最新高中数学-课时提升作业十三4.2

1、温馨提示： 此套题为word版，请按住ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭word文档返回原板块。课时提升作业 十三用数学归纳法证明不等式举例一、选择题(每小题6分,共18分)1.用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+12n<1314(n2,nn+)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边()a.增加了一项12(k+1)b.增加了两项12k+1和12k+2c.增加了b中两项但减少了一项1k+1d.以上各种情况均不对【解析】选c.因为n=k时,左边=1k+1+1k+2+12k,n=k+1时,左边=1k+2+1k+3+12k+12k+1+12k+2,所以增

2、加了两项12k+1和12k+2,少了一项1k+1.2.(2016·淮南高二检测)用数学归纳法证明“2n>n2+1对于nn0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()a.2b.3c.5d.6【解析】选c.当n4时,2n<n2+1;当n5时,2n>n2+1.于是n0应取5.【补偿训练】用数学归纳法证明2nn2(n5,nn+)成立时第二步归纳假设的正确写法是()a.假设n=k时命题成立b.假设n=k(kn+)时命题成立c.假设n=k(k5)时命题成立d.假设n=k(k>5)时命题成立【解析】选c.由题意知n5,nn+,所以应假设n=k(k5)时命题成立.

3、3.(2016·长春高二检测)证明1+12+13+12n-1>n2(nn*),假设当n=k时成立,当n=k+1时,左端增加的项数为()a.1项b.k-1项c.k项d.2k项【解析】选d.当n=k时,不等式左端为1+12+13+12k-1,当n=k+1时,不等式左端为1+12+13+12k-1+12k+12k+1-1,左端增加了12k+12k+1-1,共2k项.二、填空题(每小题6分,共12分)4.用数学归纳法证明“2n+1n2+n+2(nn+)”时,第一步的验证为_.【解析】当n=1时,21+112+1+2,即44成立.答案:21+112+1+25.(2016·南昌高

4、二检测)已知1+2×3+3×32+4×33+n·3n-1=3n(na-b)+c对一切nn*都成立,则a=_,b=_,c=_.【解析】当n=1时,3a-3b+c=1,当n=2时,18a-9b+c=7,当n=3时,81a-27b+c=34,解得,a=12,b=c=14.答案:121414三、解答题(每小题10分,共30分)6.(2016·广州高二检测)证明:1+122+132+1n23n2n+1(nn*).【证明】(1)当n=1时,不等式为11,显然成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即1+122+132+1k23k2k+1.那么,当n=k+1时

5、,1+122+132+1k2+1(k+1)23k2k+1+1(k+1)2,而3k2k+1+1(k+1)2-3k+32k+3=3k(k+1)2(2k+3)+(2k+1)(2k+3)-(3k+3)(2k+1)(k+1)2(2k+1)(k+1)2(2k+3)=k2+2k(2k+1)(k+1)2(2k+3)>0,即3k2k+1+1(k+1)2>3k+32k+3,所以1+122+132+1k2+1(k+1)23(k+1)2(k+1)+1,即当n=k+1时不等式也成立.综合(1)(2)得,不等式对一切正整数n都成立.7.(2016·济南高二检测)求证:1n+1+1n+2+1n+3+1

6、3n>56(n2,nn+).【解题指南】本题由n=k到n=k+1时的推证过程中,n=k时,首项是1k+1,尾项是13k,分母是从k+1开始的连续正整数,因而当n=k+1时,首项应为1k+2,尾项是13(k+1),与n=k时比较,13k后面增加13k+1,13k+2,13k+3共三项,而不只是增加13(k+1)一项,且还减少了一项1k+1.【证明】(1)当n=2时,左边=13+14+15+16=5760>56,不等式成立.(2)假设n=k(k2,kn+)时,不等式成立,即1k+1+1k+2+13k>56,则当n=k+1时,1(k+1)+1+1(k+1)+2+13k+13k+1+

7、13k+2+13k+3=1k+1+1k+2+13k+13k+1+13k+2+13k+3-1k+1>56+13k+1+13k+2+13k+3-1k+1>56+13k+3+13k+3+13k+3-1k+1=56+33(k+1)-1k+1=56.所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2),知原不等式对一切n2且nn+都成立.8.数列an满足sn=2n-an(nn+).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an.(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.【解析】(1)a1=1,a2=32,a3=74,a4=158,由此猜想an=2n-12n-1(nn+).(2)当n=1时,

8、a1=1,结论成立.假设n=k(k1)时,结论成立,即ak=2k-12k-1,那么当n=k+1时,ak+1=sk+1-sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.所以2ak+1=2+ak,所以ak+1=2+ak2=2+2k-12k-12=2k+1-12k.这表明当n=k+1时,结论成立.所以an=2n-12n-1(nn+).一、选择题(每小题5分,共10分)1.用数学归纳法证明:1+12+13+12n-1<n(nn+且n>1)第一步验证n=2时,左边的项为()a.1b.1+12c.13d.1+12+13【解析】选d.当n=2时,左边最后一项为12×2-1

9、=13,所以左边的项为1+12+13.2.(2016·济南高二检测)已知数列an的前n项和为sn,且sn=2n-an(nn*),若已经算出a1=1,a2=32,则猜想an=()a.2n-1nb.n+1nc.2n-12n-1d.2n-12n-1【解析】选d.因为a1=1,a2=32,由s3=1+32+a3=6-a3,所以a3=74,同理,a4=158.猜想,得an=2n-12n-1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·太原高二检测)在abc中,不等式1a+1b+1c9成立;在四边形abcd中,不等式1a+1b+1c+1d162成立;在五边形abcde中,不等式1

10、a+1b+1c+1d+1e253成立.猜想在n边形a1a2an中,类似成立的不等式为_.【解析】由题中已知不等式可猜想:1a1+1a2+1a3+1ann2(n-2)(n3且nn*).答案:1a1+1a2+1a3+1ann2(n-2)(n3且nn*)4.设a,b均为正实数,nn+,已知m=(a+b)n,n=an+nan-1b,则m,n的大小关系为_提示:利用贝努利不等式,令x=ba.【解析】由贝努利不等式(1+x)n>1+nx(x>-1,且x0,n>1,nn+),知当n>1时,令x=ba,所以1+ban>1+n·ba,所以a+ban>1+n·

11、;ba,即(a+b)n>an+nan-1b,当n=1时,m=n,故mn.答案:mn三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·苏州高二检测)已知函数f(x)=13x3-x,数列an满足条件:a11,且an+1f(an+1),证明:an2n-1(nn+).【证明】由f(x)=13x3-x,得f(x)=x2-1.因此an+1f(an+1)=(an+1)2-1=an(an+2).(1)当n=1时,a11=21-1,不等式成立.(2)假设当n=k(k1)时,不等式成立,即ak2k-1.当n=k+1时,ak+1ak(ak+2)(2k-1)(2k-1+2)=22k-1.又k1,所以

12、22k2k+1,所以当n=k+1时,ak+12k+1-1,即不等式成立.根据(1)和(2)知,对任意nn+,an2n-1都成立.6.在数列an中,a1=2,an+1=an+2n+1(nn+).(1)求证an-2n为等差数列.(2)设数列bn满足bn=2log2(an+1-n).(nn+)证明:1+1b11+1b21+1b31+1bn>n+1(nn+).【证明】(1)由an+1=an+2n+1得(an+1-2n+1)-(an-2n)=1,因此an-2n是等差数列.(2)an-2n=(a1-2)+(n-1)=n-1,即an=2n+n-1,bn=2log2(an+1-n)=2n.下面用数学归纳法证明32·54·76··2n+12n>n+1.当n=1时,左端=32>2=右端,不等式成立;假设n=k(k1)时不等式成立,即32·54·76··2k+12k>k+1,当n=k+1时,32·