第5章 系统运动的稳定性分析

1、第第5 5章章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析5.1 5.1 李李雅普诺夫稳定性定义雅普诺夫稳定性定义5.25.2 李李雅普诺夫稳定性理论雅普诺夫稳定性理论5.3 5.3 线性系统的线性系统的李李雅普诺夫稳定性雅普诺夫稳定性分析分析5.45.4 非非线性系统的线性系统的李李雅普诺夫稳定性分析雅普诺夫稳定性分析* 5.55.5 李李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用雅普诺夫第二法在系统设计中的应用稳定性是稳定性是指系统在平衡状态下指系统在平衡状态下受到扰动后受到扰动后，系统，系统自由运动自由运动的性质的性质。因此，系统的。因此，系统的稳定性是稳定性是相对于系统的相对于系统的平衡状态而平衡

2、状态而言的言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不考虑输入作用。考虑输入作用。1. 1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统初始条件及外作用无关；初始条件及外作用无关；2. 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与系统初始条件及外作用有关；系统初始条件及外作用有关；稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。线性定常系统通常只有线性定常系统通常只有一个平衡点一个

3、平衡点，可将平衡点的稳定性视为，可将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性。其它系统整个系统的稳定性。其它系统平衡点不止一个平衡点不止一个，不同平衡点有，不同平衡点有着不同的稳定性，通常只讨论某一平衡状态的稳定性。着不同的稳定性，通常只讨论某一平衡状态的稳定性。稳定性判别方法稳定性判别方法经典控制理论中：经典控制理论中：线性定常系统的稳定性：线性定常系统的稳定性：代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）；代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）； 奈奎斯特判据奈奎斯特判据 ；对数稳定判据等。；对数稳定判据等。 非线性定常系统的稳定性：非线性定常系统的稳定性：描述函数法描述函数法：要求系统的线性部分具有良好的滤

4、：要求系统的线性部分具有良好的滤 除谐波的性能；除谐波的性能；相平面法相平面法：仅适合于一阶、二阶非线性系统。：仅适合于一阶、二阶非线性系统。现代控制理论中：现代控制理论中：一般系统一般系统（包括单变量、线性、定常系统，以及（包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、非线性、时变系统）的稳定性：多变量、非线性、时变系统）的稳定性：李雅普李雅普诺夫稳定性理论。诺夫稳定性理论。李雅普诺夫稳定性理论：李雅普诺夫稳定性理论： 李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法。两种方法。

5、1.1.间接法：间接法：利用线性系统微分方程的解来判系统的稳利用线性系统微分方程的解来判系统的稳定性，又称定性，又称李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法；2.2.直接法直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，数，然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，又称又称李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫第二法。 李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般理论一般理论，它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定性时，有效地解决了

6、其它方法所不能解决的问题。该理论比性时，有效地解决了其它方法所不能解决的问题。该理论比经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。5.1 5.1 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义 bibo稳定性的概念稳定性的概念李雅普诺夫稳定性的物理意义是李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响应是否有界系统响应是否有界。bounded input bounded output (bibo) stable定义：对于一个定义：对于一个初始条件为零初始条件为零的系统，如果在有界的输的系统，如果在有界的输入入u(t)的作用下，所产生的输出的作用下，所产生的输出y(t)也是有界的

7、，则称此系也是有界的，则称此系统是外部稳定的，也即是统是外部稳定的，也即是有界有界输入输入-有界有界输出稳定的。并输出稳定的。并简称为简称为bibo稳定。稳定。如果输入如果输入 有界，是指有界，是指 uu1k如果输入如果输入 有界，是指有界，是指 yy2k4.6 4.6 有界输入有界输入- -有界输出稳定有界输出稳定4.6.1 有界输入有界输入-有界输出稳定有界输出稳定bounded input bounded output (bibo) stable定义：对于初始松弛系统，任何有界输入，其输出也是有界的，称定义：对于初始松弛系统，任何有界输入，其输出也是有界的，称为为bibo系统。系统。如果

8、输入如果输入 有界，是指有界，是指 uu1k如果输入如果输入 有界，是指有界，是指 yy2ktttd)()(0uhytktttttd)()(d)()(001uhuh如果如果tttd)(0h3k于是于是y31kk312kkk 可以取可以取定理定理4-54-5 由方程由方程 描述的线性定常系统。描述的线性定常系统。cxybuaxx为初始松弛系统。其输出向量的解为为初始松弛系统。其输出向量的解为ttttd)()()(0uhy（11）bibo稳定的充分必要条件是存在一个常数稳定的充分必要条件是存在一个常数k3，有，有td)(0h3k或者对于或者对于 的每一元素，都有的每一元素，都有)(t hhijd)

9、(03k其中，其中，a 为一个非负的实数，而系统的脉冲响应函数为为一个非负的实数，而系统的脉冲响应函数为例例4-8 线性定常系统方程为线性定常系统方程为uaxxcxy atcthe)(分析系统是否分析系统是否bibo稳定。稳定。解解001dd)(00aaacecha可见，只有当可见，只有当 时，才有有限值时，才有有限值 存在，系统才是存在，系统才是bibo稳定稳定的。的。3k0a4.6.2 bibo稳定与平衡状态稳定性之间的关系稳定与平衡状态稳定性之间的关系对于线性定常系统对于线性定常系统cxybuaxx（12）平衡状态平衡状态 的渐近稳定性由的渐近稳定性由a 的特征值决定。而的特征值决定。而

10、bibo的稳定性的稳定性是由传递函数的极点决定的。是由传递函数的极点决定的。0ex0ex0ex)(sg 的所有极点都是的所有极点都是a 的特征值，但的特征值，但 a 的特征值并不一定都是的特征值并不一定都是 的极点。可能存在零极点对消。所以，的极点。可能存在零极点对消。所以， 处的渐近稳定就包含处的渐近稳定就包含了了bibo稳定，而稳定，而bibo稳定却可能不是稳定却可能不是 处的渐近稳定。处的渐近稳定。)(sg那么在什么条件下，那么在什么条件下，bibo稳定才有平衡状态稳定才有平衡状态 渐近稳定呢？渐近稳定呢？结论是：如果（结论是：如果（12）式所描述的线性定常系统是）式所描述的线性定常系统

11、是bibo稳定，且系稳定，且系统是既能控又能观测的，则系统在统是既能控又能观测的，则系统在 处是渐近稳定的。处是渐近稳定的。0ex0ex1. 平衡状态的定义平衡状态的定义 设系统状态方程为：设系统状态方程为： 若对所有若对所有t ，状态，状态 x 满足满足 ，则称该状态，则称该状态x为平衡状为平衡状态，记为态，记为xe。故有下式成立：。故有下式成立： 由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。,nxf x txr0 x 0,efx t 2.2.平衡状态的求法平衡状态的求法 由定义，平衡状态将包含在由定义，平衡状态将包含在 这样一个代数方这样一个

12、代数方程组中。程组中。 对于对于线性定常系统线性定常系统 ，其平衡状态为，其平衡状态为 xe e 应满足应满足代数方程代数方程 。0,f x t xax0ax 只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。 5.1.1 5.1.1 平衡状态平衡状态李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态平衡状态而言而言。 对于对于非线性系统非线性系统，方程，方程 的解可能有多个，的解可能有多个，视系统方程而定。视系统方程而定。 0,f x t 如：如： 3221211xxxxxx0032211xxxx0)1 (02221xxx0)1)(1 (022

13、21xxxx该系统存在三个平衡状态：该系统存在三个平衡状态：10,10,00321eeexxx范数的定义：范数的定义：n 维状态空间中，向量维状态空间中，向量 x 的长度称为向的长度称为向量量 x 的范数，用的范数，用 表示，则：表示，则：5.5.2 5.5.2 范数的概念范数的概念x1222212tnxxxxx x向量的距离向量的距离: :长度长度 称为向量称为向量x与与xe e的距离，写的距离，写为为：exx2211eenenxxxxxx若能使系统从任意初态若能使系统从任意初态x0出发的解出发的解 在在t t0的过的过程中，都位于以程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径为球心、任意规定的

14、半径的闭球域的闭球域s()内，即：内，即： 定义定义：对于系统对于系统 ，设系统初始状态位于以平，设系统初始状态位于以平 衡状态衡状态 xe 为球心、为球心、为半径的闭球域为半径的闭球域 s()内，即内，即,xfx t000,exxttt 00,x t xt000,()ex t x txtt5.1.3 5.1.3 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义1 1李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态 xe 在在李雅普诺夫意义下李雅普诺夫意义下是是稳定稳定的。的。几何意义几何意义 按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减按李雅普诺夫意义下的稳定性

15、定义，当系统作不衰减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出出s()，则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系，则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系统的稳定性定义有差异。统的稳定性定义有差异。lyapunovlyapunov意意义下稳定义下稳定 2渐进稳定性（经典理论稳定性）渐进稳定性（经典理论稳定性）00lim;,etx t x tx定义：定义：如果系统的平衡状态如果系统的平衡状态xe不仅有李雅普诺夫意义下的不仅有李雅普诺夫意义下的稳定性，且对于任意小量稳定性，且对于任意小量0，总有，总有这时，从这时，从s()出发的轨

16、迹不仅不会超出出发的轨迹不仅不会超出s()，且当，且当t时收敛于时收敛于xe，可见，可见经典控制理论中的稳定性经典控制理论中的稳定性定义与定义与渐进渐进稳定性稳定性对应。对应。则称平衡状态则称平衡状态xe是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。当当t0与与 t、 无关时，则称无关时，则称xe=0为一致渐进稳定。为一致渐进稳定。 几几何何意意义：义： 渐进稳定渐进稳定 定义：定义：当初始状态扩展到整个状态空间，当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡状态且平衡状态xe均具有渐进稳定性均具有渐进稳定性，称这种平衡状态，称这种平衡状态xe是大范围渐进稳定是大范围渐进稳定的。此时，的。

17、此时，s()。当。当t时，由状态空间中任时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于意一点出发的轨迹都收敛于xe。3. 大范围渐进稳定性大范围渐进稳定性 对于严格的线性系统，如果它是渐进稳定的，必定对于严格的线性系统，如果它是渐进稳定的，必定是大范围渐进稳定的是大范围渐进稳定的。这是因为线性系统的稳定性与初这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其稳定性始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐进稳定不一定是往往与初始条件大小密切相关，系统渐进稳定不一定是大范围渐进稳定。大范围渐进稳定。当稳定性与当稳定性与 的选择无关时，称一致

18、全局渐近稳定。的选择无关时，称一致全局渐近稳定。0t大范围稳定的系统大范围稳定的系统局部稳定的系统局部稳定的系统几何意义几何意义：定义定义：若对于某个实数：若对于某个实数0和任一实数和任一实数0，不管这两个实，不管这两个实数多么小，在数多么小，在s()内总存在一个状态内总存在一个状态x0，使得由这一状态，使得由这一状态出发的轨迹超出出发的轨迹超出s()，则称平衡状态，则称平衡状态xe是不稳定的。是不稳定的。4.4.不稳定性不稳定性几何意义：几何意义： 不稳定 对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了s()，但并，但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻

19、不稳不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻不稳定，轨迹趋于定，轨迹趋于s()以外的平衡点。以外的平衡点。 当然，对于线性系统，当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上趋于无穷远。迹，理论上趋于无穷远。由稳定性定义知，球域由稳定性定义知，球域s() 限制着初始状态限制着初始状态x0的取值，球域的取值，球域s()规定了系统自由运动响应规定了系统自由运动响应 的边界。的边界。简单地说：简单地说：1.如果如果 有界，则称有界，则称 xe 稳定；稳定；2.如果如果 不仅有界，而且当不仅有界，而且当t时收敛于原点，则时收敛于原点，则称称 xe 渐进稳定；渐进稳

20、定；3.如果如果 无界，则称无界，则称 xe 不稳定。不稳定。 00;,x tx t x t00;,x t x t00;,x t x t00;,x t x t5.2 5.2 李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论 定理定理5.1线性定常系统线性定常系统 （1）平衡状态）平衡状态xe是是渐进稳定渐进稳定的充分必要条件是矩阵的充分必要条件是矩阵a 的所有特征值均具有负实部；的所有特征值均具有负实部； （2）平衡状态）平衡状态xe是是不稳定不稳定的充分必要条件是矩阵的充分必要条件是矩阵a 的的有些特征值具有正实部；有些特征值具有正实部； （3）当系统用传递函数描述时，系统）当系统用传递函数描述时，

21、系统bibo稳定稳定的的充充分必要条件分必要条件为为g(s）的极点具有负实部。）的极点具有负实部。,xaxbuycx5.2.1 李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法（间接法） 1.线性定常系统稳定性判据线性定常系统稳定性判据例例5.2.1设系统的状态空间表达式为：设系统的状态空间表达式为：10101110 xxuyx 试分析系统平衡状态试分析系统平衡状态xe=0的稳定性与系统的的稳定性与系统的bibo（输出）（输出）稳定性。稳定性。解：解：系统的特征方程为系统的特征方程为:011detssasia阵的特征值为阵的特征值为+1，-1。故系统。故系统平衡状态平衡状态 xe 是不稳定的是不稳定

22、的。系统传递函数系统传递函数:111(s)( i)(1)(1)1sgc sabsss传递函数极点位于传递函数极点位于s左半平面，故系统左半平面，故系统是是bibo稳定的稳定的。1211, bibobibo稳定稳定渐近稳定渐近稳定 结论：结论： 1.1.线性定常系统是内部稳定的，则其必是线性定常系统是内部稳定的，则其必是bibobibo稳定稳定 的；的； 2.2.线性定常系统是线性定常系统是bibobibo稳定的，则不能保证系统一定是稳定的，则不能保证系统一定是渐进稳定的；渐进稳定的； 3.3.如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部稳定性如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部稳定性与外部稳定

23、性是等价。与外部稳定性是等价。12211nmijjiaa2.线性时变系统稳定性判据线性时变系统稳定性判据矩阵矩阵a的范数定义为：的范数定义为：a为标量，表示为标量，表示a中每个元素取平方和后再开方。中每个元素取平方和后再开方。定理定理5.2线性时变系统线性时变系统 其状态解为其状态解为( ) ,xa t x00( )( ,) ( ),x t t tx t系统稳定性的充要条件为：系统稳定性的充要条件为：若若存在某正常数存在某正常数n(t0)，对于任意，对于任意t0和和 t t0 ，有：，有：00( ,)( ), t tn t则则系统是稳定的。系统是稳定的。若若：0( ,), t tn则则系统是一

24、致稳定的。系统是一致稳定的。若若：00( ,), t t则则系统是渐进稳定的。系统是渐进稳定的。若若存在某常数存在某常数n 0，c 0，对于任意，对于任意t0和和 t t0 ，有：，有：00()( ,),c t t t tne则则系统是一致渐进稳定的。系统是一致渐进稳定的。3非线性系统的稳定性判定非线性系统的稳定性判定111122221212( , )nntnnnnfffxxxffff x txxxxfffxxx对于可以线性化的非线性系统，可以在一定条件下用它的对于可以线性化的非线性系统，可以在一定条件下用它的线性化模型，用定理线性化模型，用定理5.15.1的方法来研究。的方法来研究。其中：其

25、中：( , ),eetxf x txxxax对于非线性系统对于非线性系统 ，对状态变量，对状态变量 x 有连续偏导有连续偏导数，设数，设xe为其平衡点。在平衡点处将为其平衡点。在平衡点处将 泰勒级数泰勒级数展开，忽略二次及二次以上的高阶导数项展开，忽略二次及二次以上的高阶导数项r(x)，得系统，得系统线性化模型：线性化模型： 。( , )xf x t( , )f x txax(1) a的所有特征值均具有负实部，则平衡状态的所有特征值均具有负实部，则平衡状态xe是是渐进稳渐进稳定定的；的；(2)a的特征值至少有一个为正实部，则平衡状态的特征值至少有一个为正实部，则平衡状态xe是是不稳不稳定定的。

26、的。(3)a的特征值至少有一个实部为的特征值至少有一个实部为0，则不能根据，则不能根据a来判平衡来判平衡状态状态xe的稳定性，系统的稳定性与被忽略的高次项的稳定性，系统的稳定性与被忽略的高次项r(x)有有关。若要研究原系统的稳定性，必须分析原非线性方程。关。若要研究原系统的稳定性，必须分析原非线性方程。定理定理5.3对于线性化后的系统矩阵对于线性化后的系统矩阵( , )etxf x tax例例5.2.2 已知非线性系统的已知非线性系统的11122212xxx xxxx x 解：解：系统有系统有2个平衡状态：个平衡状态：xe1=0,0和和xe2=1,1212111txxfxxx在在xe1=0,0

27、处线性化，处线性化，111001extfaxa1阵的特征值为阵的特征值为+1，-1。故系统在。故系统在xe1处处是不稳定的是不稳定的。在在xe2=1,1处线性化，处线性化，20110tfax a2阵的特征值为阵的特征值为+j，-j，其实部为，其实部为0，不能根据，不能根据a来判断来判断其稳定性。其稳定性。试分析系统平衡状态的稳定性。试分析系统平衡状态的稳定性。5.2.3 5.2.3 李雅普诺夫第二法及其主要定理李雅普诺夫第二法及其主要定理 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法是通过构造李雅普诺夫函数是通过构造李雅普诺夫函数v(x)来直接来直接判断运动稳定性的一种定性的方法。判断运动稳定性的一种定性

28、的方法。根据经典力学中的振动现象，若系统能量随时间推移而衰根据经典力学中的振动现象，若系统能量随时间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实际系统的能量减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实际系统的能量函数表达式并非易事。函数表达式并非易事。李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数一般与李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数一般与及及t 有关，记为有关，记为v(x,t)或或v(x)。 v(x)是一标量函数，考虑到是一标量函数，考虑到能量总大于能量总大于0，故为正定函数。能量衰减特性用，故为正定函数。能量衰减特性用 或或 表示。李雅普诺夫第二法利用表示。李雅普诺夫第二法利用v 和和 的符号特征，的符号特

29、征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求解系统状态方程直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求解系统状态方程的解，故称的解，故称直接法直接法。 12,nx xx,v x t v xv 对于线性系统，通常用二次型函数对于线性系统，通常用二次型函数 作为李雅作为李雅普诺夫函数。普诺夫函数。5.2.3.1 预备知识预备知识 1二次函数的定义及其表达式二次函数的定义及其表达式 定义：定义：设设 为为n个变量，定义二次型标量个变量，定义二次型标量函数为：函数为：12,nx xx其中，其中， ，则称，则称p为实对称阵。为实对称阵。ijjipp tv xx px1112112122221212nnnnnnnnp

30、ppxpppxxxxpppx对一般非线性系统对一般非线性系统仍未找到仍未找到构造李雅普诺夫函数构造李雅普诺夫函数v(x)的的通通用方法用方法。尽管如此，目前。尽管如此，目前直接法直接法仍然是研究系统仍然是研究系统(包括时变、包括时变、非线性非线性)稳定性的有力工具。稳定性的有力工具。 tv xx px例如：例如：1123231012141211( )xv xxxxxx 显然，二次型显然，二次型v(x)完全由矩阵完全由矩阵p确定。因此二次型和它的确定。因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的。矩阵是相互唯一决定的。 2221122( )nnv xa xa xa x 二次型的标准型二次型的标准型 只含

31、有平方项的二次型称为二次型的标准型，如：只含有平方项的二次型称为二次型的标准型，如： 2.标量函数标量函数v(x)的符号和性质的符号和性质 设设: ,且在且在x=0处处，v(x)0。对。对x0的任何向量。的任何向量。 tv xx pxv(x)0，称，称v(x)为为正定的正定的。例如：。例如：v(x)0，称，称v(x)为为负定的负定的。例如：。例如：v(x)0，称，称v(x)为为正半定的正半定的。例如：。例如：v(x)0，称，称v(x)为为负半定的负半定的。例如：。例如：22122( )v xxx22122( )()v xxx 212( )()v xxx212( )()v xxx ijjipp设

32、实对称矩阵设实对称矩阵p ：正定正定:二次型函数二次型函数v(x)为为正定的充要条件正定的充要条件是，是，p 阵的所有阵的所有各阶主子行列式均大于零（正定），即各阶主子行列式均大于零（正定），即:111212122211121112212212000,nnnnnnnpppppppppppppp 即即:0i 3.二次型标量函数定号性判别准则二次型标量函数定号性判别准则(sylvester准则准则) 1112112122221212nntnnnnnnpppxpppxv xx pxxxxpppx负定：负定：二次型函数二次型函数v(x)为为负定负定的充要条件是，的充要条件是，p 阵的所阵的所有各阶主子

33、行列式满足有各阶主子行列式满足:101 2(), ,kkkn 即即:00,k，k为偶数为偶数k为奇数为奇数正半定：正半定：二次型函数二次型函数v(x)为为正半定正半定的充要条件是，的充要条件是，p 阵阵的所有各阶主子行列式满足的所有各阶主子行列式满足:01 2=0, ,knkn ，负半定：负半定：二次型函数二次型函数v(x)为为负半定负半定的充要条件是，的充要条件是，p 阵阵的所有各阶主子行列式满足的所有各阶主子行列式满足:00=0kn，k为偶数为偶数,k为奇数为奇数,1 2, ,kn5.2.3.2 李雅普诺夫第二法的判稳主要定理李雅普诺夫第二法的判稳主要定理( , )xf x t1.v(x,

34、t)是正定的；是正定的；2. 是负定的；是负定的； ( , )v x t系统在系统在原点处原点处的平衡状态的平衡状态是是渐进稳定的渐进稳定的。 则：系统在原点处的平衡状态是则：系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定大范围渐进稳定的。的。 系统系统渐进稳定渐进稳定的判别的判别定理一定理一,x ( , )v x t 3.又当又当 有有 定理定理5.4 设系统状态方程为设系统状态方程为: ,其状态平衡点其状态平衡点xe=0, 如果存在一个具有一阶连续偏导数的标量函数如果存在一个具有一阶连续偏导数的标量函数v(x,t),且满足且满足以下条件：以下条件：0), 0(tf说明说明：1.该定理仅给出充分条件

35、，即能找到满足定理条件的该定理仅给出充分条件，即能找到满足定理条件的v(x)，则系，则系统是渐进稳定的，若找不到，并不意味系统不稳定。统是渐进稳定的，若找不到，并不意味系统不稳定。2.该定理本身并该定理本身并未给出建立未给出建立v(x)的方法，一般的方法，一般v(x)不惟一。不惟一。 v(x)通常不是简单的二次通常不是简单的二次型的形式。型的形式。3.该定理是一个最基本的稳定性判别定理，适用于线性、该定理是一个最基本的稳定性判别定理，适用于线性、非线性、时变系统。非线性、时变系统。是负定的。说明是负定的。说明v(x)沿任意轨迹是连续减小的，因此沿任意轨迹是连续减小的，因此v(x)是一个李雅普诺

36、夫函数。是一个李雅普诺夫函数。22121122221212()xxx xxxxxxx 例例5.2.3已知非线性系统的状态方程为已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。解解：坐标原点：坐标原点xe=0（即（即x1=0，x2=0)是系统惟一的平衡状态。是系统惟一的平衡状态。选取正定标量函数为：选取正定标量函数为：2212v(x)xx 222112212222v xx xx xxx 则沿任意轨迹，则沿任意轨迹，v(x)对时间的导数为：对时间的导数为： 则：系统在原点处的平衡状态是则：系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定大范围渐进稳定的。的。,x ( , )

37、v x t 又当又当 有有 系统系统渐进稳定渐进稳定的判别定理二的判别定理二定理定理5.5 设系统状态方程为设系统状态方程为: ,其状态平衡点其状态平衡点xe=0，满足，满足 。如果存在一个具有连续一阶偏导数。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数的标量函数v(x,t)，且满足以下条件：，且满足以下条件：( , )xf x t00( , )ft 1.v(x,t) 是正定的；是正定的；2. 是是负半定负半定的；的； ( , )v x t则：系统在原点处的平衡状态是则：系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定大范围渐进稳定的。的。,x ( , )v x t 若还有若还有 有有 ( , )v x t

38、3. 当当x0,不恒等于不恒等于0，则：系统在平衡点则：系统在平衡点xe=0处处是是渐进稳定的渐进稳定的。 定理的运动分析：定理的运动分析：以二维空间为例以二维空间为例0)(xv例例5.2.4已知非线性系统的状态方程为已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。 21221xxxxx解解：坐标原点：坐标原点xe=0（即（即x1=0，x2=0)是系统惟一的平衡状态。是系统惟一的平衡状态。 21122122122222220()v xx xx xx xxxxx 2212( )v xxx选取正定标量函数为：选取正定标量函数为：120000( , );( , )(

39、), )xv x txv x tv xxtx，当当 进一步分析进一步分析 的定号性：的定号性：如果假设如果假设 ，必然要求，必然要求 ，进一步要，进一步要求求 。但从状态方程。但从状态方程 可知，必满足可知，必满足 ， 表明表明 只可能在原点（只可能在原点（x1=0，x2=0）处恒等于零。）处恒等于零。 2220v xx 20 x 20 x 212xxx 10 x ,v x t( , )v x t为半负定！为半负定！所以，系统在原点处的平衡状态是所以，系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定大范围渐进稳定的。的。,x ( , )v x t 当当 有有 21221xxxxx若在该例中:222121

40、2122()v(x)xxxx选取正定标量函数为：选取正定标量函数为： 121122221221212123232().().().()()()v xxxxxxxxxxxxxxxx 为负定！为负定！则：则： 由以上分析看出，选取不同的由以上分析看出，选取不同的v(x)，可能使问题分析，可能使问题分析采用不同的判别定理。采用不同的判别定理。所以，系统在原点处的平衡状态是所以，系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定大范围渐进稳定的。的。,x 且当且当 有有 ( , )v x t 系统系统李氏稳定李氏稳定的判别定理的判别定理则系统在原点处的平衡状态则系统在原点处的平衡状态是是李李雅普诺夫雅普诺夫意义下

41、意义下稳定稳定的，但的，但不是不是渐进稳定渐进稳定的。这时系统可保持在的。这时系统可保持在一个稳定的等幅振荡状态上。一个稳定的等幅振荡状态上。定理定理5.6 设系统状态方程为设系统状态方程为: ,其状态平衡点其状态平衡点xe=0，满足，满足 。如果存在一个具有连续一阶偏导数。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数的标量函数v(x,t)，且满足以下条件：，且满足以下条件：( , )xf x t00( , )ft 1.v(x,t)是正定的；是正定的；2. 是负半定的；是负半定的；( , )v x t0( , )v x t 3. 当当x0时，存在某一时，存在某一x 使使因为因为 0)(xv则系统可

42、能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有 ，则，则系统可能收敛到极限环，而不收敛到平衡点。因此系统可能收敛到极限环，而不收敛到平衡点。因此 是一是一致稳定的。致稳定的。0)(xv0ex例例5.2.5已知非线性系统的状态方程为已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。 1221xxaxx解解：坐标原点：坐标原点xe=0（即（即x1=0，x2=0)是系统惟一的平衡状态。是系统惟一的平衡状态。2212( )0v xxaxa选取正定标量函数为：选取正定标量函数为： 1122121222220v xx xax xax xax

43、 x则：则：由上式可见，由上式可见， ，则系统在原点处的平衡状态是，则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的李雅普诺夫意义下稳定的，但不是渐进稳定的。，但不是渐进稳定的。 0),(txv则系统在原点处的平衡状态是则系统在原点处的平衡状态是不稳定不稳定的。的。系统系统不稳定不稳定的判别定理一的判别定理一1.v(x,t)是正定的；是正定的；2. 是正定的；是正定的；( , )v x t定理定理5.7 设系统状态方程为设系统状态方程为: ,其状态平衡点其状态平衡点xe=0，满足，满足 。如果存在一个具有连续一阶偏导数。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数的标量函数v(x,t)，且满足以下

44、条件：，且满足以下条件：( , )xf x t00( , )ft 显然，显然， ，表示系统的能量在不断增大，故系统的，表示系统的能量在不断增大，故系统的运动状态必将发散至无穷大，系统是不稳定的。运动状态必将发散至无穷大，系统是不稳定的。( , )v x t则系统在原点处的平衡状态是则系统在原点处的平衡状态是不稳定不稳定的。的。系统系统不稳定不稳定的判别定理二的判别定理二1.v(x,t)是正定的；是正定的；2. 是正半定的；是正半定的；( , )v x t定理定理5.8 设系统状态方程为设系统状态方程为: ,其状态平衡点其状态平衡点xe=0，满足，满足 。如果存在一个具有连续一阶偏导数。如果存在

45、一个具有连续一阶偏导数的标量函数的标量函数v(x,t)，且满足以下条件：，且满足以下条件：( , )xf x t00( , )ft 3. 在在x0时，不恒等于时，不恒等于0 。( , )v x t例例5.2.6已知非线性系统的状态方程为已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。 21221xxxxx解解：坐标原点：坐标原点xe=0（即（即x1=0，x2=0)是系统惟一的平衡状态。是系统惟一的平衡状态。2212( )v xxx选取正定标量函数为：选取正定标量函数为： 21122122122222220()v xx xx xx xxxxx则：则： 所以，系统

46、是不稳定的。所以，系统是不稳定的。 222v xx且当且当x1为任意值，为任意值，x2 =0时，时，（为正定）（为正定）（为正半定）（为正半定） 2220v xx而：而：21210 xxxx 所以，所以，x2不会恒等于不会恒等于0，也不会恒等于也不会恒等于0。定理的形式简单而有规律，在定理的应用中，要注意几点：定理的形式简单而有规律，在定理的应用中，要注意几点：(1)构造一个合理的李雅普诺夫函数，是李氏第二法的关键，构造一个合理的李雅普诺夫函数，是李氏第二法的关键，李氏函数具有几个突出性质：李氏函数具有几个突出性质： 1)李雅普诺夫函数是一个标量函数。李雅普诺夫函数是一个标量函数。 2)李雅普

47、诺夫函数是一个正定函数，至少在原点的邻域是如此。李雅普诺夫函数是一个正定函数，至少在原点的邻域是如此。 3)对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。(2)如果在包含状态空间原点在内的邻域如果在包含状态空间原点在内的邻域s内，可以找到一个内，可以找到一个李雅普诺夫函数，那么，就可以用它来判断原点的稳定性或李雅普诺夫函数，那么，就可以用它来判断原点的稳定性或渐近稳定性。然而这并不一定意味着，从渐近稳定性。然而这并不一定意味着，从s邻域外的一个状邻域外的一个状态出发的轨迹都趋于无穷大，这是因为态出发的轨迹都趋于无穷大，这是因为李雅普诺夫第二法确李雅

48、普诺夫第二法确定的仅仅是稳定性的定的仅仅是稳定性的充分充分条件条件。5.3 5.3 线性系统中的李亚普诺夫稳定性分析线性系统中的李亚普诺夫稳定性分析 5.3.1 线性定常连续系统渐进稳定的判别线性定常连续系统渐进稳定的判别1渐进稳定的判别方法渐进稳定的判别方法则：则：tttttttt( )()( )v xx pxx pxaxpxx paxxa ppa xxq xxq x定理定理5-9 设线性定常连续系统为：设线性定常连续系统为： ，则平衡状，则平衡状态态xe=0为为大范围渐进稳定大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给定的一的充要条件是：对任意给定的一个个正定实对称矩阵正定实对称矩阵q，必存在一个

49、必存在一个惟一正定的实对称矩阵惟一正定的实对称矩阵p，且满足李雅普诺夫方程，且满足李雅普诺夫方程 ,且且 是系统的李雅普诺夫函数。是系统的李雅普诺夫函数。ta ppaq( )tv xx pxxaxa是非奇异的是非奇异的证明见证明见p255 。若若 沿任意一轨线不恒等于沿任意一轨线不恒等于0，则，则q可取为正半定的，可取为正半定的，结论不变结论不变 。( )v x定理说明：定理说明：(1). 如果任取的一个正定实对称矩阵如果任取的一个正定实对称矩阵q，则满足矩阵则满足矩阵 的实对称矩阵的实对称矩阵p是惟一的，若是惟一的，若p正定，则正定，则系统在平衡状态系统在平衡状态xe=0为为大范围渐进稳定大

50、范围渐进稳定的。的。p的正定性是的正定性是一个充分必要条件。一个充分必要条件。(2). 为计算简便，在选取正定实对称矩阵为计算简便，在选取正定实对称矩阵 q 时选单位阵时选单位阵i，于是方程简化为：于是方程简化为：ta ppaq tia ppa 2判别步骤判别步骤(1)确定系统的平衡状态确定系统的平衡状态xe，(2)取取q=i,并设实对称阵并设实对称阵p， (3)解矩阵方程解矩阵方程 ，求出，求出p。(4)利用赛尔维斯特判据，判断利用赛尔维斯特判据，判断p的正定性。正定，系统的正定性。正定，系统渐进稳定，且渐进稳定，且 。tia ppa 121 2, ,iiinpppin tv xx px例例

51、5.3.1设线性定常系统为设线性定常系统为: , 试判别该系统的稳定性试判别该系统的稳定性(其平衡状态为其平衡状态为xe=0)。xx1110解：解：为了便于对比，先用李氏为了便于对比，先用李氏第一法判断第一法判断，2117172222211iajj系统是渐近稳定的系统是渐近稳定的先用李氏先用李氏第二法判断第二法判断，设设李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数为：为：( )tv xx pxta ppai 令：1223tpppppp则有：则有：10011110111032213221pppppppp展开有展开有：122012323212pppppp1212123p正定正定系统是渐近稳定的系统是渐近稳定的证明

52、略：证明略：5.3.2 线性时变连续系统渐进稳定的判别线性时变连续系统渐进稳定的判别定理定理5-10 设线性时变连续系统为：设线性时变连续系统为： ，则平衡，则平衡状态状态xe=0为为大范围渐进稳定大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给定的的充要条件是：对任意给定的连续连续对称正定矩阵对称正定矩阵q(t)，存在一个存在一个连续的对称正定矩阵连续的对称正定矩阵p(t)，使得使得,且且 是系统的李雅普诺夫函数是系统的李雅普诺夫函数 。( )( ) ( )( ) ( )( )tp ta t p tp t a tq t( , )( ) ( ) ( )tv x txt p t x t( )xa t x(3

53、)判别矩阵判别矩阵p(t)是否满足连续、对称正定性，若满足，则是否满足连续、对称正定性，若满足，则线性时变系统是渐进稳定的，且线性时变系统是渐进稳定的，且( , )( ) ( ) ( )tv x txt p t x t为计算方便，可选：为计算方便，可选：q (t)=q=i,则则0000( )( , ) ( ) ( , )( , ) ( , )ttttp tt t p tt ttt d判别步骤判别步骤：(1)确定系统的平衡状态确定系统的平衡状态xe。(2)任取正定对称阵任取正定对称阵q(t),带入带入里卡蒂里卡蒂(riccati)矩阵矩阵微分方程，微分方程，其解为：其解为： 式中，式中， 是系统

54、的状态转移矩阵，是系统的状态转移矩阵，p(t0)是是里卡蒂方程里卡蒂方程的初始条件。的初始条件。( , ) t ( )( ) ( )( ) ( )( )tp ta t p tp t a tq t0000( )( , ) ( ) ( , )( , ) ( ) ( , )ttttp tt t p tt tt qt d证明略：证明略：判别步骤判别步骤：5.3.3 线性定常离散系统渐进稳定的判别线性定常离散系统渐进稳定的判别定理定理5-11 设线性定常离散系统为：设线性定常离散系统为： ，则平衡状态则平衡状态xe=0为为大范围渐进稳定大范围渐进稳定的充要条件是：对任意的充要条件是：对任意给定的给定的正

55、定对称矩阵正定对称矩阵q，存在一个存在一个正定对称矩阵正定对称矩阵p，满足，满足如下矩阵方程：如下矩阵方程：且且 是系统的李雅普诺夫函数是系统的李雅普诺夫函数 。tg pgpqt ( )( )( )v x kxk px k1()( )x kgx kg是常系数非奇异阵是常系数非奇异阵(1)确定系统的平衡状态确定系统的平衡状态xe，(2)选正定矩阵选正定矩阵q，一般取，一般取q=i， (3)解矩阵方程解矩阵方程 ，求出，求出p阵，阵，(4)判断判断p的正定性。若正定，则系统渐进稳定，且的正定性。若正定，则系统渐进稳定，且 是系统的李雅普诺夫函数。是系统的李雅普诺夫函数。tig pgp t ( )(

56、 )( )v x kxk px k例例5.3.2设离散系统的状态方程为设离散系统的状态方程为: , 试确定该系统在平衡点处渐进稳定的条件试确定该系统在平衡点处渐进稳定的条件 。 12010()( )x kx k解：解：选选q=i，带入矩阵方程，带入矩阵方程要使要使p为正定的实对称矩阵，则要求：为正定的实对称矩阵，则要求：tg pgpq即：即：1111211112212222122200100001pppppppp解得：解得：211112122222101101ppppp1211,即，当系统的特征根位于单位园内时，系统的平衡点即，当系统的特征根位于单位园内时，系统的平衡点是渐进稳定的。是渐进稳定

57、的。与经典控制论中的采样系统稳定的充要条件相同！与经典控制论中的采样系统稳定的充要条件相同！证明略：证明略：5.3.4 线性时变离散系统渐进稳定的判别线性时变离散系统渐进稳定的判别定理定理5-12 设线性时变离散系统为：设线性时变离散系统为： 则在平衡点则在平衡点xe=0处为处为大范围渐进稳定大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给的充要条件是：对任意给定的定的正定对称矩阵正定对称矩阵q(k)，存在一个实存在一个实对称正定矩阵对称正定矩阵p(k+1)，满，满足如下矩阵方程：足如下矩阵方程：且标量函数：且标量函数： 是系统的李雅普诺夫函数。是系统的李雅普诺夫函数。t111(, ) () (, )(

58、)( )g kk p kg kkp kq kt ( ), ( )( )v x k kxk px k11()(, ) ( )x kg kk x k(3)判断判断p(k+1)的正定性，若正定，则系统是渐进稳定的，的正定性，若正定，则系统是渐进稳定的，且且李雅普诺夫函数为：李雅普诺夫函数为：式中，式中，1( ,)g i k t ( ), ( ) ( ) ( )v x k kxk p k x k当当q (i)=i 时，有：时，有：tt010100111()( ,) ( ) ( ,)( ,) ( ,)kip kgkpgkg i kg i k判别步骤判别步骤：(1)确定系统的平衡状态确定系统的平衡状态xe

59、，(2)任选正定对称矩阵任选正定对称矩阵q(k)，带入矩阵方程：，带入矩阵方程： 解出矩阵解出矩阵p(k+1) 。该方程为矩阵差分方程，其解的形。该方程为矩阵差分方程，其解的形式为：式为：t111(, ) () (, )( )( )g kk p kg kkp kq ktt010100111()( ,) ( ) ( ,)( ,) ( ) ( ,)kip kgkpgkg i kq i g i k为转移矩阵；为转移矩阵；p(0)是初始条件。是初始条件。tt010100111()( ,) ( ) ( ,)( ,) ( ) ( ,)kip kgkpgkg i kq i g i k5.4 5.4 非线性系

60、统的李雅普诺夫稳定性分析非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析5.4.1 5.4.1 克拉索夫斯基法克拉索夫斯基法对于非线性系统，到目前为止，尚没有构造对于非线性系统，到目前为止，尚没有构造lyapunov函数的函数的一般性方法。往往都是根据经验，用试凑法。针对不同类型的一般性方法。往往都是根据经验，用试凑法。针对不同类型的非线性系统，以下是几种比较有效的构造非线性系统，以下是几种比较有效的构造lyapunov函数的特函数的特殊方法。殊方法。针对一类非线性系统，克拉索夫斯基提出了从针对一类非线性系统，克拉索夫斯基提出了从状态变量状态变量的的导数导数来构造来构造lyapunov函数，并判断系统渐进稳定