高等数学1极限与连续第7-9节函数极限

1、第七节第七节 两个重要极限两个重要极限第二章第二章 极限与连续极限与连续的的极极限限时时函函数数当当一一、)( 0 xfxx AxfxxAxfxx)( ,0 0 0)(lim 100有有时时当当，、 AxfxxAxfxx)( ,0 0 0)(lim 200有有时时当当，、 AxfxxAxfxx)( ,0 0 0)(lim 300有有时时当当，、 4 左右极限与极限的关系左右极限与极限的关系、AxfxfAxfxxxxxx )(lim)(lim)(lim 000.)(lim )(lim )(lim 000不不存存在在则则且且，若若推推论论：xfBABxfAxfxxxxxx 函函数数极极限限的的性性

2、质质二二、 唯一性、唯一性、局局部部有有界界性性、.保保号号性性无穷小与无穷大无穷小与无穷大三、三、 .)( 0)(lim 1为为无无穷穷小小则则称称函函数数，设设无无穷穷小小：、xfxf 无穷小的性质无穷小的性质、 2. )1(为为无无穷穷小小无无穷穷小小乘乘有有界界函函数数仍仍. 限限的的一一种种方方法法该该性性质质给给出出了了求求函函数数极极说说明明：. 0)(lim )()()(lim )2( xxAxfAxf 其其中中，无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系、 3. 0)(1lim )(lim)2( xfxf则则，设设.)(1lim 0)( 0)(lim)1( xfxfxf则则，且

3、且，设设 函数极限的运算法则函数极限的运算法则四、四、).(lim)(lim)()(lim 1xgxfxgxf ：定定理理则则都存在，都存在，设设 )(lim )(limxgxf).(lim)(lim)()(lim 2xgxfxgxf ：定定理理)(lim)(1)lim xfCxCf 推论推论 Zmxfxfmm )(lim)(2)lim，).0)(lim( )(lim)(lim)()(lim 3 xgxgxfxgxf：定定理理个个情情形形；以以上上运运算算可可推推广广到到有有限限说说明明： )1(. )2(限存在限存在以上运算使用时必须极以上运算使用时必须极则则，设设：定定理理 )()(lim

4、 )(lim 40000ufufuxuuxx ).()(lim00ufxfxx ).(lim)(lim (1) 00 xfxfxxxx 说说明明：，令令)(lim)(lim (2)00)(ufxfuuxuxx ).(lim00 xuxx 其其中中 mmmnnnxbxbxbaxaxa1010lim 结结论论：; 00时时当当，mnba 时时；当当，mn 0. 时时当当，mn 两两个个重重要要极极限限五五、.)(lim )()()()(lim)(lim 1000AxgxhxgxfAxhxfxxxxxx 则则，且且，设设夹夹逼逼准准则则：、两个重要极限两个重要极限、 21sinlim (1)0 xx

5、xaxaxx sinlim:0小结小结 .1lim10exxx ，exxx 11lim，ennn 11lim )2(重要极限重要极限、 21sinlim (1)0 xxx .21lim 110 xxx 求求、例例 )2(210)2(1lim xxx原原式式解解： 2210)2(1lim xxx.122 ee2210)2(11lim xxxaxxeax 10)1(lim 小小结结：axxexa )1(lim.11lim 2xxxx 、例例exxx 11lim1221121 lim xxx原原式式解解：)121()121(221lim xxxx221ee xxxx 1111 lim原原式式或或1)

6、1(111lim xxxxx1 ee.2e 1221121 lim xxx原原式式解解：)121()121(221lim xxxx221ee 1221121lim xxxxx原原式式1221)121(lim xxxxx12 xxe2e 再看以下解法再看以下解法)121ln(12lim21 xxxxxe可以吗？可以吗？2ln2eee .11lim 2xxxx 、例例exxx 11limxexx1lim 30 求求、例例，令令解解：tex 1 ，则则)1ln(tx 0 0tx时时，且且)1ln(lim0ttt 原原式式ttt10)1ln(1lim eln1 1 axaxxln1lim 0 有有同理

7、，同理，ennn 11lim.ln)3ln(lim 4nnnn 求求、例例)31ln(lim nnn 原原式式解解：331ln3limnnn eln3 . 3 .sinsinlim 50 xxxxx 求求、例例xxxxxsin1sin1lim 0 原原式式解解：1111 . 0 .sinsinlim 6xxxxx 求求、例例xxxxxsin1sin1lim 原原式式解解：0101 . 1 第八节第八节 无穷小的比较无穷小的比较第二章第二章 极限与连续极限与连续xxx20limxxxsinlim0.sin 2 ,02都是无穷小都是无穷小，与与时时当当xxxxx 极限不同极限不同, 反反映了趋向于

8、零映了趋向于零的的“快慢快慢”程程度不同度不同.;2要要快快得得多多比比xx.sin基本相同基本相同与与xx, 0 , 1 观察各极限观察各极限xxx2lim0, 2 ;2相差不大相差不大与与xx无穷小比较无穷小比较一、一、 0lim 0lim ，设设 0lim 1为为高高阶阶无无穷穷小小，比比则则称称，若若高高阶阶无无穷穷小小：、 . )0(lim 2为为同同阶阶无无穷穷小小与与则则称称，若若同同阶阶无无穷穷小小：、 C. 1lim 3为为等等价价无无穷穷小小与与则则称称，若若等等价价无无穷穷小小：、 ).( o 记记为为)0(sin xxx例例如如，. 记记为为)0)( 2 xxox例例如

9、如，等等价价无无穷穷小小性性质质：、 4.limlim 则则存存在在，且且，设设 lim )1()lim(lim ，证证： 1lim 1lim ， limlimlim11lim1 .lim . 以以简简化化极极限限的的计计算算替替换换，通通常常可可用用等等价价无无穷穷小小来来无无穷穷小小商商的的极极限限时时，上上述述性性质质给给出出了了求求两两个个说说明明：)2sin(tanlim 120 xxxx求求、例例2202lim xxx 原式原式解：解：.21 等等价价无无穷穷小小性性质质：、 4.limlim 则则存存在在，且且，设设 lim )1(. 以以简简化化极极限限的的计计算算替替换换，通

10、通常常可可用用等等价价无无穷穷小小来来无无穷穷小小商商的的极极限限时时，上上述述性性质质给给出出了了求求两两个个说说明明：)2sin(tanlim 120 xxxx求求、例例2202lim xxx 原式原式解：解：.21 . )1(加加项项不不能能替替代代分分母母中中的的因因子子可可替替代代但但通通常常分分子子、或或分分母母替替换换，要要求求整整个个分分子子限限时时，用用等等价价无无穷穷小小替替换换求求极极：注注. 0limsinlim 3030 xxxxxxxx例例、3303061limsinlim xxxxxxx 事实上，事实上，.61 等等价价无无穷穷小小性性质质：、 4.limlim

11、则则存存在在，且且，设设 lim )1(. )1(加加项项不不能能替替代代分分母母中中的的因因子子可可替替代代但但通通常常分分子子、或或分分母母替替换换，要要求求整整个个分分子子限限时时，用用等等价价无无穷穷小小替替换换求求极极：注注. 0 )2(小小有如下常见的等价无穷有如下常见的等价无穷时，时，当当：注注x，xx sin)1(，xx tan)2(，xx arcsin)4(，xx arctan)5(，xex1)6( ，xx )1ln()7( ，221cos1 )3(xx xx 1)1)(8( xnxn111 特别，特别， 等等价价无无穷穷小小性性质质：、 4.limlim 则则存存在在，且且

12、，设设 lim )1( 0lim )2(， ).( o 即即，设设”“证：证： ，则则1lim ，1lim 0lim ，设设”“ )1lim(lim 则则，110 . 故故. 即即进进行行数数量量级级的的比比较较的的比比较较，还还需需要要对对无无穷穷小小更更精精确确有有时时只只是是定定性性的的比比较较，上上述述对对无无穷穷小小进进行行比比较较说说明明：)1lim(lim ，011 ).( o 即即，1lim 无穷小的阶无穷小的阶二、二、 ，若若为无穷小，为无穷小，、设设定义：定义：)0 0(lim kCCk .阶阶无无穷穷小小的的是是则则称称k .cos1的二阶无穷小的二阶无穷小是是xx ，、

13、例例21cos1lim 120 xxx.21sin阶无穷小阶无穷小的的是是xx，、例例1sinlim 20 xxx. )(1)( )0( 00来找无穷小的阶来找无穷小的阶作为标准，作为标准，、通常选取通常选取说明：说明： xxxxxxxx 无无穷穷小小的的主主部部三三、 为为高高阶阶无无穷穷小小，比比使使，若若存存在在无无穷穷小小为为无无穷穷小小，设设定定义义： ，或或即即)()( oo 无无穷穷小小的的主主部部三三、 为为高高阶阶无无穷穷小小，比比使使，若若存存在在无无穷穷小小为为无无穷穷小小，设设定定义义： ，或或即即)()( oo .的的主主部部是是则则称称 .cos121 0 2的的主

14、主部部是是时时，当当例例如如，xxx . 的等价无穷小的等价无穷小是是的主部的主部说明：说明： 有有时时，当当 0 x，)(sin)1(xoxx ，)(tan)2(xoxx ，)(21cos1 )3(22xoxx ).()1)(8(xoxx ，)(arctan)5(xoxx ，)(1)6(xoxex ，)()1ln()7(xoxx ，)(arcsin)4(xoxx . 0lim )2( ：等等价价无无穷穷小小性性质质.11 1 132为为同同阶阶无无穷穷小小与与时时，当当证证明明：、例例xxx 32111lim xxx 证证：2111limxxxx ，32 .11 1 32为为同同阶阶无无穷穷

15、小小与与时时，当当xxx ?sin1tan1 0 2是是否否为为等等价价无无穷穷小小与与时时，当当、例例xxxx xxxxsin1tan1lim 0 因因为为解解：）（xxxxxxsin1tan1sintanlim0 xxxxxxxsin1tan11)sintan(lim0 212 1 为为等等价价无无穷穷小小与与时时，所所以以当当xxxxsin1tan1 0 第九节第九节 函数的连续性函数的连续性第二章第二章 极限与连续极限与连续函函数数连连续续的的概概念念一一、 ，若若的的定定义义域域，属属于于设设连连续续：、)()(lim )( 1000 xfxfxfxxx 处连续，处连续，在点在点则称

16、则称0)(xxf.)(0的的连连续续点点称称为为xfx.)( )( )( 2000的的间间断断点点称称为为间间断断，处处在在点点则则称称处处不不连连续续，在在点点设设间间断断点点：、xfxxxfxxf.232)( 处处连连续续在在例例如如， xxxf.00 10 1)(处处间间断断在在， xxxxxxf:)( 0个条件个条件处连续必须满足下列三处连续必须满足下列三在点在点函数函数说明：说明：xxf;)()1(0处处有有定定义义在在点点xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 连续的等价定义连续的等价定义、 3.)(0lim )()( )1(00000处

17、处连连续续在在点点则则称称，若若，设设xxfyxfxxfyxxxx . 函数的增量或改变量函数的增量或改变量分别称为自变量、分别称为自变量、，其中其中yx . 0lim)()(lim 000 yxfxfxxx事事实实上上，.)()()( 0 0 )2(000处处连连续续在在点点则则称称，有有时时，当当，xxfxfxfxx .0, 0, 0, 0,1sin)( 1处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数、例例 xxxxxxf)(lim 0 xfx解：解：),0(f .0)(处处连连续续在在函函数数 xxf0 xxx1sinlim0 )()(lim00 xfxfxx .)( 20处处连连续续在在证

18、证明明、例例xxaxfx 00 xxxaay 证：证：.)(0处连续处连续在在故故xxaxfx )1(0 xxaa，得得：例例又又由由 axaaxaPxxxln1 ln1lim 12450. 0lim0 x其中其中，xaax )(ln1 )(lnlimlim000 xaayxxx ，0 .sin)( 30处连续处连续在在证明证明、例例xxxxf 要使要使，证：证： 0 sinsin0 xx2sin2cos200 xxxx 0 xx ，只要只要 0 xx有有时时，则则当当，取取 0 xx0lim0 yx，有有时，时，当当， )()( 0 000 xfxfxx0)1(lim0 xxa.sin)(

19、30处连续处连续在在证明证明、例例xxxxf 要使要使，证：证： 0 sinsin0 xx2sin2cos200 xxxx 0 xx ，只要只要 0 xx有有时时，则则当当，取取 0 xx 0sinsinxx.sin)(0处处连连续续在在故故xxxxf .)( )()(lim 4000处处左左连连续续在在则则称称，设设左左连连续续：、xxfxfxfxx .)( )()(lim 5000处处右右连连续续在在则则称称，设设右右连连续续：、xxfxfxfxx 左左右右连连续续与与连连续续的的关关系系、 6.)()(00处处既既左左连连续续又又右右连连续续在在点点处处连连续续在在点点xxfxxf，有有

20、时，时，当当， )()( 0 000 xfxfxx的的连连续续上上区区间间内内、)( 7.) ()( ) ()()1(内内连连续续，在在开开区区间间则则称称内内任任意意一一点点连连续续，在在开开区区间间设设函函数数baxfbaxf. )( ) ()()2(上连续上连续，在闭区间在闭区间则称则称左连续，左连续，在点在点右连续，右连续，且在点且在点内连续，内连续，在开区间在开区间设函数设函数baxfbabaxf.上上连连续续的的定定义义类类似似可可定定义义其其他他区区间间 I上的连续函数，上的连续函数，为区间为区间这时也称函数这时也称函数Ixf)(.)( )(为为连连续续函函数数则则称称的的定定义

21、义域域，为为若若xfxfI.sin ) (sin 2为为连连续续函函数数即即上上连连续续，在在、例例xxy .cos ) (cos 3为连续函数为连续函数即即上连续，上连续，在在、例例xxy .)1 1(11 12内内连连续续，在在、例例 xy连续函数的运算连续函数的运算二、二、 则则处处连连续续，在在点点和和设设运运算算法法则则：、 )()( 10 xxgxf处处连连续续；在在点点0)()()1(xxgxf 处处连连续续；在在点点0)()()2(xxgxf.)()( 0)()3(00处连续处连续在点在点时，时，当当xxgxfxg 处连续，处连续，在点在点则则处连续，处连续，在对应点在对应点且

22、且处连续，处连续，在点在点设设复合函数的连续：复合函数的连续：、0000)( )()( )( 2xxfyxuufyxxu ，由已知得由已知得证：证：00)()(lim 0uxxxx ，)()(lim00ufufuu )()(lim00ufxfxx ，)(0 xf .)(0处连续处连续在点在点故故xxf . 函数函数以上结论可推广到连续以上结论可推广到连续说明：说明：).()(lim00 xfxfxx 即即处连续，处连续，在点在点则则处连续，处连续，在对应点在对应点且且处连续，处连续，在点在点设设复合函数的连续：复合函数的连续：、0000)( )()( )( 2xxfyxuufyxxu ).()

23、(lim00 xfxfxx 即即)(lim)(lim 00 xfxfxxxx 由上述结论可得：由上述结论可得：. 数数符符号号可可交交换换顺顺序序极极限限运运算算符符号号与与连连续续函函说说明明：xxxxba10)2(lim 1 求求、例例xbabaxxxxxxxba22220)221(lim 原原式式解解：220)221ln(22lim xbxaxxxxxbaxbae)11(lim210 xbxaxxxe )ln(ln21bae ab axaxxln1lim0 .)()( 3上上单单调调且且连连续续在在对对应应区区间间则则其其反反函函数数上上单单调调且且连连续续，在在区区间间设设反反函函数数

24、的的连连续续：、yxIyxIxfy 的的连连续续性性可可得得：、的的连连续续性性及及函函数数反反函函数数复复合合函函数数的的连连续续性性、由由连连续续函函数数的的运运算算、xxaxcos sin .cotarc arctan arccos arcsin sin1csccos1sec sincoscot cossintan logln定定义义域域内内连连续续在在其其、xxxxxxxxxxxxxxexxxa 初等函数的连续性初等函数的连续性、 4.)1(域域内内连连续续基基本本初初等等函函数数在在其其定定义义.)2(内内连连续续初初等等函函数数在在其其定定义义区区间间.123lim 11 xxx求

25、求、例例)23)(1(43lim 1 xxxx原原式式解解：231lim1 xx.41 .113sinlim 20 xxxx求求、例例xxxxx2)113(sinlim 0 原原式式解解：)2113sin(lim0 xxxxx. 111 5 初等函数极限求法：初等函数极限求法：、).()(lim00 xfxfxx 则则 )(为为初初等等函函数数，设设xf 0属于其定义区间内，属于其定义区间内，x间断点分类间断点分类三、三、 . 分界点可能是间断点分界点可能是间断点对于分段函数来说，对于分段函数来说，间断点，间断点，的点为的点为对于初等函数没有定义对于初等函数没有定义由前面讨论可知，由前面讨论可

26、知，. )(00为为间间断断点点则则处处满满足足以以下下条条件件之之一一，在在点点设设xxxf无意义；无意义；)()1(0 xf不存在；不存在；)(lim)2(0 xfxx).()(lim )(lim )()3(0000 xfxfxfxfxxxx 但但存存在在，有有意意义义，. )0( )0( 1000为为第第一一类类间间断断点点称称点点则则都都存存在在，、设设第第一一类类间间断断点点：、xxfxf 为为跳跳跃跃间间断断点点，点点称称时时，当当000 )0()0( )1(xxfxf )( ，函函数数例例如如，xxf ，1)(lim0 xfx，0)(lim0 xfx.)(0的跳跃间断点的跳跃间断点为为xfx . )0( )0( 1000为为第第一一类类间间断断点点称称点点则则都都存存在在，、若若第第一一类类间间断断点点：、xxfxf . )0()0( )1(000为为跳跳跃跃间间断断点点点点称称时时，当当xxfxf 间断点分类间断点分类三、三、 )( ，函函数数例例如如，xxf ，1)(lim0 xfx，0)(lim0 xfx.)(0的跳跃间断点的跳跃间断点为为xfx . )0()0( )2(000为为可可去去间间断断点点点点称称时时，当当xxfxf sin)( ，函函数数例例