【精品】高中数学2.1函数(备课资料)大纲人教版必修

1、备课资料因为函数是现实世界对应关系的抽象或者说是对应关系的数学模型，它重要而且基本，不仅是数学研究的重要对象， 也是数学中常用的一种数学思想， 所以全面正确深刻理解函数概念则是我们教学的关键 . 其中函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础，即处理函数问题必须树立“定义域优先”这种数学意识. 熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理解充分体现. 下面，针对函数的定义域及函数解析式做进一步探讨.一、函数的定义域例 1求下列函数的定义域(1) y 1 x2 12(2) y x 2x 2 4(3)y1| x |x(4)yx14x 2(5)y4x 21| x |3(6)y11111x(7) y a

2、x 3 （ a 为常数 )分析：当函数是用解析法给出，并且没有指出定义域，则使函数解析式有意义的自变量的全体所组成的集合就是函数的定义域.解： (1) x R；(2)要使函数有意义，必须使x2 40 得原函数定义域为 x x R 且 x± 2 ；(3)要使函数有意义，必须使x x 0，得原函数定义域为 x x 0 ；(4)要使函数有意义，必须使x10, x1 x 4 ；4x得原函数的定义域为0,(5)要使函数有意义，必须使4x20, 得原函数定义域为 x2 x 2 ；| x |30;1x0,110,x110,(6) 要使函数有意义，必须使11x10.1111x得原函数的定义域为 xx

3、 1或 x 0 或 1 x 0 ；2(7) 要使函数有意义，必须使ax3 0 得当 a0 时，原函数定义域为 xx 3 ；a当 a0 时，原函数定义域为 xx 3 ；当 a0 时， ax 3 0 的解集为a，故原函数定义域为。评述： (1) 求函数定义域就是求使函数解析式有意义的自变量取值的集合，一般可通过解不等式或不等式组完成 .(2) 对于含参数的函数定义域常常受参数变化范围的制约，受制约时应对参数进行分类讨论 . 例 1 中的 (8) 小题含有参数 a，须对它分类讨论 .例 2 (1) 已知函数f （x）的定义域为 (0 ， 1) ，求 f （ x2）的定义域 .(2) 已知函数 f （

4、 2x 1）的定义域为 (0 ， 1) ，求 f （ x）的定义域 .(3) 已知函数 f （ x 1）的定义域为 2， 3 ，求 f （2x2 2）的定义域 .分析： (1) 求函数定义域就是求自变量x 的取值范围，求 f（x2）的定义域就是求 x 的范围，而不是求x2 的范围，这里x 与 x2 的地位相同，所满足的条件一样.(2)应由 0 x1 确定出2x 1 的范围，即为函数f （x）的定义域 .(3)应由2 x 3 确定出 x 1 的范围， 求出函数 f（ x）的定义域进而再求f（ 2x2 2）的定义域 . 它是(1) 与(2) 的综合应用 .解： (1) f （ x）的定义域为 (0

5、 ，1)要使f（2）有意义，须使02 1，即 10 或 0 1函数f（2）的定义xxxxx域为 x 1 x 0 或 0 x1(2) f （ 2x 1）的定义域为（0，1），即其中的函数自变量x 的取值范围是0 x 1，令 t 2x1， 1 t 3， f （ t ）的定义域为 1 x 3 函数 f （ x）的定义域为 x 1x 3(3) f （ x 1）的定义域为 2 x3， 2 x 3令 t x 1， 1 t 4 f （ t ）的定义域为1 t 4即 f ( x) 的定义域为 1x 4，要使 f （ 2x2 2）有意义，须使1 2x2 2 4，3 x2 或 2 x 32221500 公里，10

6、0 公里小时，两地距离为S 100tS( 公里 ) 表示成时间 t ( 小时 ) 的函数 .所以易求得函数解析式， 其定义域由甲乙两地函数f（ 2 2 2）的定义域为 x32 或2 3xx2x2注意：对于以上 (2)(3)中的 f （ t ）与 f ( x) 其实质是相同的 .评述： (1) 对于复合函数f （ x） 而言，如果函数 f（ x）的定义域为 A，则 f （ x）的定义域是使得函数（ x） A 的 x 取值范围 .(2) 如果 f （ x） 的定义域为A，则函数 f ( x) 的定义域是函数( x) 的值域 .二、函数的解析式例 1 (1) 已知 f （x 1） x 2x ，求 f

7、 ( x) 的解析式 .(2) 已知 f （ x 1 ） x3 1 ，求 f ( x) 的解析式 .xx(3) 已知函数f （x）是一次函数，且满足关系式3f （ x1） 2f （ x 1） 2x17，求f ( x) 的解析式 .分析：此题目中的“ f ”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用，即：求出 f 及其定义域 .解： (1) 设 t x 11，则x t 1， x（ t 1） 2 f （ t ）（ t 1） 2 2（t 1） t 2 1（ t 1） f （ x） x2 1（x 1）31121(2) xx3（ xx）（ x x2 1）（ x 1 ） （ x 1 ）

8、2 3xx f （ x 1 ）（ x 1） （x 1）23xxx f （ x） x（ x23） x33x当 x 0 时， x 1 2 或 x 1 2，xx f （ x） x3 3x（ x 2 或 x 2）(3) 设 f （ x） ax b 则 3f （ x 1） 2f （ x 1） 3ax 3a2b 2a2b axb 5a 2x17 a 2， b 7， f （ x） 2x7.注意：对于 (1) 中 f （ x）与 f ( t ) 本质上一样 .评述：“换元法”“配凑法”及“待定系数法”是求函数解析式常用的方法，以上3 个题目分别采用了这三种方法. 值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域

9、.例 2(1) 甲地到乙地的高速公路长 1500 公里，现有一辆汽车以 100 公里小时的速度从甲地到乙地，写出汽车离开甲地的距离分析：从已知可知这辆汽车是匀速运动，之间的距离来决定 .解：汽车在甲乙两地匀速行驶，汽车行驶速度为3从甲地到乙地所用时间为t 1500 小时100答：所求函数为：S 100tt 0 ， 15(2) 某乡镇现在人均一年占有粮食360 千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2 ，粮食总产量平均每年增长 4%，那么 x 年后若人均一年占有 y 千克粮食 . 求出函数 y 关于 x 的解析式 .分析：此题用到平均增长率问题的分式，由于学生尚未学到，所以还应推导.解：设现在某乡

10、镇人口为A，则 1 年后此乡镇的人口数为A(1 1.2 ) ， 2 年后的此乡镇人口数为A（ 1 1.2 ） 2经过 x 年后此乡镇人口数为A(1 1.2 ) x. 再设现在某乡镇粮食产量为B，则 1 年后此乡镇的粮食产量为B(1 4 ),2 年后的此乡镇粮食产量为B（ 14）2，经过x年后此乡镇粮食产量为（ 1 4）x，因某乡镇现在人均一年占有粮食为360 kg，B即 B 360，所以 x 年后的人均一年占有粮食为y，即 y B(14%) x360(14%) x （ xAA(11.2%) x(1 1.2%) x N*)评述：根据实际问题求函数解析式， 是应用函数知识解决实际问题的基础， 在设

11、定或选定自变量后去寻求等量关系， 求得函数解析式后， 还要注意函数定义域要受到实际问题的限制.三、参考练习题(1)函数 y3 x1的定义域是 _.| x1| 2x 1|答案： R(2)设函数 fx1） 2x 1，则函数 f （ x）的定义域是 _.（ 2答案：（ 1，）(3) 已知函数 f （ x 1） 2x 1，求 f ( x) 的解析式是 _.答案： f （ x） 2x 1(4)已知f（x）是一次函数，且ff（x）4x 1，则f（ ）的解析式是 _.x答案： f （ x） 2x 1 或 f （ x） 2x 13备课资料一、函数的值域在函数概念的三要素中， 定义域和对应法则是最基本的，值域是

12、由定义域和对应法则所确定， 因此，研究值域仍应注重函数对应法则的作用和定义域对值域的制约，以下试举例说明常用方法 .对函数值域的理解 例题 求下列函数的值域(1)y1 2x，（ x R）(2) y x 1x 2， 1， 0， 1， 2(3)yx2 4x 3， （ 3 x 1）(4) y x 1 x 2(5)y2x 34 x 13(6) y x4x 25(x21)24(7) y 1x(8) y x22x32x52x22x1(9) y3 2x x2 ，x 3， 1(10) y 3x 21x 22分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.对于 (1)(2)可用“直接

13、法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域 .对于 (3)(4)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”.对于 (5)(6)可借用整体思想，利用“换元法”求得值域.对于 (7)可将其分离出一个常数，即利用“分离常数法”求得它的值域.对于 (8)可通过对“”的分析，即利用“判别式法”求得其值域.对于 (9)(10)可“通过中间函数的值域去求所求函数的值域”这一方法，即“中间媒介法”求得其值域.解： (1) y R(2) y1 ， 0， 1(3) 画出 y x2 4x 3（ 3 x 1）的图象，如图所示，当 x 3， 1 时，得 y 1， 8(4) 对于 y x 1 x 2

14、的理解，从几何意义入手，即利用绝对值的几何意义可知， x1表示在数轴上表示 x 的点到点 1 的距离， x 2表示在数轴上表示 x 的点到点 2 的距离，在数轴上任取三个点 xA 1， 1xB 2， xC c，如图所示，可以看出 xA1 xA2 3 3 xB 1 xB 2 3， xC 1 xC2 3，由此可知，对于任意实数x，都有 3 x 1 x 2 3，所以函数 y x 1 x 2的值域为y 3，3(5) 对于没有给定自变量的函数，应先考查函数的定义域，再求其值域. 4x13 0 x 13 ， ) 令 t 4x13 则得： x t 21344 y 1 t 2 t 7 ， y 1 （ t 1）

15、 2 3222 x 13 ， t 04y 7 ， )根据二次函数图象可得2(6) 函数定义域为 x R，由原函数可化得：y x4x25x2 ( x21)5( x21)2( x21)25x25x 21 121)2( x21) 2( x 21) 2( x 21)( x5511，令 t 121) 2x2 121( xx xR ， t (0 ， 1 ， y 5t 2 t 15（ t 1 ）2 191020根据二次函数的图象得，当 t 1时， ymin 19 ；当 t 1 时， ymax 51020函数的值域为y 19 ，5720(7) y 1 2，722x5 0， y 1 252x2函数 y 的值域为

16、 y（，1 ）（ 1 ，）22(8) 由 y x22 x3 得 x R，且可化为：2x 22x1（ 2y1） x2 2（y 1） x（ y 3） 0当 y 1 时，22 2 （ y 1） 4（ 2y 1）（ y3） 0 4 y 1 且 y 12又当 y 1 时， 2（ 1 1 ） x（ 1 3） 0222得： x 7 ，满足条件6函数的值域为y 4， 1(9) 3 x 1， 2 x 12 x 1 2，即（ x1） 2 4 y 3 2x x2（ x1） 2 4 0 ， 4函数值域为y 0 ， 423x122(10) 由 y可知， x R 且 yx 2y 3x 1即（ 3 y） x2 2y 1若

17、y3 时，则有 0 7，这是不可能的. y 36得： x2 2y 1x2 0 2 y 1 03 y3 y解得： 1 y 32函数值域为 y 1 ， 3)2评述：（1）求函数的值域是一个相当复杂的问题，它没有现成的方法可套用，要结合函数表达式的特征，以及与所学知识联系，灵活地选择恰当的方法.（ 2）对于以上例题也可以采取不同的方法求解每一个值域，请读者不妨试一试.（ 3）除以上介绍的方法求函数值域外，随着学生的继续学习，我们今后还会有“反函数”法、“单调性”法、 “三角换元”法、 “不等式”法及“导数法”等 .二、参考练习题（ 1）已知集合 A a， b， c，d， ，B a， b， c， d，

18、 对应法则如图示，则从 A到 B 为映射的是（）答案： C（ 2）下列哪一个对应是从集合P到集合 S的一个映射（）A. P 有理数 ， S 数轴上的点 ，对应法则f ：有理数数轴上的点B. P 数轴上的点 ， S 有理数 ，对应法则f ：数轴上的点有理数C. x P R， y S R ，对应法则f ： x y xD. R，对应法则f：yx2R RxPySx答案： A（ 3）在映射f： B中，下列判断正确的是（）AA. A 中的元素a 的象可能不只一个B. A 中的两个元素a 和 b 的象必不相同C. B 中的元素a的原象可能不只一个D. B 中的两个不同元素a和 b的原象可能相同答案： C（ 4）关于从集合A 到集合 B 的映射，下面说法中错误的是（）7A. A 中每一个元素在B中都有象B. A 中的两个不同元素在B 中的象不同C. B 中的元素在 A中可以没有象D. B 中的某元素在A 中的原象可能不止一个答案： B（ 5）从集合 a， 到集合1 ， 2 的映射共有（）AbBA.2 个B.3 个C.4 个D.5 个答案： C（