自动控制原理第六讲

1、频域分析法的基本思想：把控制系统中的各个变量看成为一些信号，而这些信号又是许多不同频率的正弦信号合成的；各个变量的运动就是系统对不同频率的信号的响应的总和。频域分析法的优点：物理意义明确；可以用实验方法求出对象的数学模型；频域分析法的计算量小；由于采用作图，有很强的直观性。6.1 频率特性6.1.1 频率特性的概念对于线性定常系统，在零初始条件下，输入信号为r(t)=A1sin(t+1)=A1ej(t+1)，稳态后，输出信号为c(t)=A2sin(t+2)=A2ej(t+2)。设系统的脉冲响应为h(t)，则输出信号可由卷积公式得 c(t)=A2ej(t+2)=h(t) *r(t)=h(t)*A

2、1ej(t+1) =A1ej(t+1) (j); 由 A2ej(t+2)=A1ej(t+1) (j)得 (j)= A2ej(t+2)/A1ej(t+1) =A2/A1 ej(2-1) =A()ej()deheAdeAhjtjtj)()()1(1)1)(1 系统的频率特性函数(j) 含义：稳态下正弦输出信号的复数符号与正弦输入信号的复数符号之比。 系统的幅频特性：A()=A2/A1 含义：正弦输出信号的振幅与正弦输入信号的振幅之比； 系统的相频特性：()=2-1 含义：正弦输出信号对于正弦输入信号的相位领先量。设系统的脉冲响应为h(t)，则输出信号可由卷积公式得 c(t)=h(t) *r(t)进

3、行傅里叶变换得 )()()(jRjjC)()()(jRjCj C(j)：输出信号的傅里叶变换； R(j)：输入信号的傅里叶变换； (j)：系统的频率特性函数。 新定义：当输入信号与输出信号为非周期函数时，频率特性函数为输出信号的傅里叶变换象函数与输入信号的傅里叶变换象函数之比。6.1.2 频率特性的几何表示 频率特性的表示： (j)= |(j)|ej()=A()ej() =U()+jV() =A()cos()+jA()sin()； 实频特性 U()=A()cos()； 虚频特性 V()=A()sin()； 幅频特性 ； 相频特性 。 )()()(| )(|22VUAj)()(arctan)(U

4、V 频率特性G(j)与传递函数G(s)的关系对于如图所示RC网络 ，TRC。设输入一正弦信号 ，则输入的拉氏变换为而输出的拉氏变换为11)()()(TssUsUiosGtUtuinisin)(22)(sUiinsU2211)()()(sUTsioinsUsGsU对上式进行拉氏反变换得输出的时域表达式显然稳态输出为： 频率特性：TtetuTUTTUoinTtinarctan)sin()(222211)sin()(221tuTUoin2211)(TA则幅频特性为：输入的幅值输出的幅值Tarctan)(:12为相频特性输出与输入的相角之差)()()(jeAjG另一方面, 系统传递函数当取s=j把上式

5、化成指数函数形式得： 因此，1111|)(TjjsTsjssGTjTjsesGarctan1122|)(TTarctan2211幅角为，该复数的模为显然，)()(),(|)(|GArgAsGjsjssGjG)()( 频率特性一个重要的优点：是可以用图象表示。从频率特性图象上很方便地得到关于系统稳定性和动态特性的一些信息。应用广泛的有幅相频率特性图、对数频率特性图和对数幅相特性图。1 幅相频率特性图幅相频率特性图（极坐标图，又称奈奎斯特(Nyquist)图） 特点：当:0时，将其幅频特性A()和相频特性()同时表示在复平面上。 (j)=A()ej()可看作向量，幅值为A()，相位为()。 当:0

6、时，该向量的端点将在复平面上画出一条曲线，即幅相频率特性图。例例 6.1 绘制惯性环节的幅相图解解 频率特性函数为 实频特性 虚频特性 TssG11)(222211111)()(TTjTTjsGjGjs2211)(TU221)(TTV幅频特性 相频特性 ()= arctan(V()/U()=-arctanTNyqiust图： 222211 )()()(|)(|TVUAj2 对数频率特性图对数频率特性图（又称伯德(Bode)图） 将角频率和幅频特性函数|G(j)|都取对数，记 L()：对数幅频特性函数。 ()：对数相频特性函数。（注意：不取对数） 对数频率特性函数：总称。)( )arg)(dB)

7、 )(lg20)(lgoG(jjGL Bode图：对数幅频特性图和对数相频特性图同画在一张图上，共用一个横坐标轴。但坐标轴上所标的仍是值，以便读取实际角频率值。 的单位为十倍频程(dec)。 注意：十倍频程只用于度量的某两个值之差，而不是用于度量一个值本身。如： 如果=10，因而=1,并不说等于1个十倍频程。 若2=101（因而2=1+1），则常说2比1高1个十倍频程，或2比1高1个十倍频程。 若a=500，b=5（因而a=b+2），就说a与b相差2个十倍频程。 例例6.2 绘制惯性环节近似的对数频率特性图解解 惯性环节的频率特性函数为 得 当从零到无穷取值时，计算出相应的对数值，即可绘制出B

8、ode图。 TssG11)()arctan(2)(1111)()(TjjseTTjsGjG)( arctan)()(dB) )(1lg20)(lg20)(o2TjArgGTjGL工程上采用近似画法： 当1/T，对数幅频特性可近似为 L()-20lg1=0 (dB) 即：当频率很低时，对数幅频特性可以用零分贝线近似表示。 当1/T，对数幅频可近似表示为 L()-20lgT (dB) 即：当频率很高时，对数幅频特性可用一条直线来近似，直线斜率为-20dB/dec，即每增加10倍，L()减少20dB。22)/1(1lg20)(1lg20)(lg20)(TTjGLBode图为 L()-20lgT L(

9、1)-20lg1T, 设2=101， L(2)-20lg101T=-20 -20lg1T即每增加10倍，L()减少20dB，直线斜率为-20dB/dec。采用Bode图的优点 可以展宽视界。在例6.1中，高频区|G(j)|的值很小，而且挤在一小段，看不清变化规律；在例6.2中，高频区、低频区都被展宽，变化规律看得清楚。 曲线形状比较简单，容易画。 当两个频率特性函数相乘时，只需要把对数频率特性曲线相加。3 对数幅相特性图(Nichols图) 以对数幅频特性L作纵坐标，以对数相频特性作横坐标，以角频率为参变量绘制的频率特性图。 Nichols图与Bode图的区别 Nichols图以对数相频特性作

10、横坐标； Bode图以lg为横坐标。例6.3 绘制惯性环节近似的对数幅相图。 解 对数幅频特性 对数相频特性 当:0，计算出相应的L()和()，即可绘制Nichols图。TssG11)()( arctan)()(dB) )(1lg20)(lg20)(o2TjArgGTjGLNichols图： 6.2 典型环节的频率特性1 比例环节比例环节 传递函数 G(s)=K, 频率特性函数 G(j)=K, 幅频特性 |G(j)|=K, 相频特性 ()=0, 对数幅频特性 L()=20lgK 对数相频特性 ()=0 比例环节的Bode图 L()20lgK0 dB110()0o1102 积分环节积分环节 传递

11、函数 G(s)=1/s，G(s)=K/s 频率特性函数 G(j)=1/j=-j1/,G(j )=-jK/ 幅频特性 |G(j)|=1/, |G(j)|=K/ 相频特性 ()=-90 对数幅频 L()=20lg1/=-20lg (dB) L()=20lgK/ (dB) 对数相频 ()=arctan(V()/U()=-90积分环节的Bode图 L()0dB=1()0o-90o3 振荡环节振荡环节 传递函数 自然振荡频率1/T0,01。 频率特性 对数幅频 (dB) 对数相频特性 () 121)(22TssTsG22222222)2()1 (21 1)(2)(1)(TTTjTjTjTjG2222)2

12、()1 (lg20)(TTL2212arctan)(TT 当1/T，忽略T， 对数幅频特性为 L()20lg1=0 (dB)； 当1/T，忽略1和2T， 对数幅频特性为 L()-20lgT22=-40lgT (dB). 当1/T，=0； 当=1/T，=-90o； 当1/T，=-180o。 2222)2()1 (lg20)(TTL2212arctan)(TT振荡环节的Bode图： 4 理想微分环节理想微分环节 传递函数 G(s)=s； 频率特性函数 G(j)=j； 对数幅频特性 L()=20lg； 对数相频特性 ()=90o。 L()0dB=1()90o0o5 一阶微分环节一阶微分环节 传递函数

13、 G(s)= ； 频率特性函数 G(j)= ； 对数幅频特性 (dB) 对数相频特性 () 当 ， L()20lg1=0(dB); ()=0; 当 ， L()=10lg2 (dB); ()=45; 当 ， 。1s1j1lg20)(22Larctan)(/1/1/1o90)(dB); lg20)(L一阶微分环节的Bode图6 最小相位系统 最小相位系统：传递函数的极点和零点均在左半s平面的系统。 非最小相位系统：传递函数有极点和（或）零点在右半s平面的系统。 最小相位系统 Ga(s)=(1+T2s)/(1+T1s) Ga(j)=(1+jT2)/(1+jT1) 非最小相位系统 Gb(s)=(1-T

14、2s)/(1+T1s) Gb(j)=(1-jT2)/(1+jT1) 0T21)，又在负轴两侧以夹角各画一条辐射线，这两条圆弧与这两条直线构成一个扇台形；尽量增大Kg和，而保持系统开环频率特性曲线不进入这个扇台形，这样得到的最大的Kg(以dB表示）和（以度表示）就称为该系统的幅值裕度和相角裕度。 含义：如果一个稳定系统的开环频率特性的模增大到Kg倍，或角减小，或者模和角同时变化，则变化后的开环频率特性曲线仍可不包围-1点，即系统仍然保持稳定。注意： 开环频率特性曲线包围-1点，不能使用幅值裕度和相角裕度概念； 不稳定的系统谈不上稳定裕度，也就没有幅值裕度和相角裕度。 上述关于幅值和相角裕度的定义

15、，有时使用不方便。主要的不便之处是同一系统的稳定裕度不唯一。6.5.2 幅值裕度h（增益裕量）1 名词 相位交界点：开环幅相特性曲线G(j)H(j)与负实轴的交点。 相位交界频率：相位交界点处的角频率g，即 ArgG(jg)H(jg)=-180。2 定义 增益裕量：g上开环幅频特性幅值的倒数称为增益裕量Kg，即Kg=1/|G(jg)H(jg)|。 含义：如果一个稳定系统的开环频率特性的模增大到Kg倍，但角不变，则变化后的开环频率特性曲线仍可不包围-1点，即系统仍然保持稳定。 或者说，系统在变到临界稳定时，系统的增益还能增大多少。上式若用对数形式表示， 则有h=-20lg|G(jg)H(jg)|

16、即教材上的幅值裕度h。6.5.3 相角裕度（相角裕量）1 名词 增益交界点：开环幅相曲线G(j)H(j)与以原点为圆心的单位圆的交点。 增益交界频率c：增益交界点上的角频率c，即 |G(jc)H(jc)|=1。2 定义与计算 相角裕度：在增益交界频率c上，使G(j)H(j)曲线穿过(-1,j0)点（即达到临界稳定状态）尚可增加的迟后相角量。 相角计算公式： Arg G(jc)H(jc)+(-)=-180, Arg G(jc)H(jc)=(c), =180+(c)。含义：一个稳定系统的开环频率特性的模不变，角滞后，则变化后的开环频率特性曲线仍可不包围-1点，即系统仍然保持稳定。6.5.4 稳定裕

17、度与系统阶跃响应的关系 稳定裕度过小，阶跃响应往往剧烈，振荡倾向较严重； 稳定裕度过大，阶跃响应往往迟缓。 正确设计系统的稳定裕度可以使控制系统具有适当的动态性能。 工程上一般，相角裕度在30至60之间，增益裕度大于6dB。6.5.5 Bode图上稳定裕度的求法 相角裕度 在对数幅频特性曲线L()通过0dB的角频率c上，对数相频特性曲线()高于-180线的距离就是相角裕度。 幅值裕度 在对数相频特性曲线()通过-180的角频率g上，对数幅频特性曲线L()低于0dB线的距离就是幅值裕度。6.6 基于基于Matlab的频率特性图绘制的频率特性图绘制6.6.1 Nyquist曲线曲线例例6.6 已知

18、单位反馈控制系统的开环函数1）G(s)=1/s(1+2s)；2) G(s)=1/s2(1+2s)； 试画出开环幅频特性图，并分析系统的稳定性。解解 这两个系统都没有开环右极点，P=0;1）num=1;den=2,1,0; nyquist(num,den)得到的Nyquist图为 当:0+时，开环幅相曲线不包围(-1,j0)点，N=0,闭环系统稳定。-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-40-30-20-10010203040System: sysReal: -1.87Imag: -7.05Frequency (rad/sec): 0.133System:

19、sysReal: -1.97Imag: 16Frequency (rad/sec): -0.0619System: sysReal: -0.732Imag: -0.56Frequency (rad/sec): 0.66System: sysReal: -1.99Imag: -37.4Frequency (rad/sec): 0.0268Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis2) num=1;den=2,1,0,0; nyquist(num,den)得到的图为 当:0时，开环幅相曲线顺时针包围(-1,j0)点，N=-1，闭环右极点Z=P-2N=2，闭环不稳定

20、。Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50-4-3-2-101234System: HReal: -4.45Imag: 3.35Frequency (rad/sec): 0.38System: HReal: -0.0165Imag: 0.064Frequency (rad/sec): 1.95System: HReal: -4.07Imag: -3.17Frequency (rad/sec): -0.393System: HReal: -1.18Imag: -1.39Frequency (rad/

21、sec): -0.5966.6.2 Bode图图例例6.8 画出所示系统的开环对数频率特性图，计算幅值裕度和相位裕度。解解 num1=25 100;den1=2 1 0; num2=1;den2=0.02 1; num3,den3=series(num1,den1,num2,den2); num,den=series(num3,den3,num2,den2); bode(num,den)2)02.01)(21()25.01(100)(sssssG所得Bode图为 由图知 幅值裕度h16.4dB 相位裕度180-133=47Bode DiagramFrequency (rad/sec)-100-50050100System: sysFrequency (rad/sec): 12.9Magnitude (dB): -0.443System: sysFrequency (rad/sec): 45.2Magnitude (dB): -16.4Magnitude (dB)10-210-1100101102103-270-225-180-135-90System: sysFrequency (rad/sec): 47.3Phase (deg): -181System: sysFrequency (rad/sec