大学物理_热学基础

1、第三篇第三篇热热 学学 基基 础础 一一 了解了解气体分子热运动的图像气体分子热运动的图像 . 二二 理解理解理想气体的压强公式和温度公式，理想气体的压强公式和温度公式， 通通过推导气体压强公式，了解从提出模型、进行统计过推导气体压强公式，了解从提出模型、进行统计平均、建立宏观量与微观量的联系，到阐明宏观量平均、建立宏观量与微观量的联系，到阐明宏观量的微观本质的思想和方法的微观本质的思想和方法 . 能从宏观和微观两方面能从宏观和微观两方面理解压强和温度等概念理解压强和温度等概念 . 了解系统的宏观性质是微了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现观运动的统计表现 . 三三 了解了解自由度概念，自由

2、度概念，理解理解能量均分定理，会能量均分定理，会计算理想气体（刚性分子模型）计算理想气体（刚性分子模型） 的内能的内能 . 五五 了解了解气体分子平均碰撞次数和平均自由气体分子平均碰撞次数和平均自由程程 . 四四 了解了解麦克斯韦速率分布律、麦克斯韦速率分布律、 速率分布速率分布函数和速率分布曲线的物理意义函数和速率分布曲线的物理意义 . 了解了解气体分子气体分子热运动的三种统计速度热运动的三种统计速度 . 物理学的热力学与统计物理，涉及到物理学的热力学与统计物理，涉及到宏观宏观与与微微观观两个层次两个层次 . 宏观理论热力学的两大基本定律宏观理论热力学的两大基本定律: 第一定律第一定律, 即

3、即能量守恒定律能量守恒定律; 第二定律第二定律, 即熵增加定律即熵增加定律 . 科学家进一步追根问底科学家进一步追根问底, 企图从分子和原子的微企图从分子和原子的微观层次上来说明物理规律观层次上来说明物理规律, 气体分子动理学理论应运气体分子动理学理论应运而生而生 . 玻尔兹曼玻尔兹曼与与吉布斯吉布斯发展了经典统计物理发展了经典统计物理 . 热力学与统计物理的发展热力学与统计物理的发展, 加强了物理学与化学加强了物理学与化学的联系的联系, 建立了物理化学这一门交叉科学建立了物理化学这一门交叉科学 .引引 言言 研究方法研究方法1. 热力学热力学 宏宏观观描述描述 实验经验总结，实验经验总结，

4、给出宏观物体热现象的规律，给出宏观物体热现象的规律，从能量观点出发，分析研究物态变化过程中热功转从能量观点出发，分析研究物态变化过程中热功转换的关系和条件换的关系和条件 . 1）具有可靠性；具有可靠性； 2）知其然而不知其所以然；知其然而不知其所以然； 3）应用宏观参量应用宏观参量 .特点特点研究对象研究对象 热运动热运动 : 构成宏观物体的大量微观粒子的永不构成宏观物体的大量微观粒子的永不休止的无规运动休止的无规运动 .热现象热现象 : 与温度有关的物理性质的变化。与温度有关的物理性质的变化。2. 气体动理学理论气体动理学理论 微微观描述观描述 研究大量数目的做热运动的粒子系统，应用研究大量

5、数目的做热运动的粒子系统，应用模型假设和统计方法模型假设和统计方法 .两种方法的关系两种方法的关系气体动理学理论气体动理学理论热热力学力学相辅相成相辅相成 1）揭示宏观现象的本质；揭示宏观现象的本质； 2）有局限性，与实际有偏差，不可任意推广有局限性，与实际有偏差，不可任意推广 .特点特点6-1 气体动理学的基本概念气体动理学的基本概念一一 热力学系统热力学系统(简称系统简称系统)热力学系统热力学系统: 由大量微观粒子组成的宏观物质由大量微观粒子组成的宏观物质系统系统外界或周围外界或周围: 与系统有相互作用与系统有相互作用(交换能量或交交换能量或交换质量换质量)的其他物体的其他物体孤立系统孤立

6、系统(绝缘系统绝缘系统): 系统与外界不发生任何系统与外界不发生任何相互作用相互作用封闭系统封闭系统: 系统与外界只交换能量系统与外界只交换能量, 不交换质量不交换质量开放系统开放系统: 系统与外界既可以交换能量系统与外界既可以交换能量, 又可以又可以交换质量交换质量 宏观物体都是由宏观物体都是由大量大量不停息地运动着的、彼此不停息地运动着的、彼此有相互作用的分子或原子组成有相互作用的分子或原子组成 . 利用扫描隧道显利用扫描隧道显微镜技术把一个个原微镜技术把一个个原子排列成子排列成 IBM 字母字母的照片的照片. 现代的仪器已可以观察和测量分子或原子的大现代的仪器已可以观察和测量分子或原子的

7、大小以及它们在物体中的排列情况小以及它们在物体中的排列情况, 例如例如 X 射线衍射射线衍射仪仪,电子显微镜电子显微镜, 扫描隧道显微镜等扫描隧道显微镜等. 对于由对于由大量大量分子组成的热力学分子组成的热力学系统系统从从微微观上加观上加以研究时以研究时, 必须用必须用统计统计的方法的方法.二二 物质的微观模型物质的微观模型123Amol10)36(0221367.6N1 分子的数密度和线度分子的数密度和线度 阿伏伽德罗常数：阿伏伽德罗常数：1 mol 物质所含的分子（或原物质所含的分子（或原子）的数目均相同子）的数目均相同 .例例 常温常压下常温常压下319cm/1047. 2氮n322cm

8、/1030. 3水n例例 标准状态下氧分子标准状态下氧分子直径直径 m10410d分子间距分子间距分子线度分子线度10分子数密度（分子数密度（ ）：单位体积内的分子数目）：单位体积内的分子数目.n2分分 子子 力力3分子热运动的无序性分子热运动的无序性 热运动：大量实验事实表明分子都在作永不停热运动：大量实验事实表明分子都在作永不停止的无规运动止的无规运动 .例例 : 常温和常压下的氧分子常温和常压下的氧分子m/s450v0,m109Fr 当当 时，分子力主时，分子力主要表现为斥力；当要表现为斥力；当 时，时，分子力主要表现为引力分子力主要表现为引力.0rr0rr0rorFm10100r分子力

9、分子力s /1010次次z碰撞碰撞频度频度:三三 宏观量与微观量宏观量与微观量宏观量宏观量: 可观测量可观测量, 大量分子无规运动的集体大量分子无规运动的集体效应和平均效果效应和平均效果. 例例: 气体的温度气体的温度, 压强压强, 内能和热容量等内能和热容量等.宏观状态宏观状态: 用可观测的宏观量表征的系统状态用可观测的宏观量表征的系统状态微观状态微观状态: 在一定的宏观状态下在一定的宏观状态下, 系统内分子不系统内分子不停地进行无规运动停地进行无规运动, 对应于系统处于不同的力对应于系统处于不同的力学状态学状态.某一宏观状态某一宏观状态, 对应着大量的不同的微观状态对应着大量的不同的微观状

10、态微观量微观量: 表征系统微观状态的物理量表征系统微观状态的物理量例例: 某一时刻分子的速度某一时刻分子的速度, 动能等动能等 对于由大对于由大量分子组成的量分子组成的热力学系统从热力学系统从微观上加以研微观上加以研究时，必须用究时，必须用统计的方法统计的方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 小球在伽小球在伽尔顿板

11、中的分尔顿板中的分布规律布规律 .四四 统计规律性统计规律性 统计规律统计规律 当小球数当小球数 N 足够大时小球的分布具有足够大时小球的分布具有统计规律统计规律.设设 为第为第 格中的粒子数格中的粒子数 .iNiNNiNi lim 概率概率 粒子在第粒子在第 格中格中出现的可能性大小出现的可能性大小 .i1iiiiNN归一化条件归一化条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiNN粒子总数粒子总数当测量次数无限增加时当测量次数无限增

12、加时, 某一物理量某一物理量 的平均的平均值值, 称为统计平均值称为统计平均值, 简称平均值简称平均值, 定义为定义为: v.21 iNNNN为测量的总次数为测量的总次数,相当于系统在某一宏观状态相当于系统在某一宏观状态时对应的微观状态的总和时对应的微观状态的总和NvNvNvNvii.lim2211 NiiivNN lim N一般地一般地微观状态微观状态 i 出现的概率出现的概率: 统计平均值统计平均值:若物理量连续取一切可能值若物理量连续取一切可能值, NNWiilim NiiiWvv 加权平均加权平均dvvvfvdWv)(0 dvvfNdNdW)( NdNvdvvv dN:表示物理量表示物

13、理量 取值在取值在 的微观状态数的微观状态数N占总微观状态数占总微观状态数 的百分率的百分率.分布函数分布函数 的物理意义的物理意义: )(vf物理量物理量 取值在取值在 附近单位附近单位量值区间内的微观状态数占总数的百分率量值区间内的微观状态数占总数的百分率vv对于微观状态出现的概率对于微观状态出现的概率:归一化条件归一化条件1 NNNNWiiiiii或者或者:1)(0 dvvfNdNdW一一 状态参量及其单位状态参量及其单位（宏观量宏观量）TVp, 1 气体压强气体压强 ：作用于容器壁上：作用于容器壁上单位面积的正压力（单位面积的正压力（力学力学参量）参量）.p 单位：单位：2mN1Pa1

14、 2 体积体积 : 气体所能达到的最大空间（气体所能达到的最大空间（几何几何参参量）量）. 3333dm10L10m1V单位：单位：Pa10013. 1atm15标准大气压：标准大气压： 纬度海平面处纬度海平面处, 时的大气压时的大气压.45C06-2 理想气体状态方程理想气体状态方程二二 平衡状态平衡状态平衡状态平衡状态: 在不受外界在不受外界影响影响的条件下的条件下, 宏观性质宏观性质不随时间而改变的状态不随时间而改变的状态非平衡状态非平衡状态:说明说明:1) 不受外界影响是指外界对系统既无能量交换不受外界影响是指外界对系统既无能量交换(不作功和传热不作功和传热), 又无质量又无质量(粒子

15、数粒子数)交换交换 3 温度温度 : 气体冷热程度的量度（气体冷热程度的量度（热学热学参量）参量）. TtT15.273单位：温标单位：温标 （开尔文）（开尔文）.K热力学温标热力学温标(绝对温标绝对温标)摄氏温标摄氏温标 华氏温标华氏温标FCttF)3259(2) 平衡状态的特点平衡状态的特点1）单一性（宏观性质处处相同）单一性（宏观性质处处相同）;2）状态的稳定性）状态的稳定性 与时间无关；与时间无关；3）自发过程的终点；）自发过程的终点；4）热动平衡（有别于静力平衡）热动平衡（有别于静力平衡）;5）平衡状态用）平衡状态用P-V图中的一个点表示图中的一个点表示.三三 准静态过程准静态过程

16、准静态过程：从一个平衡态到另一平衡态所经准静态过程：从一个平衡态到另一平衡态所经过的每一中间状态均可近似当作平衡态的过程过的每一中间状态均可近似当作平衡态的过程 .气体气体活塞活塞砂子砂子),(111TVp),(222TVp1V2V1p2ppVo12（理想化的过程）（理想化的过程）四四 理想气体状态方程理想气体状态方程理想气体宏观定义理想气体宏观定义：遵守三个实验定律的气体：遵守三个实验定律的气体 .玻意耳玻意耳-马略特定律、盖马略特定律、盖.吕萨克定律和查理吕萨克定律和查理定律定律.玻意耳玻意耳-马略特定律马略特定律在温度在温度T不变时不变时, 压强压强P与体积与体积V的乘积为恒量的乘积为恒

17、量CPV 盖盖.吕萨克定律吕萨克定律一定质量的气体的压强保持不变时一定质量的气体的压强保持不变时,体积随温度体积随温度线性变化线性变化)1 (0taVVv V0VCtC0va式中式中 和和 分别表示温度为分别表示温度为 和和 时的体时的体积积, 为气体体胀系数为气体体胀系数 状态方程：系统状态方程：系统(理想气体理想气体)平衡态宏观参量间的平衡态宏观参量间的函数关系函数关系 .222111TVpTVp对一定质量对一定质量的同种气体的同种气体1mol理想气体状态方程理想气体状态方程:查理定律查理定律一定质量气体体积保持不变时一定质量气体体积保持不变时,压强随温度线性变化压强随温度线性变化)1 (

18、0taPPp 000TVpTpV 摩尔气体常量摩尔气体常量R在标准状态下在标准状态下: :RTMpV kTmlVpaatmp16.273104 .224 .221001. 11033050 1100031.8 KmolJTVp质量质量M，摩尔质量，摩尔质量的理想气体的状态方程：的理想气体的状态方程：000TVpMTpV 理想气体方程的另一种表示理想气体方程的另一种表示设系统的总质量为设系统的总质量为M，分子总数为，分子总数为N，分子，分子质量为质量为m则则NmM 又因为又因为 一摩尔理想气体的分子数为一摩尔理想气体的分子数为 molNA/10022. 623个个 故摩尔质量故摩尔质量mNA R

19、TmNNmRTMPVA nkTTNRVNPA nkTP 理想气体方程的理想气体方程的简要形式简要形式式中：式中：Vmn 为分子数密度为分子数密度nkTTNRVNPA molKmolJNRkA/10022. 6/31. 823 nkTP 理想气体方程的理想气体方程的简要形式简要形式玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数KJk/1038. 123KJ /1038. 123五五 理想气体的等温线理想气体的等温线理想气体的温度恒定理想气体的温度恒定, 等温线为一条双曲线等温线为一条双曲线PVO321TTT T3T2T1理想气体的等温线理想气体的等温线例例6-1 图示为一种气体温度计图示为一种气体温度计.下端下端A为

20、测温泡为测温泡, 上端上端B是压强计是压强计, 两者通过导热性能很差的毛细两者通过导热性能很差的毛细管管C相连相连, 毛细管的容积比测温泡毛细管的容积比测温泡A和压强计和压强计B的容积都小很多的容积都小很多,可忽略不计可忽略不计. 测温时测温时, 先把温度先把温度BCA计在室温计在室温T0下充气到压强下充气到压强p0, 加以密加以密封封, 然后将测温泡然后将测温泡A浸入待测物质浸入待测物质. 当泡当泡A内气体与待测物质达到温度内气体与待测物质达到温度平衡后平衡后, 压强计读数为压强计读数为p, 求待测物质求待测物质的温度的温度. 1）分子可视为质点；分子可视为质点； 线度线度间距间距 ; ,m

21、1010drdr,m1092）除碰撞瞬间除碰撞瞬间, 分子间无相互作用力；分子间无相互作用力；一一 理想气体分子模型理想气体分子模型4）分子的运动遵从经典力学的规律分子的运动遵从经典力学的规律 .3）弹性质点（碰撞均为完全弹性碰撞）；弹性质点（碰撞均为完全弹性碰撞）；6-3 理想气体的压强和温度公式理想气体的压强和温度公式气体分子可以看作是大量的、自由的、无规则运动气体分子可以看作是大量的、自由的、无规则运动着的弹性小球的集合着的弹性小球的集合xvmxvm-2Avoyzxyzx1Avyvxvzvo 设设 边长分别为边长分别为 x、y 及及 z 的的长方体中有长方体中有 N 个全个全同的质量为同

22、的质量为 m 的气体分子，计算的气体分子，计算 壁面所受压强壁面所受压强 .1A二二 理想气体压强公式理想气体压强公式2）分子各方向运动概率均等分子各方向运动概率均等kjiiziyixivvvv分子运动速度分子运动速度热动平衡的统计规律热动平衡的统计规律 （ 平衡态平衡态 ）VNVNndd1）分子按位置的分布是均匀的分子按位置的分布是均匀的 大量分子对器壁碰撞的总效果大量分子对器壁碰撞的总效果 ： 恒定的、持续恒定的、持续的力的作用的力的作用 .单个分子对器壁的碰撞单个分子对器壁的碰撞 : 偶然性偶然性 、不连续性、不连续性.222231vvvvzyx各方向运动各方向运动概概率均等率均等iix

23、xN221vv 方向速度平方的平均值方向速度平方的平均值x0zyxvvv各方向运动概率均等各方向运动概率均等2）分子各方向运动概率均等分子各方向运动概率均等kjiiziyixivvvv分子运动速度分子运动速度分子施于器壁的冲量分子施于器壁的冲量ixmv2单个分子单位时间施于器壁的冲量单个分子单位时间施于器壁的冲量xmix2vxvmxvm-2Avoyzxyzx1Aixixmpv2 x方向动量变化方向动量变化两次碰撞间隔时间两次碰撞间隔时间ixx v2单位时间碰撞次数单位时间碰撞次数2xvix 单个单个分子遵循力学规律分子遵循力学规律 单位时间单位时间 N 个粒子个粒子对器壁总冲量对器壁总冲量 2

24、222xixiixiixxNmNxNmxmxmvvvvi 大量大量分子总效应分子总效应xvmxvm-2Avoyzxyzx1A 单个分子单位时间单个分子单位时间施于器壁的冲量施于器壁的冲量xmix2v器壁器壁 所受平均冲力所受平均冲力 xNmFx2v1A气体压强气体压强2xxyzNmyzFpv统计规律统计规律xyzNn 2231vvx分子平均平动动能分子平均平动动能2k21vmk32np xvmxvm-2Avoyzxyzx1A器壁器壁 所受平均冲力所受平均冲力 xNmFx2v1A231nmp k32np 统计关系式统计关系式压强的物理压强的物理意义意义宏观可测量量宏观可测量量微观量的统计平均值微

25、观量的统计平均值 压强是大量分子对时间、对面积的统计平均结果压强是大量分子对时间、对面积的统计平均结果 .分子平均平动动能分子平均平动动能2k21vmnkTp 玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数123AKJ1038. 1NRk宏观可测量宏观可测量RTMpV k32np 理想气体压强公式理想气体压强公式理想气体状态方程理想气体状态方程微观量的统计平均值微观量的统计平均值分子平均平动动能分子平均平动动能 kTm23212kv三三 理想气体温度公式理想气体温度公式温度温度 T 的物理意义的物理意义 3）在同一温度下，各种气体分子平均平动动能均）在同一温度下，各种气体分子平均平动动能均相等。相等。 热运动与宏观

26、运动的区别：温度所反热运动与宏观运动的区别：温度所反映的是分子的无规则运动，它和物体的整映的是分子的无规则运动，它和物体的整体运动无关，物体的整体运动是其中所有体运动无关，物体的整体运动是其中所有分子的一种有规则运动的表现分子的一种有规则运动的表现. 1） 温度是分子平均平动动能的量度温度是分子平均平动动能的量度 （反映热运动的剧烈程度）（反映热运动的剧烈程度）.Tk注意注意2）温度是大量分子的集体表现，谈论个别分子的温）温度是大量分子的集体表现，谈论个别分子的温度无意义度无意义.kTm23212kv方均根速率方均根速率 ：mkTv3_2ANRk RTmkTv33_2 RTv3=_2rms方均

27、根速率方均根速率, root mean square speed kTm23212kvrms（A）温度相同、压强相同。）温度相同、压强相同。（B）温度、压强都不同。）温度、压强都不同。（C）温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强）温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强.（D）温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强）温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强.nkTp 解解TmkkTVN)He()N(2mm)He()N(2pp 一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动动一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动动能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们讨讨 论论 例例6-2

28、 理想气体体积为理想气体体积为 V ，压强为，压强为 p ，温度为，温度为 T ,一个分子一个分子 的质量为的质量为 m ，k 为玻尔兹曼常量，为玻尔兹曼常量，R 为为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为：摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为：（A） （B）（C） （D）mpV)(RTpV)(kTpV)(TmpVkTpVnVNnkTp 解解例例6-3 P1atm，T300 K氧气，求氧气，求(1) 1m3中有中有多少个分子；多少个分子；(2) 氧气的质量密度；氧气的质量密度；(3)每个氧气每个氧气分子的质量；分子的质量；(4) 1m3中分子的总平均平动动能；中分子的总平均平动动能；(5)分子间

29、距分子间距 。nkTPRTMPV 解：系统是平衡态，满足解：系统是平衡态，满足引言：前面我们研究气体动能时把分子看作弹引言：前面我们研究气体动能时把分子看作弹性小球的集合，人们发现用这一模型去研究单性小球的集合，人们发现用这一模型去研究单原子气体问题时，理论与实际吻合得很好，但原子气体问题时，理论与实际吻合得很好，但是用这一模型去研究多原子分子时，理论值与是用这一模型去研究多原子分子时，理论值与实验值相差甚远。实验值相差甚远。1857年克劳修斯提出：要修年克劳修斯提出：要修改模型。即不能将所有分子都看成质点，对结改模型。即不能将所有分子都看成质点，对结构复杂的分子，我们不但要考虑其平动，而且构

30、复杂的分子，我们不但要考虑其平动，而且还要考虑分子的转动、振动等。还要考虑分子的转动、振动等。6-4 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能 下面我们来考察包括平动、转动、乃至包括振下面我们来考察包括平动、转动、乃至包括振动在内的理想气体能量。动在内的理想气体能量。 一一 自由度自由度1 何谓自由度何谓自由度-决定物体空间位置的独立坐决定物体空间位置的独立坐 标数目。标数目。举例：举例：质点在三维空间运动。质点在三维空间运动。刚体（既有平动又有转动）刚体（既有平动又有转动）决定质心决定质心-X、Y、Z1coscoscos222决定转轴决定转轴,但：但：确定角位置确定角位置确定一

31、个刚体位置要三个平动自由度、确定一个刚体位置要三个平动自由度、三个转动自由度共计六个自由度三个转动自由度共计六个自由度)6( i)(i3iXYZABC三个独立坐标。三个独立坐标。注意：独立坐标是指物体能自由运动的情形，当物体注意：独立坐标是指物体能自由运动的情形，当物体运动受到一定的限制或约束时，自由度减少。运动受到一定的限制或约束时，自由度减少。例：质点限制在某一平面内运动（如图）例：质点限制在某一平面内运动（如图）XYZ2i（多了一个方程）（多了一个方程）cy若质点沿已知曲线若质点沿已知曲线C运动运动XY1i（用一个自然坐标）（用一个自然坐标）有固定轴的门有固定轴的门-因转轴因转轴固定，质

32、心相对门的位固定，质心相对门的位置固定，所以置固定，所以1i2 气体分子的自由度气体分子的自由度理想气体的刚性分子理想气体的刚性分子A：单原子分子：单原子分子-3个自由度个自由度B：双原子分子：双原子分子决定质心决定质心-3个自由度个自由度确定转轴方位确定转轴方位-2个自由度个自由度C：三原子以上的非直线型分子：三原子以上的非直线型分子-XYZ6个自由度个自由度-视为刚体视为刚体实际气体实际气体-不能看成刚性分子，因原子之间不能看成刚性分子，因原子之间 还有振动还有振动5iXYZCc例如：氢气（例如：氢气（H2）在高温下两氢原子之间就有）在高温下两氢原子之间就有 振动，氯气（振动，氯气（Cl2

33、）在常温下便有振动。）在常温下便有振动。 这时可以看作由两质点组成的弹性谐振子这时可以看作由两质点组成的弹性谐振子 对双原子分子对双原子分子-6个自由度（加了个自由度（加了确定两原子之间相对位置的自由度）确定两原子之间相对位置的自由度）对多原子系统（对多原子系统（N 3）3个平动自由度（个平动自由度（t）3个转动自由度（个转动自由度（r）（3N-6）个振动自由度（）个振动自由度（s）i=t+r+s3N个自由度个自由度二二 气体能量按自由度均分原理能量均分定理气体能量按自由度均分原理能量均分定理先来分析一下单原子分子的平均平动动能先来分析一下单原子分子的平均平动动能kTvm2321_2_2_2_

34、2_231vvvvzyxm21两边同乘两边同乘)21(312121212_2_2_2vmvmvmvmzyx kTkT21)23(31上式表示沿各坐标运动的平均上式表示沿各坐标运动的平均平动动能都相等，都等于平动动能都相等，都等于: :kT21kTvmvmvmzyx21212121_2_2_2这说明，分子的平均平动动能这说明，分子的平均平动动能kT23是均匀地分是均匀地分配在对应每一个自由度的运动上的。即对应每配在对应每一个自由度的运动上的。即对应每一个自由度，就有对应的一份能量一个自由度，就有对应的一份能量kT21麦克斯韦将以上情况推广到分子的转动和振动麦克斯韦将以上情况推广到分子的转动和振动

35、, ,即对应于转动和振动的每个自由度的运动也都即对应于转动和振动的每个自由度的运动也都有一份能量有一份能量-kT21这就是这就是能量均分定理能量均分定理。能量均分定理能量均分定理-在热平衡状态下，对应气体、在热平衡状态下，对应气体、液体、固体分子中的任何一种运动形式的自由液体、固体分子中的任何一种运动形式的自由度都具有相同的平均动能度都具有相同的平均动能-kT/2。即在平衡态，一个自由度，代表一种独立的即在平衡态，一个自由度，代表一种独立的运动和一份能量运动和一份能量kT21如某种分子有如某种分子有 个平动自由度，个平动自由度， 个转动自由个转动自由度度, , 个振动自由度，则分子具有：个振动

36、自由度，则分子具有：str平均平动动能平均平动动能kTt2平均转动动能平均转动动能kTr2平均振动动能平均振动动能kTs2 为什么均分到各自由度所对应的运动能量都是为什么均分到各自由度所对应的运动能量都是KT/2呢？主要是分子不断碰撞以达到平衡态的呢？主要是分子不断碰撞以达到平衡态的结果。结果。平均平动动能平均平动动能kTt2平均转动动能平均转动动能kTr2平均振动动能平均振动动能kTs2kTsrtkTiEk22 分子的分子的平均总动能平均总动能三三 理想气体的内能理想气体的内能1、内能：气体分子各种形式能量的总和。、内能：气体分子各种形式能量的总和。),(VTEE 内能是状态量。内能是状态量

37、。2、理想气体的内能表达式、理想气体的内能表达式kTiE2 包括分子平动动能转动动能振动（动能、势能）包括分子平动动能转动动能振动（动能、势能）,动能与温度有关，势能与分子之间的距离有关，即动能与温度有关，势能与分子之间的距离有关，即与体积有关，即内能与温度、体积有关。与体积有关，即内能与温度、体积有关。刚性分子刚性分子, 不考虑分子间相互作用不考虑分子间相互作用RTikTNiEAmol22 一摩尔理想气体的内能一摩尔理想气体的内能M千克理想气体的内能：千克理想气体的内能：RTiMEMEmol2 结论：内能是温度的单值函数结论：内能是温度的单值函数-理想气体的理想气体的 另一定义。另一定义。摩

38、尔不同气体分子的摩尔不同气体分子的 内能：内能：单原子分子气体，单原子分子气体，RTEti23, 3 双原子刚性分子气体，双原子刚性分子气体，RTErti25, 5 刚性多原子分子气体，刚性多原子分子气体，RTErti26, 6 例例6-4 贮存有氮气的容器以速度贮存有氮气的容器以速度100米米/秒运动。若秒运动。若该容器突然停止，问容器中温度将升多少？该容器突然停止，问容器中温度将升多少？已知：已知：smv/100molkg /102835i求：求：?T解：依能量守恒，氮气的宏观动能将转化为解：依能量守恒，氮气的宏观动能将转化为其内能。其内能。 平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律平衡态下

39、，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。布律。6-5 麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律 统计规律统计规律实验装置实验装置一一 测定气体分子速率分布的实验测定气体分子速率分布的实验llvv2lHg金属蒸汽金属蒸汽显示屏显示屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵下面列出了氧气分子在下面列出了氧气分子在0OC时分子速率的分布情况时分子速率的分布情况)/(smv%/ NN100以下以下1.410020020030030040040050050060060070

40、07008008.116.521.420.615.19.24.88009002.0vOvNN N速率在速率在vvv区区间内的分子数间内的分子数N总分子数总分子数v 速率区间速率区间)(vfv从图中可以看出从图中可以看出:1) 每个小长方形面积代表某速率区间的分子每个小长方形面积代表某速率区间的分子数数 占总分子数的百分比占总分子数的百分比 N/N2) 所有小面积的和恒等于一。所有小面积的和恒等于一。3）当速率区间）当速率区间0v，小矩形面积的端点，小矩形面积的端点连成一函数曲线连成一函数曲线-分子速率分布函数。分子速率分布函数。)(vfvvvvOvNN v)(vfoSfNNdd)(dvvvvv

41、vvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf分布函数分布函数 表示速率在表示速率在 区间的分子数占总分子数的区间的分子数占总分子数的百分比百分比 .vvvd1d)(d00vvfNNN 归一归一化条件化条件vvv dSd 表示在温度为表示在温度为 的平衡的平衡状态下，速率在状态下，速率在 附近附近单位单位速率区间速率区间 的分子数占总数的的分子数占总数的百分比百分比 .v物理意义物理意义T二二 分子速率分布函数分子速率分布函数v)(vfo1vS2vSfNNdd)(dvvvv d)(dNfN 速率位于速率位于 内分子数内分子数vvvdvvvvd)(21fNN速率位于速率位于 区间的分子数区间的

42、分子数21vv vvvvvvd)()(2121fNNS速率位于速率位于 区间的分子数占总数的百分比区间的分子数占总数的百分比21vv vvvde)2(4d22232kTmkTmNN22232e)2(4)(vvvkTmkTmf麦氏麦氏分布函数分布函数三三 麦克斯韦气体速率分布定律麦克斯韦气体速率分布定律 反映理想气体在热动反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间平衡条件下，各速率区间分子数占总分子数的百分分子数占总分子数的百分比的规律比的规律 .vvNddNf)(v)(vfo分布函数的曲线特征及意义分布函数的曲线特征及意义vO)(vf1）分子速率在）分子速率在0内各种可能值，内各种可能值，但所占

43、比率不同，具有中等速率的分但所占比率不同，具有中等速率的分子数所占比率较大，两边的分子数所子数所占比率较大，两边的分子数所占百分比较小。占百分比较小。归一化条件：归一化条件：1)(0dvvf0)(dvvdf令2）曲线下所包围的面积为）曲线下所包围的面积为1分布函数归一化分布函数归一化。3）最概然速率（最可几速率）分布曲线的峰值所对）最概然速率（最可几速率）分布曲线的峰值所对应的速率。应的速率。0)( dvvdf令令024222/32 vekTmdvdkTmvRTRTmkTvp41.122pv3）最概然速率（最可几速率）分布曲线的峰值所对）最概然速率（最可几速率）分布曲线的峰值所对应的速率。应的

44、速率。)(vfvTpv0物理意义：在温度为物理意义：在温度为T的平衡态下，在的平衡态下，在 附近的单位附近的单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比最大。速率间隔内的分子数占总分子数的百分比最大。pv4） 的关系的关系 mTvf与与)(2T1T)(vfv12TT 10 不同温度下的同种气体不同温度下的同种气体?,2121TTorTT 112RTvp 222RTvp 21ppvv 21TT 随着温度的升高随着温度的升高, 曲线渐曲线渐趋平坦趋平坦:原因原因?21)(vfv20 同温度下的不同种气体同温度下的不同种气体?,22HO RTvp2 21ppvv 21 222,1HO是是是是思考思考:

45、物理上的原物理上的原因是什么因是什么?四四 三种统计速率三种统计速率pv1）最概然速率最概然速率mkTmkT41. 12pvRT41. 1=v)(vfopvmaxf 气体在一定温度下分布在最概然气体在一定温度下分布在最概然速率速率 附近单位速率间隔内的相对附近单位速率间隔内的相对分子数最多分子数最多 .pv物理意义物理意义提问提问:一个分子具有最概然速率的概率是多少一个分子具有最概然速率的概率是多少?NNNNNnniidddd2211vvvvv2）平均速率平均速率vNNfNNN00d)(dvvvvvmkTf8d)(0vvvvRTmkT60.160.1 vv)(vfo 任意函数任意函数 (v)对

46、对全体分子按速率分布的全体分子按速率分布的平平均值：均值： 0d)()(vvvvf vdvvvf 0)()1()(10vdvvfv 例例:3）方均根速率方均根速率2vmkT32vRTmkT332rms vvv)(vfoNNfNNN02022d)(dvvvvv2pvvvRTmkT60. 160. 1 vRTmkT22p vmkT2pvmkT8vmkT32v 同一温度下不同同一温度下不同气体的速率分布气体的速率分布2H2O0pvpHvv)(vfo N2 分子在不同温分子在不同温度下的速率分布度下的速率分布KT30011pv2pvKT12002v)(vfo2v)(vfvpvvO2vvvp三种速率比较

47、三种速率比较2vvvp三种速率均与三种速率均与 成正比成正比,与与 成反比，但三者有一成反比，但三者有一个确定的比例关系个确定的比例关系;三种速率三种速率使用于不同的场合。使用于不同的场合。mT讨论讨论 麦克斯韦速率分布中最概然速率麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念的概念 下面哪种表述正确？下面哪种表述正确？（A） 是气体分子中大部分分子所具有的速率是气体分子中大部分分子所具有的速率.（B） 是速率最大的速度值是速率最大的速度值.（C） 是麦克斯韦速率分布函数的最大值是麦克斯韦速率分布函数的最大值.（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大率

48、最大.pvpvpvpv 例例6-5 计算在计算在 时，氢气和氧气分子的方均时，氢气和氧气分子的方均根速率根速率 .rmsvC271Hmolkg002. 0 1Omolkg032. 0 11molKJ31. 8RK300TRT3rms v13rmssm1093. 1v氢气分子氢气分子1rmssm483v氧气分子氧气分子vvvvpd)(Nf1）pd)(212vvvv Nfm2） 例例6-6 已知分子数已知分子数 ，分子质量，分子质量 ，分布函数，分布函数 求求 1） 速率在速率在 间的分子数；间的分子数； 2）速率）速率在在 间所有分子动能之和间所有分子动能之和 . vv p)(vfNmpvvv

49、d)(dNfN 速率在速率在 间的分子数间的分子数vvvd 例例6-7 如图示两条如图示两条 曲线分别表示氢气和曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .vv )( fmkT2pv)O()H(22mm)O()H(2p2pvvm/s2000)H(2pv4232)H()O()O()H(222p2pmmvvm/s500)O(2pv)(vf1sm/v2000o例例6-8 设某气体的速率分布函数设某气体的速率分布函数)0(02vv v ，a )(vf)(00vv ，求：求

50、：（3）速率在）速率在200v 之间分子的平均速率之间分子的平均速率v 解：解：（1）常量）常量 a 和和 v0 的关系的关系v（2）平均速率）平均速率（1）303v a)(vfvv00为为（2）043 （3）0083 例例6-9 说出下列各式的物理意义说出下列各式的物理意义NdvdNvf )()1(NdNdvvf )()2(dvdNNNdvdNNvf )()3(NNNdNdvvfvvvv2121)()4( 2121)()5(vvvvNNdNNdvvNf vdvvvf 0)()6()1()(1)7(0vdvvfv VdNdvNdvdNVNdvvnf )()8(dNdvNdvdNNdvvNf )

51、()9(NNNdNdvvfppvv 00)()10(一一.重力场中分子浓度的分布重力场中分子浓度的分布设设 T = const.平衡时有一定分布平衡时有一定分布分子在底部分子在底部重力重力均匀均匀浓度浓度热运动热运动 n 0 z+dzzzp p+dpTnn0S薄层气体：薄层气体：底面积底面积 S，厚，厚dz，分子质量为分子质量为m，平衡时：平衡时：pSzmgnSSpp d)d(zmgnpdd 6-6 玻尔兹曼分布定律玻尔兹曼分布定律将将 p = nkT 代入上式，代入上式，zkTmgnndd nnzzkTmgnn00dd 积积分分：zkTmgnn 0ln kTmgzenn/0 kTmgzepp

52、/0 等温压强公式等温压强公式得：得：zmgnpdd 高度计的基本原理高度计的基本原理体体元元内内分分子子数数：zyxrdddd3 renNkTr3/0ddP 为为重重力力势势能能mgz p 为为势势能能零零点点）（ 0 zzx yr0r3d二二 玻尔兹曼分布定律玻尔兹曼分布定律kTmgzenn/0 重力场中重力场中:玻尔兹曼分布定律玻尔兹曼分布定律玻尔兹曼将此规律推广到一般的势场中：玻尔兹曼将此规律推广到一般的势场中：式中：式中：pE为粒子的势能，为粒子的势能，0n是势能为零处的粒子数密度。是势能为零处的粒子数密度。dxdydzenndVdNkTEp0dzzzdyyydxxx,在在体元中体元

53、中的分子数：的分子数： 自由程自由程 ： 分子两次相邻碰撞之间自由通过的分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程路程 .6-7 气体分子的平均碰撞频率和平均自由程气体分子的平均碰撞频率和平均自由程 分子分子平均碰撞次数平均碰撞次数：单位时间内一个分子和其：单位时间内一个分子和其它分子碰撞的平均次数它分子碰撞的平均次数 . 分子分子平均自由程平均自由程：每两次连续碰撞之间，一个：每两次连续碰撞之间，一个分子自由运动的平均路程分子自由运动的平均路程 .简化模型简化模型 1 . 分子为刚性小球分子为刚性小球 , 2 . 分子有效直径为分子有效直径为 （分子间距平均值），（分子间距平均值）， 3 . 其它分

54、子皆静止其它分子皆静止, 某一分子以平均相对速率某一分子以平均相对速率 相对其他分子运动相对其他分子运动 .du单位时间内平均碰撞次数单位时间内平均碰撞次数nudZ2考虑其他分子的运动考虑其他分子的运动 v2u分子平均碰撞次数分子平均碰撞次数ndZv22 分子平均碰撞次数分子平均碰撞次数ndZv22 平均自由程平均自由程 ndz221vnkTp pdkT22 一定时一定时p1 一定时一定时TpT解解pdkT22m1071. 8m10013. 1)1010. 3(22731038. 185210231m62. 6m10333. 1)1010. 3(22731038. 13210232 例例6-10 试估计下列两种情况下空气分子的平均自试估计下列两种情况下空气分子的平均自由程由程 :（1）273 K、1.013 时时 ; ( 2 ) 273 K 、1.333 时时. Pa105Pa103（空气分子有效直径（空气分子有效直径 ： ）m1010. 310d了真实气体的物态方程了真实气体的物态方程理想气体：理想气体：真实气体：真实气体：不满足理气物态方程。不满足理气物态方程。 p较大，较大，p较小，较小， 满足理气物态方程；满足理气物态方程；T 较高，较高，T 较低，较低，找真实气体物态方程的途