弱肉强食模型ppt课件

1、1弱肉强食模型1、背景、背景回顾回顾生活在同一环境中的各类生物之间生活在同一环境中的各类生物之间,进行残酷的生存进行残酷的生存竞争竞争,一类动物靠捕食另一类动物生存一类动物靠捕食另一类动物生存.设种群甲靠丰设种群甲靠丰富的自然资源生长富的自然资源生长,而种群乙靠捕食种群甲为生而种群乙靠捕食种群甲为生,象象:食食用鱼与鲨鱼用鱼与鲨鱼,美洲兔与山猫美洲兔与山猫,落叶松与蚜虫等落叶松与蚜虫等.生态学上生态学上称甲为食饵称甲为食饵,称乙为捕食者称乙为捕食者,二者共处的系统称为食二者共处的系统称为食饵饵捕食者系统捕食者系统(Prey-Predator).下面我们来介绍下面我们来介绍P-P系统最初的模型系

2、统最初的模型.它还有一段历史背景它还有一段历史背景.2意大利生物学家意大利生物学家DAncona于于20世纪世纪20年代中期进行了年代中期进行了鱼类各个种群间相互依存、相互制约的研究鱼类各个种群间相互依存、相互制约的研究.在研究过在研究过程中程中,他无意中发现了第一次世界大战那些年代地中海他无意中发现了第一次世界大战那些年代地中海各港口所获各种鱼类占总渔获量的百分比资料各港口所获各种鱼类占总渔获量的百分比资料.特别是特别是,他发现了各类软骨掠肉鱼他发现了各类软骨掠肉鱼(鲨鱼鲨鱼,鳐鱼鳐鱼,魟魟鱼等鱼等,这些鱼不这些鱼不是很理想的食用鱼是很理想的食用鱼)所占的百分比所占的百分比,如下如下:年份年

3、份1914151617181920212223%11.921.422.121.236.427.316.015.914.810.7DAncona无法解释这个现象无法解释这个现象:为什么降低捕鱼水平时为什么降低捕鱼水平时,比起被捕食者比起被捕食者,对捕食者更有利对捕食者更有利.他求助于数学家他求助于数学家.32. Volterra模型模型 为此为此, DAncona求助于同事求助于同事-著名的意大利数学家著名的意大利数学家沃特拉沃特拉(Volterra),希望沃特拉能建立一个数学模型希望沃特拉能建立一个数学模型,解释解释这个现象这个现象.沃特拉的考虑沃特拉的考虑:他将鱼分成两类他将鱼分成两类:食用

4、鱼和掠肉鱼食用鱼和掠肉鱼,分别用分别用x(t)和和y(t)表示表示;他认为对食用鱼而言他认为对食用鱼而言,食物很丰富食物很丰富,如果没有掠肉鱼的话如果没有掠肉鱼的话,其数目服从指数增长规律其数目服从指数增长规律;其次其次,单位时间内掠肉鱼和食用鱼相遇的次数正比于单位时间内掠肉鱼和食用鱼相遇的次数正比于xy,从而食用鱼减少的速度可设为为从而食用鱼减少的速度可设为为axy,而且掠肉鱼的自然而且掠肉鱼的自然减少率与它们存在的数目成正比减少率与它们存在的数目成正比. (1) ).( ),( bxcybxycydtdyayrxaxyrxdtdx于是于是没有渔业活没有渔业活动时的模型为动时的模型为4模型的

5、求解模型的求解:xdxbxcydyayr)()( 求解相轨线求解相轨线, ,分离变量分离变量得到得到: :(2) :,lnlnln:KexeyeKxeyKbxxcayyrbxcayrbxcayr 或或即即积分得积分得上式不能解出上式不能解出 y=f(x) 这种显式解这种显式解. ).(),(bxcydtdyayrxdtdx下面我们来进行下面我们来进行平衡解及相轨线分析平衡解及相轨线分析,以进一步了解以进一步了解方程组方程组(1)的解的性质的解的性质.5模型的求解模型的求解: ).(),(bxcydtdyayrxdtdx对此非线性微分方程组对此非线性微分方程组6容易看出容易看出,方程组方程组(1

6、)有两个平衡解有两个平衡解: (0,0)和和(c/b,r/a).我们讨论后一个平衡解的性质我们讨论后一个平衡解的性质.其次其次,我们可以求出两条特殊轨线我们可以求出两条特殊轨线:.)(, 0)(; 0)(,)(00ctrteytytxtyextx 也就是说也就是说,x轴和轴和y轴的正半轴都是方程组轴的正半轴都是方程组(1)的轨线的轨线.这样这样,我们就可以得出结论我们就可以得出结论:从第一象限出发的每一条轨线从第一象限出发的每一条轨线(即即(2)式所描述的解式所描述的解),将永远保持在第一象限内将永远保持在第一象限内.下面我们下面我们进一步来证明进一步来证明由由(2)式所描述的轨线族是封闭的式

7、所描述的轨线族是封闭的. ).(),(bxcydtdyayrxdtdx(2) Kexeybxcayr 为此为此,我们取我们取.)(,)(ayrbxceyygexxf 研究这两个函数研究这两个函数.它们结构相同它们结构相同,我们只要研究一个即可我们只要研究一个即可.7.)()(0, 0)(, 0)0(,.)(11bxcbxccbxcebxcxebxcxxfxffexxf 时时而而且且因因此此因此因此,f(x)有唯一的驻点有唯一的驻点x=c/b.易知易知,在此点出在此点出f(x)达到达到最大值最大值.)(ccmebcf 其图形为其图形为:xf(x)c/bmfyg(y)r/amg8(2) )()(K

8、ygxfexeybxcayr 我们对我们对K讨论如下讨论如下:Kfmgm,这时方程这时方程(2)(2)无解无解;: K=fmgm,这时方程这时方程(2)(2)有唯一解有唯一解x=c/b,y=r/a.x=c/b,y=r/a.相相轨线退化为一个平衡点轨线退化为一个平衡点P;P;: 0Kfmgm,这时方程这时方程(2)(2)具有无穷多解具有无穷多解. .设设K=pK=pgm. .xf(x)c/bmf1x2xp令令f(x)=p,得到两个解得到两个解x1,x2,即相轨线过点即相轨线过点(x1,r/a), (x2,r/a).xyc/b1x2xr/a.相平面相平面9(2) )()(Kygxfexeybxca

9、yr : 0Kp,故方程故方程(2)的解的解g(y)=q=K/f(x)gm有两个有两个:一个大于一个大于r/a,一个小于一个小于r/a.分析分析x的不的不同所引起的同所引起的y的变化的变化.10这样我们就证明了当这样我们就证明了当0Kfmgm时的相轨线是一条时的相轨线是一条封闭曲线封闭曲线.K减少减少P1x2xx1y2yarbcP从而从而,随着随着K的不同的不同,我们得到一族封闭曲线我们得到一族封闭曲线,P为中心为中心.这意谓方程组这意谓方程组(1)的解是一个周期解的解是一个周期解.设其周期为设其周期为T.我们我们可以进一步分析相轨线的走向可以进一步分析相轨线的走向,为逆时针方向为逆时针方向.

10、11x(t),y(t)在一周期内的平均值在一周期内的平均值我我们们得得到到上上积积分分两两边边在在区区间间我我们们得得到到由由, 0 ,)(Tayrxxayrxdtdx 我们得到我们得到利用方程利用方程同样同样)(,bxcydtdy .)()0(ln)(ln0 TdttyarTxTx由周期性由周期性,我们得到我们得到y(t)在一个周期内的平均值为在一个周期内的平均值为(3) .)(10 TardttyTy(4) .)(10 TbcdttxTx即即, x(t),y(t)在一周期内的平均值恰好为平衡解在一周期内的平均值恰好为平衡解P.123.有捕捞时的弱肉强食模型有捕捞时的弱肉强食模型如果存在渔业

11、活动如果存在渔业活动,设捕捞强度为设捕捞强度为e,这时候模型为这时候模型为(5) ).( ),( bxecyeybxycydtdyayerxexaxyrxdtdx我们立刻可以看出我们立刻可以看出,方程组方程组(5)是一个与方程组是一个与方程组(1)具有具有相同结构的方程组相同结构的方程组,因此我们可以求出方程组因此我们可以求出方程组(5)的解的解在一个周期内的平均值为在一个周期内的平均值为(6) .,11aerybecx 13(5) ).( ),( bxecyeybxycydtdyayerxexaxyrxdtdx(6) .,11aerybecx (6)式就可以回答式就可以回答DAncona的问

12、题的问题.,22aerybecxe 为为时的两类鱼的数量分别时的两类鱼的数量分别捕捞强度为捕捞强度为.,11122211222121yxyyxyxyxyyyxxree 从而从而于是于是则则若若144.沃特拉原理与杀虫剂的影响沃特拉原理与杀虫剂的影响如果杀虫剂不仅可以杀死害虫如果杀虫剂不仅可以杀死害虫(被捕食者被捕食者),而且还会杀死吃而且还会杀死吃害虫的益虫害虫的益虫(捕食者捕食者).这意谓着这意谓着:使用杀虫剂使用杀虫剂(相当于增大相当于增大e)实实际上会使得吃害虫的益虫数量减少际上会使得吃害虫的益虫数量减少,而害虫的数量反而增加而害虫的数量反而增加,即如果用一些杀虫剂的话即如果用一些杀虫剂

13、的话,其效果是对害虫更有利其效果是对害虫更有利.例证例证:吹棉蚧吹棉蚧.它本是澳洲的它本是澳洲的,1968年偶然传入美国后年偶然传入美国后,严重地严重地威胁着美国的柑桔业威胁着美国的柑桔业.因此人们又从澳洲引进了它的天敌因此人们又从澳洲引进了它的天敌-澳洲瓢虫澳洲瓢虫,使得吹棉蚧减少到很低的程度使得吹棉蚧减少到很低的程度.后来出现了滴滴涕后来出现了滴滴涕,人们使用它人们使用它,期望进一步减少吹棉蚧期望进一步减少吹棉蚧.然而然而,同沃特拉原理相同沃特拉原理相一致一致,使用滴滴涕的结果是吹棉蚧的数目反而增加了使用滴滴涕的结果是吹棉蚧的数目反而增加了.启示启示?从上面我们可以看到从上面我们可以看到:

14、对于一个食饵对于一个食饵捕食者系统捕食者系统,如果同等地如果同等地对二者进行捕杀对二者进行捕杀(er),则捕杀强度的增大则捕杀强度的增大,对食饵有利对食饵有利;捕杀强捕杀强度的减少度的减少,会对捕食者有利会对捕食者有利.这个结果称为这个结果称为沃特拉原理沃特拉原理.15沃特拉模型的局限性沃特拉模型的局限性虽然沃特拉模型可以解释一些现象虽然沃特拉模型可以解释一些现象,但是作为近似反映现实但是作为近似反映现实对象的一个模型对象的一个模型,它还有不少的局限性它还有不少的局限性:1.许多生态学家指出许多生态学家指出,多数食饵多数食饵捕食者系统观察不到沃捕食者系统观察不到沃特拉模型所显示的这种周期震荡特

15、拉模型所显示的这种周期震荡,而是趋于某种平衡状态而是趋于某种平衡状态,即系统存在渐近稳定的平衡点即系统存在渐近稳定的平衡点.我们知道我们知道,沃特拉模型是沃特拉模型是在假设食饵指数增长的情形下得到的在假设食饵指数增长的情形下得到的.实际上实际上,我们只有我们只有在沃特拉模型中加入反映阻滞作用的在沃特拉模型中加入反映阻滞作用的Logistic项即可项即可:(7) )1()( )1()(2211222222111111 NxNxxrtxNxNxxrtx 2.一些生态学家认为一些生态学家认为,自然界中长期存在的呈周期变化的生态平自然界中长期存在的呈周期变化的生态平衡系统应该是结构稳定的衡系统应该是结

16、构稳定的,即系统受到干扰后即系统受到干扰后,由于内部的制约由于内部的制约作用会使系统恢复原状作用会使系统恢复原状.而沃特拉模型却是一旦离开了某条闭而沃特拉模型却是一旦离开了某条闭轨轨,就会进入另外一条闭轨线就会进入另外一条闭轨线,不可能恢复原状不可能恢复原状.16种群的相互竞争模型种群的相互竞争模型 )1()( )1()(2211222222111111 NxNxxrtxNxNxxrtx 种群的相互依存模型种群的相互依存模型设种群甲可以独立存在设种群甲可以独立存在,按按Logistic规律生长规律生长,种群乙为种群乙为甲提供食物或帮助甲提供食物或帮助,有助于甲的生长有助于甲的生长;种群乙没有甲

17、的种群乙没有甲的存在会灭亡存在会灭亡;甲为乙提供食物甲为乙提供食物.于是模型为于是模型为 )1()( )1()(2211222222111111 NxNxxrtxNxNxxrtx 17最佳捕鱼策略最佳捕鱼策略(96A题题) 为了保护人类赖以生存的自然环境为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源可再生资源(如渔业如渔业,林林业资源业资源)的开发必须适度的开发必须适度,一种合理、简化的策略是，在实现可一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。 考虑对某种鱼考虑对某种鱼(鳀鳀鱼鱼 )的最佳捕捞策略的最佳捕捞策略: 假设这种鱼

18、分假设这种鱼分4个年龄组个年龄组,称称1龄鱼龄鱼,4龄鱼龄鱼, ,各年龄组每条各年龄组每条鱼的平均重量分别为鱼的平均重量分别为 5.07, 11.55, 17.86, 22.99( (克克),),各年龄组各年龄组鱼的自然死亡率均为鱼的自然死亡率均为 0.8(1/(1/年年),),这种鱼为季节性集中产卵繁这种鱼为季节性集中产卵繁殖殖, ,平均每条平均每条4 4龄鱼的产卵量为龄鱼的产卵量为 1.109109( (个个),3),3龄鱼的产卵龄鱼的产卵量为这个数目的一半量为这个数目的一半,2,2龄鱼和龄鱼和1 1龄鱼不产卵龄鱼不产卵, ,产卵和孵化期在产卵和孵化期在每年的最后每年的最后4 4个月个月, ,卵孵化并成活为卵孵化并成活为1 1龄鱼龄鱼, ,成活率成活率(1(1龄鱼条数龄鱼条数与产卵量与产卵量 n n 之比之比) )为为 1.22 1011 /(1.22 1011+n).18 渔业部门规定渔业部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的每