浙江省历年高考立体几何大题总汇(题目及答案)

1、浙江省历年高考立体几何大题总汇(题目及答案)-作者xxxx-日期xxxx【精品文档】【精品文档】1.（本题满分15分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直PACABCABCAC角三角形。分别为的中点，。,E F O,PA PB PC16,10ACPAPC（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到,的ABOMFMBOEMOA OB距离。2.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m，（）试确定m，使得直线AP与平面BDB1D1所成角的正切值为；3 2（）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的

2、结论。3. 如图甲，ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点线段AG交线段ED于F点，将AED沿ED翻折，使平面AED平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图乙所示的几何体。 （I）求证BC平面AFG；（II）求二面角BAED的余弦值 x y z 【精品文档】【精品文档】.4在如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，EA DB ACBC，M是AB的中点2ACBCBDAE（1）求证：；CMEM（2）求CM与平面CDE所成的角5. 如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，ABCDBEFCBECF， 90BCFCEF 3AD 2EF （）求证：平面

3、；AEDCF（）当的长为何值时，二面角的大小为？ABAEFC60EMACBDDABEFC（第18题）【精品文档】【精品文档】6. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=沿. 432FD直线EF将翻折成使平面平面BEF.AEF,EFAEFA （I）求二面角的余弦值；CFDA （II）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与重合，求线段FM的长. A7. 如图，在三棱锥P-ABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC8，PO4，AO3，OD2（）证明：APBC；（）在线段AP上是否存在点M

4、，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。8. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为的菱形，2 3BAD=120，且PA平面ABCD，PA=, M，N分别为PB,PD的中点。2 6【精品文档】【精品文档】（1）证明：MN平面ABCD；（2）过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值。9. 如图，在四面体中，平面，ABCDAD BCD，是的中点，是的中BCCD2AD 2 2BD MADPBM点，点在线段上，且 QAC3AQQC（）证明：平面；/ /PQBCD（）若二面角的大小为，求的大小CBMD60BDC 【精品文档】【精品文档

5、】10. 如图，在五面体中，已知平面，ABCDEFDE ABCD/ /ADBC，o60BAD2AB 1DEEF（1）求证：；/ /BCEF（2）求三棱锥的体积BDEF11. 如图，在直三棱柱中，已知，111ABCABC1CACB12AA o90BCA（1）求异面直线与夹角的余弦值；1BA1CB（2）求二面角平面角的余弦值1BABC（第16题图）FACDEB（第22题图）ABCA1B1C1【精品文档】【精品文档】12(本小题14分)在等腰梯形中，是ABCD/ /ADBC12ADBC60ABCN的中点将梯形绕旋转，得到梯形（如图）BCABCDAB90ABC D （1）求证：平面； ACABC（2）

6、求证：平面；/ /C NADD（3）求二面角的余弦值AC NC13. （本题满分14分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD/BC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=123（I）求证：平面PQB平面PAD； （II）若二面角M-BQ-C为30，设PM=tMC，试确定t的值14如图，直角梯形ABCD中，AB/CD， = 90 , BC BCD= CD = ,AD = BD：EC丄底面ABCD, FD丄底面ABCD 且有EC=FD=2.2( I )求证：AD丄BF :(II )若线段ECEC上一点M

7、 M在平面BDFBDF上的射影恰好是BF的中点N,试求二面角 B-MF-B-MF-ACDBNDCPABCDQM【精品文档】【精品文档】C C的余弦值. 则0,0,0 , (0, 8,0), (8,0,0),(0,8,0),OABC，由题意得，因(0,0,6),(0, 4,3),PE4,0,3F0,4,0 ,G，因此平面BOE的法向量为(8,0,0),(0, 4,3)OBOE ，得，又直线不在平(0,3,4)n ( 4,4, 3FG 0n FG FG面内，因此有平面BOE/ /FGBOE2. 解法：（）,ACACBDO连设1.APBGOG1与面BD D交于点，连1111/,PCBDD BBDD

8、BAPCOG因为面面面故。所以。/OGPC122mOGPC又.111,AODB AOBBAOBDD B所以面故11AGOAPBDD B即为与面所成的角。在，即.Rt22tan3 22AOGAGOm中，13m 故当时，直线。13m AP11与平面BD DB所成的角的正切值为2（）依题意，要在上找一点，使得.11A CQ1D QAP可推测的中点即为所求的点。11A C1OQ x y z 【精品文档】【精品文档】因为，所以1111.D OA C111D OAA111.D QACC A 面又,故。11.APACC A 面11D OAP从而111D OAD PAP在平面上的射影与垂直。解法二：（）建立如

9、图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以1( 1, 1,0),(0,0,1),BDBB ( 1,1,),( 1,1,0).APm AC 又由的一个法向量.110,0AC BDAC BBACD D 1知为平面BB设与所成的角为，AP11BDD B面则2|2sincos()2| |22AP ACAPACm 依题意有：，解得.2223 2221 (3 2)m13m 故当时，直线。13m AP11与平面BD DB所成的角的正切值为2（）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，11A CQ

10、x则。1( ,1,1),( ,1,0)Q xxDQxx 依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等价于11AP10(1)02DQAP D Qxxx 即为的中点时，满足题设的要求.Q11A C3. () 在图甲中，由ABC是等边三角形，E，D分别为AB，AC的三等分点，点G为BC边的中点，易知DEAF，DEGF，DE/BC 2分【精品文档】【精品文档】在图乙中，因为DEAF，DEGF，AFFG=F，所以DE平面AFG又DE/BC，所以BC平面AFG 4分() 因为平面AED平面BCDE，平面AED平面BCDE=DE，DEAF，DEGF，所以FA，FD，FG两两垂直以点F为坐

11、标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为轴，建立如zyx,图所示的空间直角坐标系则，xyzF )32 , 0 , 0(A)0 , 3, 3(B，所以，0)0 , 2, 0( E)32, 3, 3(AB, 1 , 3(BE 6分设平面ABE的一个法向量为),(zyxn 则，即，00BEnABn0303233yxzyx取，则，则 8分1x3y1z) 1, 3, 1 (n显然为平面ADE的一个法向量，)0 , 0 , 1 (m所以10分55|,cosnmnmnm二面角为钝角，所以二面角的余弦值为12DAEBDAEB55分4. 方法一：（1）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，所以CMAB又EA

12、平面ABC，所以CMEM（2）解：过点M作MH平面CDE，垂足是H，连结CH并延长交ED于点F，连结MF、MD，FCM是直线CM和平面CDE所成的角【精品文档】【精品文档】因为MH平面CDE，所以MHED， 又因为CM平面EDM，所以CMED， 则ED平面CMF，因此EDMF设EAa，BDBCAC2a，在直角梯形ABDE中，AB2a，M是AB的中点，2所以DE3a，EM，MD a，3a6得EMD是直角三角形，其中EMD90所以MF2EM MDaDE在RtCMF中，tanFCM=1，所以FCM=45，M FM C故CM与平面CDE所成的角是45方法二：如图，以点C为坐标原点，以CA，CB分别作为

13、x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C-xyz，设EA=a，则A（2a，0，0）， B（0，2a，0）， C（2 a，0，a），A（0，2 a，2 a）， A（a，a，0）.（1）证明：因为=（-a，a，-a），=（a，a，0），EM C M所以=0，EM C M故.EMC M（2）解：设向量n=（1，）与平面CDE垂直，oy0 x则，nC EnC D即 =0，=0.n C En C D因为=（2a,0,a）, =(0,2a,2a),EC C D所以y =2，z =-2，00即n=（1，2，-2），【精品文档】【精品文档】，2cos,2C M nn C MM n直线

14、CM与平面CDE所称的角是45.5. 方法一：（）证明：过点作交于，连结，EEGCFCFGDG可得四边形为矩形，BCGE又为矩形，ABCD所以，从而四边形为平行四边形，ADEG ADGE故AEDG因为平面，平面，AE DCFDG DCF所以平面AEDCF（）解：过点作交的延长线于，连结BBHEFFEHAH由平面平面，得ABCD BEFCABBC平面，AB BEFC从而AHEF所以为二面角的平面角AHBAEFC在中，因为，所以，RtEFG3EGAD2EF 60CFE1FG 又因为，所以，CEEF4CF 从而3BECG于是3 3sin2BHBEBEH因为，tanABBHAHB所以当为时，二面角的大

15、小为AB92AEFC60方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，CCBCF，CDxyz建立空间直角坐标系Cxyz设，ABaBEbCFc，则，(0 0 0)C，( 3 0)Aa，( 3 0 0)B，( 30)Eb，(00)Fc，DABEFCHGDABEFCyzx【精品文档】【精品文档】（）证明：，(0)AEba ，( 3 0 0)CB ，(00)BEb ，所以，从而，0CB CE 0CB BE CBAECBBE所以平面CB ABE因为平面，CB DCF所以平面平面ABEDCF故平面AEDCF（）解：因为，(30)EFcb ，( 30)CEb ，所以，从而0EF CE | 2EF 2

16、3()03()2b cbcb ，解得34bc，所以，( 33 0)E，(0 4 0)F，设与平面垂直，(1)nyz ，AEF则，0n AE 0n EF 解得3 3(13)na ，又因为平面，BA BEFC(0 0)BAa ，所以，2|3 31|cos|2| |427BA nan BABAnaa ，得到92a 所以当为时，二面角的大小为AB92AEFC606. 方法一： （）解：取线段EF的中点H，连结A H因为及H是EF的中点，A EA F【精品文档】【精品文档】所以A HEF又因为平面平面BEF，及平面A EFA H.A EF所以平面BEF。A H如图建立空间直角坐标系.Axyz则(2,2,

17、2 2),(10,8,0),(4,0,0),(10,0,0).ACFD故( 2,2,2 2),(6,0,0)FNFD 设为平面的一个法向量( , , )nx y zA FD所以222 2060 xyzx取2,(0, 2,2)zn则又平面BEF的一个法向量(0,0,1)m 故3cos,3| |n mn mnm 所以二面角的余弦值为3.3 （）解：设(4,0,0)FMxMx则因为翻折后，C与A重合，所以CM=A M故，222222(6)80( 2)2(2 2)xx 得214x 经检验，此时点N在线段BG上所以21.4FM 方法二： （）解：取截段EF的中点H，AF的中点G，连结，NH，GHA G因

18、为及H是EF的中点，A EA F【精品文档】【精品文档】所以H/EF。A又因为平面EF平面BEF，A所以H平面BEF，A又平面BEF，AF 故，A HAF又因为G，H是AF，EF的中点，易知GH/AB，所以GH，AF于是面GHAF A所以为二面角DFC的平面角，A GHA在中，Rt A GH2 2,2,2 3A HGHA G所以3cos.3A GH故二面角DFC的余弦值为。A33 （）解：设，FMx因为翻折后，G与重合，A所以，CMA M而222228(6)CMDCDMx222222222(2 2)(2)2A MA HMHA HMGGHx得214x 经检验，此时点N在线段BC上，所以21.4F

19、M 7. 解：（）证： ABAC，D为BC的中点，BCAD PO平面ABC POBC，而POAD=OBC平面ADP APBC【精品文档】【精品文档】（）当CMAP时，二面角A-MC-B为直二面角，2 5OBOC6PBPC41ABAC5AP AM平面MBC平面AMC平PABPACAMCAMBAMMB 面MBC2541 363cos2 54141PAB 3cos41341AMPAB AB方法二：8. （）因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以MNPBPDMNPBD / /MMBD 又因为平面，所以MN ABCD【精品文档】【精品文档】 平面/ /MMABCD（）方法一： 连结交于，以为原点，所

20、在直线为，轴，建立空间直角ACBDOOOCODxy坐标系，如图所示Oxyz 在菱形中，得ABCD120BAD ，2 3ACAB36BDAB 又因为平面，所以PA ABCD PAAC 在直角中，得PAC2 3AC 2 6PA AQPC ，2QC 4PQ 由此知各点坐标如下， ，(3 , 0, 0)A (0,3, 0)B ，( 3 , 0, 0)C(0,3, 0)D ，(3 , 0, 2 6)P 33(,6)22M ，33(,6)22N 32 6(, 0,)33Q 设为平面的法向量( , )x y zmAMN 由，知33(,6)22AM 33(,6)22AN 336022336022xyzxyz

21、取，得1x (2 2 , 0,1)m 设为平面的法向量( , )x y znQMN【精品文档】【精品文档】 由，知5 336(,)623QM 5 336(,)623QN 5 33606235 3360623xyzxyz 取，得5z (2 2 , 0,5)n 于是 33cos,| |33m nm nmn| 所以二面角的平面角的余弦值为AMNQ3333 方法二： 在菱形中，得ABCD120BAD ，ACABBCDA3BDAB 有因为平面，所以PA ABCD ，PAABPAACPAAD 所以PBPCPD 所以PBCPDC 而，分别是，的中点，所以MNPBPD ，且MQNQ1122AMPBPDAN 取

22、线段的中点，连结，则MNEAEEQ ，AEMNQEMN 所以为二面角的平面角AEQAMNQ 由，故2 3AB 2 6PA 在中，得AMN3AMAN132MNBD 3 32AE 【精品文档】【精品文档】 在直角中，得PACAQPC ，2 2AQ 2QG 4PQ 在中，得PBC2225cos26PBPCBCBPCPB PC 222cos5MQPMPQPM PQBPC 在等腰中，得MQN5MQNQ3MN 22112QEMQME 在中，得AEQ3 32AE 112QE 2 2AQ 22233cos233AEQEAQAEQAE QE 所以二面角的平面角的余弦值为AMNQ33339. 方法一：（）取中点，

23、在线段上取点，使得，连结，BDOCDF3DFFCOPOFFQ 因为，所以，且3AQQC/ /QFAD14QFAD 因为，分别为，的中点，所以是的中位线，OPBDSMOPBDM所以，且/ /OPDM12OPDM又点是的中点，所以，且MAD/ /OPAD14OPAD从而，且/ /OPFQOPFQ所以四边形为平行四边形，故OPQF/ /FQQF又平面，平面，所以平面PQ BCDOF BCD/ /PQBCD（）作于点，作于点，连结CGBDGGHBMHCH 因为平面，平面，所以，AD BCDCG BCDADCG【精品文档】【精品文档】 又，故平面，CGBDADBDDCG ABD又平面，所以BM ABDC

24、GBM 又，故平面，所以，GHBMCGGHGBM CGHGHBMCHBM 所以为二面角的平面角，即CHGCBMD60CHG 设BDC 在中，Rt BCDcos2 2cosCDBD ，cos2 2cos sinCGCD 2sin2 2sinBGBC 在中，Rt BDM22 3sin3BG DMHGBM 在中，Rt CHG3costan3sinCGCHGHG 所以tan3 从而，即6060BDC方法二：（）如图，取中点，以为原点，BDOOODOP所在射线为，轴的正半轴，建立空间直角坐标系yzOxyz 由题意知，(02 2)A，(02 0)B，(02 0)D， 设点的坐标为，因为，所以C00(0)x

25、y，3AQQC003231()4442Qxy， 因为是的中点，故又是的中点，故MAD(02 1)M，PBM1(0 0)2P， 所以00323(0)444PQxy ， 又平面的一个法向量为，故BCD(0 0 1)a ，0PQ a 又平面，所以平面PQ BCD/ /PQBCD（）设为平面的一个法向量()mx y z，BMC【精品文档】【精品文档】由，知00(21)CMxy ，(0 2 2 1)BM ，00( 2)02 20 x xyyzyz取，得1y 002(1 2 2)ymx，又平面的一个法向量为，于是BDM(1 0 0)n ， ，002002|1|cos|=2|29yxm nm nm nyx

26、，即 （1）20023yx又，所以，故BCCD0CB CD ，0000(20) (20)0 xyxy ，即 （2）22002xy联立（1），（2），解得（舍去）或0002xy 006222xy 所以00tan32xBDCy又是锐角，所以BDC60BDC10（1）因为，平面，平面， / /ADBCAD ADEFBC ADEF所以平面， 3分/ /BCADEF又平面，平面平面，BC BCEFBCEF ADEFEF所以 6分/ /BCEF（2）在平面内作于点，ABCDBHADH 因为平面，平面，所以，DE ABCDBH ABCDDEBH 又，平面，ADDE ADEFADDED所以平面，BH ADEF

27、所以是三棱锥的高 9分BHBDEFH（第16题图）FACDEB【精品文档】【精品文档】在直角三角形中，所以，ABHo60BAD2AB 3BH 因为平面，平面，所以，DE ABCDAD ABCDDEAD又由（1）知，且，所以，所以，12分/ /BCEF/ /ADBC/ /ADEFDEEF所以三棱锥的体积 BDEF11131 133326DEFVSBH 14分11. 如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系1,CA CB CC Cxyz则，所以，(1,0,0)A(0,1,0)B1(1,0,2)A1(0,1,2)B1(0,1,2)CB ( 1,1,0)AB ，1( 1,1,2)AB 1(1, 1,2)

28、BA （1）因为，111111330cos,1065CBBACB BACB BA 所以异面直线与夹角的余弦值为1BA1CB3010 4分（2）设平面的法向量为，1CAB( , , )x y zm则 即110,0,ABCB mm20,20,xyzyz 取平面的一个法向量为；1CAB(0,2, 1)m 所以二面角平面角的余弦值为 1BABC10510分12. （1）证明：因为，是的中点12ADBCNBC所以，又ADNC/ /ADBC所以四边形是平行四边形，所以ANCDANDC又因为等腰梯形，60ABC所以 ，所以四边形是菱形，所以ABBNADANCD1302ACBDCB所以，即90BACACAB由

29、已知可知 平面平面，C BAABCxyz（第22题图）ABCA1B1C1xzyACDBNDC【精品文档】【精品文档】因为 平面平面C BAABCAB所以平面 4分AC ABC（2）证明：因为， / /ADBC/ /ADBC ,ADADA BCBCB所以平面平面/ /ADDBCC又因为平面,所以 平面 8分C NBCC/ /C NADD（3）因为平面,同理平面，建立如图如示坐标系AC ABCAC ABC设，1AB 则, ，9分(1,0,0)B(0, 3,0)C(0,0, 3)C13( ,0)22N则，( 1,0, 3)BC (0,3, 3)CC 设平面的法向量为，有 ，得 C NC( , , )nx y z0BC n 0C C n ( 3,1,1)n 设平面的法向量为，有ANC),(zyxm 0, 0mACmAN 得 )0 , 1 , 3(m12分所以 55cosnmmn13分由图形可知二面角为钝角AC NC所以二面角的余弦值为 AC NC5514分13. （I）AD / BC，BC=AD，Q为AD的中点，12【精品文档】【精品文档】四边形BCDQ为平行四边形，CD / BQ