP YXPX YGf x y dxdydyedx( , )( , )yxF x yf x y dxdy (2)00.2,0,0,0,yxx yedxdy xy 其它2(1)(1),0,0( , ),0,xyeexyF x y其它9 例例3 3 二维随机变量二维随机变量 的联合密度为的联合密度为 求求 (1)(1)系数系数 ; ; (2) (2)随机变量随机变量 落在圆落在圆 内的概率内的概率 ),(YX.0),(),(22222222时当时当，RyxRyxyxRcyxfc),(YX222ayx(0)aR解：解：10解解 1),(dxdyyxf22222()1xyRcRxydx

5、dy200()1RcdRr rdr133Rc33Rc223200332()(1)3aaadRr rdrRRR极坐标）2222222233()xyaP xyaRxydxdyR11( , )( , )xyf x yf u v dvdu yX xXdudvvufxFxF),(),()(X( )( )( , )XXdfxFxf x y dydxY( )(, )( , )yYFyFydyf x y dxY( )( )( , )YYdfxFyf x y dxdy12例例4 4 设二维随机变量设二维随机变量 在以圆点为中心、在以圆点为中心、 为半为半径的圆域径的圆域 上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求 及

6、及 的边缘概率的边缘概率密度密度. .),(YXrRXY解：解：13., 0,1),(2222其它时当ryxryxfX其它当, 0,21)(22222222rxrxrdyrxfxrxrX其它当, 0,21)(2222y2222ryryrdxryfyryrY),(YX14例例5 5 设二维随机变量设二维随机变量 的概率密度函数为的概率密度函数为 求边缘概率密度求边缘概率密度. .),(YX4.8 (2),01,0( , ),0,yxxyxf x y其它解：解：15解解 对任意对任意10 x10 xxxXxxdyxydyyxfxf020)2(4 . 2)2(8 . 4),()(0 x 1x xXd

7、yxf000)(10 y其它, 010),2(4 . 2)(2xxxxfX22.4 (34),01( ).0,Yyyyyfy其它121)43(4 . 2)2(8 . 4),()(yyYyyydxxydxyxfyf16其中其中 ，其中，其中 都是常数，都是常数，且且 . .我们称我们称 为服从参数为服从参数为为 的二维正态分布（这五个参数的意的二维正态分布（这五个参数的意义将在下一章说明），记为义将在下一章说明），记为 试求二维正态随机变量的边缘概率密度试求二维正态随机变量的边缘概率密度. .),(YX),()()(2)()1 (21exp121),(2222212121212221yxyyxx

8、yxf)()(expxfexf,212111, 0, 021),(YX,2121221212(, )(,).X YN 例例6 6 设二维随机变量设二维随机变量 的联合概率密度为的联合概率密度为解：解：17解解 22221122221122()()()()(1)2xxyy 2112221212)()()()1 (xyxdyyyxx2222212121212221)()(2)()1 (21exp121dyxyx21122212122221)()()1 ()1 (21exp121( )( , )Xfxf x y dy222221212121)()(2)(yyxx18dyxyx211222212122

9、1)1 (21exp2)(exp121dyxyx2112222121221)1 (21exp2)(exp12111222)()(11xytyx2211dydt222112211()()222111122xxteedtex22222)(221)(xYeyfy19 我们看到二维正态分布的两个边缘分布都是我们看到二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参数一维正态分布，并且都不依赖于参数 ，亦即对，亦即对于给定的于给定的 不同的对应不同的二维正态分不同的对应不同的二维正态分布，它们的边缘分布却都是一样的布，它们的边缘分布却都是一样的. .这一事实表明，这一事实表明，仅由关于仅由关于

10、 和关于和关于 的边缘分布，一般来说是不的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量能确定随机变量 和和 的联合分布的的联合分布的. .,2121XYXY20),(YX),(YX),(yxfyY XY, 0 yYP),(YX0jjyYPpYjyXix, 2 , 1,iyYxXPjijijjjijippyYPyYxXPyYxXP)(),(1,2,i ，21这就启发我们，对于二维连续型分布，规定在条这就启发我们，对于二维连续型分布，规定在条件件 下下 的的条件分布条件分布为如下连续型分布：为如下连续型分布：yY X),(YX),(yxf),(YXY)(yfYy( )0Yfy )(),(yfyxfYyY

11、X( , )()( )X YYf x yfx yfydxyfyxfdxyxfxYxYX)(),()(yY X22记为记为 或或yYxXP)(yxFYX( , )()( )xX YYf x yFx yP XxYydxfy( , )()0( )X YYf x yfx yfy( , )1()( , )1( )( )X YYYf x yfx y dxdxf x y dxfyfy23 类似地，规定在条件类似地，规定在条件 下下 的条件分布的条件分布为一个连续型分布，它的概率密度函数和分布为一个连续型分布，它的概率密度函数和分布函数分别为函数分别为 xX Y( , )()( )yY XXf x yFy x

12、dyfx)(xfX),(YXX( , )()( )Y XXf x yfy xfx(3.6)24例例 7 7 随机变量随机变量 在矩形域在矩形域 服从均匀分布，求服从均匀分布，求 及及 的条件概率密度的条件概率密度. .),(YXdycbxa,XY解：解：25解解 按题意按题意 具有联合概率密度具有联合概率密度),(YX1,()()( , )0,axb cydba dcf x y其它)(dycyyY X1,( , )()( )0,.X YYaxbf x yfx yabfyxaxb或)(bxaxxX Y1,( , )()( )0,Y XXcydf x yfy xcdfxycyd或,X Y26例例8

13、 8 设二维随机变量设二维随机变量 在以圆点为中心、在以圆点为中心、 为半为半径的圆域径的圆域 上服从均匀分布，分别求关于上服从均匀分布，分别求关于 及及 的条件概率密度的条件概率密度. .),(YXrRXY解：解：27解解 我们有当我们有当 时：时： ， 当当 时：时： . . 其中其中c c为常数为常数. . 222ryxcyxf),(222ryx( , )0f x y X2222222212,( )0,rxrxXrxdyxrfxrrxr22222221,( , )0,.xyrxyrrf x y当当28同理得同理得 的边缘概率密度为的边缘概率密度为Y2222222221,( )0,ryry

14、Yrydxyrfyrryr当当X( , )()( )X YYf x yfx yfy222222, 0,21yrxyrxyr当当Y( , )()( )Y XXf x yfy xfx222222, 0,21xryxryxr当当yY XxX Y29),(yxF)(xFX)(yFY),(YXyx,yYPxXPyYxXP( , )( )( )XYF x yFx Fyxy( , )( )( )XYf x yfx fy30例例9 9 设二维随机变量设二维随机变量 在在 上服从均匀上服从均匀分布，问分布，问 与与 是否相互独立？是否相互独立？),(YX222ryxXY),(YX(2)2,00( , )0,x

15、yexyf x y其它、解：解：解：解：31解解 易求得易求得 具有概率密度：具有概率密度： ),(YX, 0,1),(2222222ryxryxryxf当当., 0,21)(22222222ryryryrdxryfyryrY当当Y事实上事实上, ,如如 服从区域服从区域 上的均匀分布，则只有上的均匀分布，则只有当当 为矩形区域：为矩形区域： 时，时， 与与 分别服从分别服从 上的均匀分布，且上的均匀分布，且 与与 独立，反之亦然独立，反之亦然. .),(YXDDdycbxa,XY,dcbaXYrxrxrxrdyrxfxrxrX当当, 0,21)(22222222X)()(),(yfxfyxf

16、YXXY32解解 (2)202,0( )( , )0,0 x yxXedyexfxf x y dyx(2)2022,0( )( , )0,0 x yyYedxeyfyf x y dxy)()(),(yfxfyxfYXXY33例例11 11 二维正态随机变量二维正态随机变量 的概率密度为的概率密度为 求证求证 相互独立等价于相互独立等价于 . .),(YX),(,121),(2222212121212)()(2)()1 (21221yxeyxfyyxxXY、0解：解：34证证 仅仅证证明明二二维维正正态态分分布布的的特特殊殊情情形形 ，它它 的的概概率率密密度度为为), 1 , 1 , 0 ,

17、0(N2221(2)2(1)21( )( , )21xx y yXfxf x y dyedy222()22(1)2121xyxeedy),.(121),()2()1 (212222yxeyxfyxyx0),(YX221()21( , ).(,)2xyf x yexy 35作代换作代换 便得关于便得关于 的边缘概率密度为的边缘概率密度为,12xyvX)(212)(222222xedveexfxvxXX).1 , 0(NY221( )()2yYfyey Y).1 , 0(N36因此，如果因此，如果 ，则对于所有的，则对于所有的 有有 ，因而随机变量，因而随机变量 和和 是相互是相互独立的独立的.

18、.0yx,XY( , )( )( )XYf x yfx fyYX( , ),( ),( )XYf x yfxfyyx,( , )( )( )XYf x yfx fy0, 0yx2112210222221(2)2(1)2221112221xyxx y yeee37二维正态随机变量二维正态随机变量 ， 和和 相互独立充分必要条相互独立充分必要条件为件为 . .),(YXXY0XY、( )( )( , )()( )( )( )XYX YXYYfx fyf x yfx yfxfyfy( )( )( , )()( )( )( )XYY XYXXfx fyf x yfy xfyfxfx38nnnxxx,21121122( ,),nnnF x xxP Xx XxXxnn),(21nXXX39若存在非负函数若存在非负函数 使对于任意实数使对于任意实数 有有),(21nxxxfnxxx,21nxxxnnxddxd