10(1)数项级数的收敛与发散ppt课件

1、1 第十章第十章 无穷级数无穷级数infinite seriesR2基本概念基本概念 第十一章第十一章 无穷级无穷级数数constant term infinite series第一节第一节 数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质小结小结 思考题思考题 作业作业 3为什么要研究无穷级数为什么要研究无穷级数是进行数值计算的有效工具是进行数值计算的有效工具( (如计算函数值、如计算函数值、出它的威力出它的威力. . 在自然科学和工程技术中在自然科学和工程技术中, ,也常用无穷也常用无穷无穷级数是数和函数的一种表现形式无穷级数是数和函数的一种表现形式. .因无穷

2、级数中包含有许多非初等函数因无穷级数中包含有许多非初等函数, ,故它在积分运算和微分方程求解时故它在积分运算和微分方程求解时, ,也呈现也呈现如谐波分析等如谐波分析等. .造函数值表）造函数值表）. .级数来分析问题级数来分析问题, ,数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散41. 级数的定义级数的定义 nnnuuuuu3211(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项如如 ;1031003103 n;1)1(41312111 nn.)1(11111 n以上均为以上均为(常常)数项级数数项级数.(1)一、一、基本基本概念概念 1,nnu给定数列则表达式数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散

3、5这样这样, 级数级数(1)对应一个部分和数列对应一个部分和数列: nnuuus21称无穷级数称无穷级数(1)的的,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 按通常的加法运算一项一项的加下去按通常的加法运算一项一项的加下去,为级数为级数(1)的的,无穷级数定义式无穷级数定义式(1)的含义是什么的含义是什么?也算不完也算不完,永远永远那么如何计算那么如何计算?前前n项和项和部分和部分和. niiu12. 部分和数列部分和数列数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散6例例1112.1nnn前 项之和111112112212nn ns2认为认为11122nn数项级数的收敛与发

4、散数项级数的收敛与发散7例例21nnn前 项之和(1)122n nn ns认为认为1nn没有和.例例311( 1)nnn前 项之和1,1 1( 1)0,nnn n为奇数s为偶数无极限无极限认为认为11( 1)nn没有和。没有和。数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散8部分和数列可能存在极限部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限也可能不存在极限.定义定义,无无限限增增大大时时当当n, ssn有极限有极限数列数列,1收敛收敛 nnu.1的的和和叫叫做做级级数数这这时时极极限限 nnus nuuus21,没有极限没有极限如果如果ns.1发发散散则则称称无无穷穷级级数数 nnu的部分和的部分和如果

5、级数如果级数 1nnu.limssnn 即即则称无穷级数则称无穷级数并写成并写成3. 级数收敛与发散的定义级数收敛与发散的定义数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散9特别,若limlimnnnnss 或则称级数发散到,或记作11,.nnnnuu 或总之总之,常数项级数收敛常数项级数收敛(发散发散).nns lim(不存在不存在)存在存在数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散10nnssr 21nnuu 1iinu0lim nnr对对收敛收敛级数级数(1),为级数为级数(1)的的余项余项或或余和余和. .显然有显然有当当n充分大时充分大时,级数的敛散性它与部分和数列是否有级数的敛散性它与部分

6、和数列是否有极限是等价的极限是等价的. nnnuuuuu3211(1)称差称差ssn 误差误差为为|nr数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散11注意：注意：（1）任何一个级数都可以确定一个部分和数列）任何一个级数都可以确定一个部分和数列 .ns（2）对任意数列）对任意数列 ,ns都可作出一个级数都可作出一个级数1,nnu 1.nnnus使的部分和数列恰好是1nnnuss令因此研究级数的敛散性问题即为研究因此研究级数的敛散性问题即为研究其部分和数列是否有极限的问题其部分和数列是否有极限的问题数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散12例例1 讨论级数讨论级数11(1)nn n的敛散性。的敛散

7、性。解：解：前前n项之和项之和1111 22 3(1)n nns1111112231111nnn 因为因为1limlim 111nnnsn所以级数所以级数11(1)nn n收敛，和为收敛，和为1111(1)nn n即数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散13例例22)1(321 nnnsn而而 nnslim所以所以, n321的部分和的部分和 级数级数 2)1(limnnn 级数发散级数发散.数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散14解解时时如果如果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1qaqqan 11(重要重要)例例3讨论等比级数讨论等比级数(几何级数几何级数)的收敛性的收敛性

8、.)0(20 aaqaqaqaaqnnn数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散15,1 时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1 时时当当 q nnqlim nnslim 收敛收敛 发散发散时时如果如果1 q,1 时时当当 q,1 时时当当 q nasn 发散发散 aaaa不不存存在在nns lim 发散发散 综上综上 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,10qqaqnn级数变为级数变为qaqqasnn 11数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散16讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性.)0(ln31 aann解解例例4因为因为 1ln3nna为公比的等比级数为公比的等比级数,是

9、以是以aln故故,1时时当当eae , 1|ln| a级数级数收敛收敛.发散发散.ea10 当当, 1|ln| a 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,10qqaqnn,时时或或ea 数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散17例5 判定级数11ln 1nn的敛散性.例6求级数211arctan2nn的和.提示:利用211arctanarctanarctan21nnnnn数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散18定理1 (柯西准则)级数 收敛1nnu0,0,Nm nN mn 有12.nnmuuu0,0,NnNpN 有12.nnnpuuu数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散19例7 证明

10、: (1)级数 211nn收敛.(2)级数发散11nn(3)级数11111123456发散(3) 提示:33311111131323362616nnnSSnnnnnn1113162626nnnn数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散20二、二、收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质性质性质1 1若级数11nnnnab与都收敛,且其和分别为,s和则对任意的常数12,kk和级数121nnnk ak b也收敛,且和为12.k s k+数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散21,)1()1()1( 都发散都发散.但但,111 )1(1收敛收敛.例例 000 )1(10 数项级数的收敛与发散数项级数的

11、收敛与发散22收敛收敛级数的必要条件级数的必要条件1,nna若级数收敛 则反之不然！反之不然！性质2lim0nna证证因为因为1nnsa则则na 1 nnss所以所以limnna1limlim nnnnssss 0 推论1lim0,nnnnaa若则发散11sinnnn如发散数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散23注注 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件, , 必要条件不充分必要条件不充分. .lim0nna有 n131211常用判别级数发散常用判别级数发散;如如调和级数调和级数 也可用它求或验证极限为也可用它求或验证极限为“0 0”的极限的极限;lim0nna级数收敛的必要条件级数收敛的

12、必要条件:但级数是否收敛但级数是否收敛数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散24例例判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性(1) 1)1(3nnnnn 133ln31nnnn(2)级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件常用判别级数发散常用判别级数发散. ., 0lim nnu解题思路解题思路数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散25(1) 1)1(3nnnnn解解由于由于 nnulim nnn111lim30 发散发散e3数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散26 133ln31nnnn(2) 解解 11nn 131nn而级数而级数33ln r33ln| r所以这个等比级数所以这个等比级

13、数 133ln31nnnn发散发散.由性质由性质2知知,由性质由性质1知知,发散发散.因调和级数因调和级数发散发散,为公比的等比级数为公比的等比级数, 133lnnnn是以是以1 收敛收敛.数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散27 1nnu设设为收敛级数为收敛级数,a为非零常数为非零常数,试判别级数试判别级数 1)(nnau的敛散性的敛散性.解解因为因为 1nnu收敛收敛,故故. 0lim nnu从而从而)(limaunn 0 故级数故级数 1)(nnau发散发散.a 0lim nnu级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散28问问11,?nnnnau

14、au(1)设收敛是任意常数 问是否收敛11?nnnnauu(2)设a=0,问与a是否相等110,;0,.nnnnauau时收敛时未必收敛否！否！数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散29性质性质3 3 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性.性质性质4 4 1nnu设级数设级数收敛收敛,则对其各项任意加括号所得则对其各项任意加括号所得新级数仍收敛于原级数的和新级数仍收敛于原级数的和.一个级数加括号后所得新级数发散一个级数加括号后所得新级数发散,则则注注原级数发散原级数发散.事实上事实上,加括后的级数就应该收敛了加括后的级数就应该收敛了.设原来的级数收敛设原来的级数收敛,则根据性则根据性质质4, )11()11(例例如如 1111 收敛收敛 发散发散一个级数加括号后收敛一个级数加括号后收敛,原级数敛散性不确定原级数敛散性不确定.数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散30常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法3. 按基本性质按基本性质则级数收敛则级数收敛由定义由定义, ssn若若2., 0lim nnu当当则级数发散则级数发散一般项、部分和、收敛、发散及级数的性质一般项、部分和、收敛、发散及级数的性质三、小结三、小结级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件记住等比级数记住等比级数(几何级数几何级数)的收敛