山东省2013年高考数学第二轮复习专题二函数与导数第2讲函数与方程及函数的应用文

1、专题二函数与导数第 2 讲函数与方程及函数的应用真题试做1(2012 ·湖南高考， 文 9) 设定义在 R上的函数 f ( x) 是最小正周期为2 的偶函数，f (x)是f ( x)的导函数当x0， 时，f ( x) ；当x(0， 且x时， x(01)22 fx) 0，则函数 yf ( x) sinx 在 2 ， 2 上的零点个数为 () A2B 4C 5D 8x,x0,2(2012·陕西高考，文11) 设函数 f (x)=1x则 f ( f ( 4)_.2, x<0,3(2012·山东高考，文15) 若函数 f ( x) ax( a 0，a1) 在 1,2

2、 上的最大值为4，最小值为 m，且函数 g( x) (1 4m) x在 0 ， ) 上是增函数，则a _.4(2012·课标全国高考，文 16) 设函数 f ( x) x2sin x2的最大值为 M，最小值x 1为 m，则 M m_.n5(2012·陕西高考，文21) 设函数f( ) (nN， ，R) xxbxcb c(1) 设 n2， b 1， c 1，证明： f ( x) 在区间1， 1内存在唯一零点；2(2) 设 n 为偶数， | f ( 1)| 1， | f (1)| 1，求 b 3c 的最小值和最大值；(3) 设 n 2，若对任意x1， x2 1,1 ，有 | f

3、 ( x1) f ( x2)| 4，求 b 的取值范围6(2012 ·江苏高考，17) 如图，建立平面直角坐标系xOy，x 轴在地平面上， y 轴垂直于1地平面，单位长度为1 千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx 20(1 k2) x2( k0) 表示的曲线上，其中k 与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物 ( 忽略其大小 ) ，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由考向分析通过分析近三年的高考试题可以看到对函数与方程的考查主要体现在以下几个方面：一、结合函

4、数与方程的关系，求函数的零点；二、结合根的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点 ( 方程是否存在实根 ) 进行判断；三、利用零点 ( 方程实根 ) 的存在求相关参数的值或范围对函数的实际应用问题的考查，题目大多以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中教材和课标中所要求掌握的概念、公式、法则、定理等基础知识和方法热点例析热点一确定函数的零点1【例 1】设函数 f ( x) 3x lnx( x 0) ，则 y f ( x)() 1A在区间， 1， (1 ， e) 内均有零点e- 1 -1B在区间 e， 1， (1 ， e) 内均无零点1，

5、 1内有零点，在区间(1 ，e) 内无零点C在区间 eD在区间1， 1内无零点，在区间(1 ，e) 内有零点e规律方法确定函数零点的常用方法：(1) 解方程判定法，方程易解时用此法；(2) 利用零点存在的判定定理；(3) 利用数形结合，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解变式训练1 方程 | x| cos x 在 ( ， ) 内 () A没有根B有且仅有一个根C有且仅有两个根D有无穷多个根热点二函数零点的应用【例 2】 (1) m为何值时， f ( x) x2 2mx3m 4，有且仅有一个零点？有两个零点且均比1 大？(2) 若函数 () |4xx2| a有 4 个零点，求

6、实数a的取值范围F x规律方法 解决由函数零点 ( 方程根 ) 的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解，再者，对于存在零点求参数范围问题，可通过分离参数，从而转化为求函数值域问题2变式训练2 已知函数 f ( x) x， x2，若关于 x 的方程 f ( x) k 有两个不同x3， x<2.的实根，则实数 k 的取值范围是 _ 热点三函数的实际应用【例 3】某企业拟建造如图所示的容器( 不计厚度，长度单位：米) ，其中容器的中间为圆80柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为3 立方米，且 l 2r . 假设该容

7、器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c( c 3) 千元设该容器的建造费用为y 千元(1) 写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；(2) 求该容器的建造费用最小时的r .规律方法应用函数知识解应用题的步骤：(1) 正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类(2) 用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解(3) 把计算获得的结果代回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答变式训练

8、 3 某种产品每件成本为 6 元，每件售价为 x 元 ( x 6) ，年销量为 u 万件，若已- 2 -知585u 与8x 21 42成正比，且售价为10 元时，年销量为28 万件(1) 求年利润 y( 万元 ) 关于 x 的函数关系式；(2) 求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润思想渗透函数与方程思想的含义(1) 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题(2) 方程的思想，就是分析数学问

9、题中变量间的等量关系，建立方程( 方程组 ) 或者构造方程，通过解方程( 方程组 ) 或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程( 方程组 ) 的观点观察、处理问题(3) 方程的思想与函数的思想密切相关：方程f ( x) 0 的解就是函数y f ( x) 的图象与x轴的交点的横坐标；函数 y f ( x) 也可以看作二元方程 f ( x) y 0，通过方程进行研究；方程 f ( x) a 有解，当且仅当 a 属于函数 f ( x) 的值域；函数与方程的这种相互转化关系十分重要【典型例题】如图所示，长方体物体E 在雨中沿面P(

10、 面积为 S) 的垂直方向作匀速移动，速度为 v( v 0) ，雨速沿 E 移动方向的分速度为 c( c R) E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分： P 或 P 的平行面 ( 只有一个面淋雨 ) 的淋雨量，假设其值与 | v c| × S 成正比，比例11系数为 10；其他面的淋雨量之和，其值为2. 记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量当移动距离d3 100，面积 S2时，(1) 写出 y 的表达式；(2) 设 0 v10,0 c5，试根据 c 的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y 最少31解： (1) 由题意知， E移动时单位时间内的淋雨量为20| v c| 2，100

11、3| v c| 15故 y v202 v(3| v c| 10) (2) 由 (1) 知，5当 0 v c 时， y v(3 c 3v 10) 5c 15；v 3c当 c v10 时， y v(3 v 3c10) cv 15.v故 y 15，0<v c， 3cv15， c<v10.- 3 -当 0 c10时， y 是关于 v 的减函数故当v10 时， ymin 203c32 .当 105时，在 (0 ， 上，y是关于v的减函数； 在 (c,10 上，y是关于v的增函数cc350故当 v c时， ymin c .1已知 f ( x) 3( x a)(x b) ，并且 m， n 是方程

12、 f ( x) 0 的两个根，则实数a，b，m， n 的大小关系可能正确的是() Am a b nB am b nCD bamn bm anP，Q满足条件：2(2012 ·山东潍坊一模， 12) 若直角坐标平面内的两点 ，Q都在函数y(x) 的图象上；，Q关于原点对称PfP则称点对 P，Q是函数 y f ( x) 的一对“友好点对” ( 点对 P，Q 与 Q，P 看作同一对“友好点对” ) logxx，2已知函数 f ( x) x2 4x x，则此函数的“友好点对”有 () A0对B 1 对2C2对D 3对3函数f( ) cosx在区间 0,4 上的零点个数为 () xxA4B 5C

13、 6D 7 1xx4设方程 ，log1 的根分别为 x1， x2，则 () log 4 x401 x40A0 x x 1 xx4B 11212C1 x1x2 2D x1x225(2012 ·江苏高考， 10) 设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为2 的函数，在区间 1,1上，ax 1， 1 x<0，13f ( x) bx 2其中 a， bR. 若 ff，则 a 3b 的值为 _，0 1，22x 1x6(2012 ·北京高考，理14) 已知 f ( x) m( x2m)( x m 3) ， g( x) 2x 2. 若同时满足条件： ? x R， f ( x) 0

14、或 g( x) 0；? x( ， 4) ， f ( x) g( x) 0. 则 m的取值范围是 _ 7(2012 ·北京高考，文2212) 已知函数 f ( x) lg x，若 f ( ab) 1，则 f ( a ) f ( b ) _.8某市近郊有一块大约500 m×500 m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为3 000 m 2，其中场地四周 ( 阴影部分 ) 为通道，通道宽度均为 2 m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地 ( 其中两个小场地形状相同 ) ，塑胶运动场地占地面积为 S m2.

15、(1) 分别写出用 x 表示 y 和 S的函数关系式 ( 写出函数定义域 ) ；(2) 怎样设计能使 S 取得最大值，最大值为多少？- 4 -参考答案命题调研·明晰考向真题试做1B解析： 由 x(0 ， ) 且 x 2 时， xf (x) 0可知：2当 x0， 2 时， f (x) 0， f ( x) 单调递减；当 x2 ， 时， f (x) 0，f ( x) 单调递增又 x0 ， 时， f ( x) (0,1) ，且 f ( x) 是最小正周期为2 的偶函数，可画出 f ( x)的草图为：对于 y f ( x) sin x 的零点，可在同一坐标系中再作出 y sin x 的图象，

16、可知在 2 ， 2 上零点个数为 4. 424解析： f(4) 1 16，2f ( f ( 4) f (16) 164.1x 1134解析： 当 0 a 1 时， f ( x) a在 1,2 上的最大值为a 4，即 a 4，最小值2114×13为 a m，从而 m 16，这时 g( x) 16x，即 g( x) 4x在 0 ， ) 上是增函数 当1 时，f(x) x 在 1,2上的最大值a24 得2，最小值1即1，这时 () aaaam m 2g x1(1 4m)xx在 0 ， ) 上为减函数，不合题意，舍去所以a4.x2 sinx2x sinx42解析： f ( x) x2 11x

17、2 1，设(x2x sinxx) ( ) ，) 2，则 (gx 1gg xg( x) 是奇函数g( x) max g( x) min 0，由奇函数图象的对称性知() 1 max (x) 1 min 2 () max (x) min 2.Mmg xgg xg5解： (1) 当 b 1，c 1， n2时， f ( x) xn x 1.111f 2 f (1) 2n 2 ×1 0，f ( x) 在12， 1 内存在零点1n 1又当 x 2， 1 时， f (x) nx 10，f ( x) 在1， 1 上是单调递增的2- 5 -f ( x) 在12， 1 内存在唯一零点1 f ，0 b c2

18、，(2) 方法一：由题意知，即1 f2 b c0.由图像知， b 3c 在点 (0 ， 2) 取到最小值6，在点 (0,0)取到最大值0，b 3c 的最小值为 6，最大值为0.方法二：由题意知1 f (1) 1 b c1，即 2 b c0，1 f ( 1) 1 bc1，即 2 b c0，× 2得62( bc) ( b c) b 3c0，当 b 0， c 2 时， b 3c 6；当 b c 0 时， b 3c0，b 3c 的最小值为 6，最大值为0.f1 b c，方法三：由题意知f 1 b c，f ff f 2解得 b， c，22 b 3c 2f (1) f ( 1) 3.又 1 f

19、( 1) 1， 1 f (1) 1. 6 b3c0.当 b 0， c 2 时， b 3c 6；当 b c 0 时， b 3c0， b 3c 的最小值为 6，最大值为 0.(3) 当 n 2 时， f ( x) x2 bx c.对任意 x1， x2 1,1 都有 | f ( x1) f ( x2)| 4 等价于 f ( x) 在 1,1 上的最大值与最小值之差 M4. 据此分类讨论如下：b当2 1，即 | b| 2 时， M| f (1) f ( 1)| 2| b| 4，与题设矛盾b当 1 0，即 0 b2时，2b2Mf (1) fb 1 4恒成立2 2b当 0 21，即 2 b0时，bMf (

20、 1) f 2 综上可知， 2 b2.b2214恒成立- 6 -1226解： (1) 令 y 0，得 kx 20(1 k) x 0，由实际意义和题设条件知x 0， k0，故 x 20k 220 2010，当且仅当k 1 时取等号1 k12k k所以炮的最大射程为10 千米(2) 因为 a0，所以炮弹可击中目标 ? 存在的方程 a2k2 20ak a2 64 0 有正根 ? 判别式所以当 a 不超过 6( 千米 ) 时，可击中目标精要例析·聚焦热点热点例析111【例 1】 D解析： 法一： fe 3· e ln122k0，使 3.2 ka20(1 k ) a 成立 ? 关于

21、k ( 20a) 2 4a2( a264) 0? a6.1111e 3e 1 0， f (1) 3 ln 1 3 0， f (e)ee 3 ln e 3 1 0，11f e · f (1) 0， f (1) · f (e) 0，故 y f ( x) 在区间 e，1 内无零点，在区间 (1 ， e) 内有零点1法二：在同一坐标系中分别画出y 3x 与 y lnx 的图象如图所示由图象知零点存在于区间(1 ， e) 内【变式训练1】 C解析： 在同一直角坐标系中作出函数y| x| 和 y cos x 的图象，如图当 x2 时， y | x| 21，y cos x1.当 x 2时

22、， y | x| 2 1， y cos x1，所以两函数的图象只在，2 内有两2个交点，所以 | x| cos x 在 ( ， ) 内有两个根【例 2】解： (1) 若函数2有且仅有一个零点，则等价于2f ( x) x 2mx 3m 44m 4(3 m 4) 0，即 4 212 16 0，mm24 或 m 1.即 m3m 4 0，解得 m设两零点分别为x1， x2，且 x1 1， x2 1，x1 x2.- 7 -则 x1x2 2m， x1· x2 3m4，2m2m 3m 4>04m故只需x1x2? 2m2>0?x1x23 42 1>0mmm< 1或m>4

23、，m<1，m> 5.故 m的取值范围是 m| 5 m 1 (2) 若 F( x) |4 x x2| a 有 4 个零点， 即 |4 xx2 | a 0 有四个根， 即 |4 xx2| a 有四个根令 g( x) |4 x x2| ， h( x) a. 则作出 g( x) 的图象，由图象可知要使|4 xx2| a 有四个根，则需 g( x) 的图象与 h( x) 的图象有四个交点，0 a4，即 4 a 0.【变式训练2】(0,1)解析： 由函数图象知，如图所示，当0 k 1 时直线 y k 与函数f ( x) 的图象有两个交点，即方程f ( x) k 有两个不同的实根【例 3】解：

24、(1)设容器的容积为V，由题意知 V r2l 4r 3，343Vr20又 80 ，故3 8024 4l r22 r .V33r3r3 r由于l2 ，因此 02.rry2rl22r4202所以建造费用3 4 r c×3 4 r c.× r2 r × 3因此 y 4( c 2) r 2160 ， 0 r 2.r160(2) 由 (1) 得 y 8( c 2) r r28c320， 0 r 2.r2r 2c由于 c 3，所以 c 2 0.- 8 -当 r 320 0 时， r 320.c2c23 20令 c 2 m，得 m 0，8c22所以 yr 2( r m)( r

25、rm m) 9当 0 m2 即 c 时，当 r m时， y 0；当 r (0 ， m) 时， y 0；当 r (m,2) 时， y 0.所以 r m是函数 y 的极小值点，也是最小值点当 2即 3 9时，mc2当 r (0,2)时， y 0，函数单调递减所以 r 2 是函数 y 的最小值点综上所述，当 3 c 9时，建造费用最小时r 2；当 c9时，建造费用最小时r 320.22c2【变式训练 3】解： (1)585 u k x 21设84售价为 10 元时，年销量为28 万件，585212 28k 10，解得 k 2.842， u 2 x 21 425852 8 2x 21x 18.即 y

26、( 2x2 21x 18)( x 6) 2x3 33x2 108x 108.(2) 由 (1) 得 y 6x2 66x 108 6( x2 11x 18) 6( x 2)( x 9) ，令 y 0 得 x 2( x 6，舍去 ) 或 x9.显然，当 x(6,9) 时， y 0，当 x(9 ， ) 时， y 0. 函数 y 2x3 33x2 108x 108 在 (6,9) 上是增函数，在(9 ， ) 上是减函数当 x 9 时， y 取最大值，且y 135.max售价为 9 元时，年利润最大，最大年利润为135 万元创新模拟·预测演练1C 解析： 方法一： 设 () (x )() ，由

27、题意，f( )3()( )0，xa xbmm am b即 ( m) ( m a)( m b) 3 0，同理可得 ( n) 3 0，如图所示，故a m n b. 故选 C.方法二：令g( x) ( x a)( xb) ， h( x) 3. 则 m， n 即为方程g( x) h( x) 的根，也即- 9 -上述两函数图象的交点的横坐标，如图所示，故选C.2C 解析：，Q为“友好点对”，不妨设点(0，0)(x0 0) ，则( 0，y0) PP xyQ xy0 log2x0，y0 log 2x0，(1)所以即 y0 x02 4x0，y0 x02 4x0，方程组 (1) 的解的个数即是“友好点对”数，在同一坐标系作出函数图象如图，有两个交点，所以有2 对“友好点对”2223C 解析：令 f ( x) xcos x 0 可得，x 0 或 cos x0，故 x0或 x k 2 ，kZ.又 x 0,4 ，则 x20,16，则 k 0,1,2,3,4符合题意，故在区间0,4上的零点个数为 6.1x14A 解析： log 1 x0的根 x .4224x设 f (x)=log 4 x1，4因为 f (1) · f (2) 111 0，4216所以 1 x1 2.