高考弹簧问题专题详解

1、高考弹簧问题专题详解 高考动向弹簧问题能够较好的培养学生的分析解决问题的能力和开发学生的智力，借助于弹簧问题，还能将整个力学知识和方法有机地结合起来系统起来， 因此弹簧问题是高考命题的热点，历年全国以及各地的高考命题中以弹簧为情景的选择题、计算题等经常出现，很好的考察了学生对静力学问题、动力学问题、动量守恒和能量守恒问题、振动问题、功能关系问题等知识点的理解，考察了对于一些重要方法和思想的运用。知识升华一、弹簧的弹力1、弹簧弹力的大小弹簧弹力的大小由胡克定律给出，胡克定律的内容是：在弹性限度内，弹力的大小与弹簧的形变量成正比。数学表达形式是：F=kx 其中k是一个比例系数，叫弹簧的劲度系数。说

2、明：弹力是一个变力，其大小随着弹性形变的大小而变化，还与弹簧的劲度系数有关；弹簧具有测量功能，利用在弹性限度内，弹簧的伸长（或压缩）跟外力成正比这一性质可制成弹簧秤。2、弹簧劲度系数弹簧的力学性质用劲度系数描写，劲度系数的定义因弹簧形式的不同而不同，以下主要讨论螺旋式弹簧的劲度系数。（1）定义：在弹性限度内，弹簧产生的弹力F（也可认为大小等于弹簧受到的外力）和弹簧的形变量（伸长量或者压缩量）x的比值，也就是胡克定律中的比例系数k。（2）劲度系数的决定因素：劲度系数的大小由弹簧的尺寸和绕制弹簧的材料决定。弹簧的直径越大、弹簧越长越密、绕制弹簧的金属丝越软越细时，劲度系数就越小，反之则越大。如两根

3、完全相同的弹簧串联起来，其劲度系数只是一根弹簧劲度系数的一半，这是因为弹簧的长度变大的缘故；若两根完全相同的弹簧并联起来，其劲度系数是一根弹簧劲度系数的两倍，这是相当于弹簧丝变粗所导致；二、轻质弹簧的一些特性轻质弹簧：所谓轻质弹簧就是不考虑弹簧本身的质量和重力的弹簧，是一个理想化的模型。由于它不需要考虑自身的质量和重力对于运动的影响，因此运用这个模型能为分析解决问题提供很大的方便。性质1、轻弹簧在力的作用下无论是平衡状态还是加速运动状态，各个部分受到的力大小是相同的。其伸长量等于弹簧任意位置受到的力和劲度系数的比值。如图1和2中相同的轻弹簧，其端点受到相同大小的力时，无论弹簧是处于静止、匀速还

4、是加速运动状态，各个弹簧的伸长量都是相同的。性质2、两端与物体相连的轻质弹簧上的弹力不能在瞬间变化弹簧缓变特性；有一端不与物体相连的轻弹簧上的弹力能够在瞬间变化为零。如在图1、2、3、4、中撤出任何一个力的瞬间，弹簧的长度不会变化，弹力的大小也不会变化；但是在图5中撤出力F的瞬时，弹簧恢复原长，弹力变为零。说明：上述结论可以通过弹簧和物体组成系统的振动周期公式加以理解，弹簧恢复原长需要四分之一个周期，并且物体的质量越大劲度系数越小，恢复时间就越长。物体的质量非常小时，可以认为无限短的时间就可以恢复原长。重的弹簧可以等价于轻弹簧连接着一个物体，弹簧自由端的恢复也仍然需要一点时间。性质3、弹簧的形

5、变有拉伸和压缩两种情形，拉伸和压缩形变对应弹力的方向相反。分析弹力时，在未明确形变的具体情况时，要考虑到弹力的两个可能的方向。性质4、弹力的大小与形变量成正比，方向与形变的方向相反，即F=-kx ，是一个线性回复力，物体在弹簧弹力的作用下，通常会做简谐运动。以简谐运动为模型分析动力学问题会减少错误带来方便。例如一个质量为M的物体从高处自由下落在一个弹簧上，试分析物体的运动情况。由简谐运动的知识知道，物体一旦接触弹簧其运动就进入了简谐振动过程，必定存在一个平衡位置（如图中O的位置，重力等于弹力），物体靠近平衡位置的阶段必定是速度增大、加速度减小，远离平衡位置的阶段，必定是速度减小、加速度增大。如

6、果结合简谐运动的对称性还可以方便地分析力的变化、能量的变化等问题，应当注意体会和运用。性质5、弹性势能和弹力的功（1）弹性势能弹性势能的大小：弹簧能够储存弹性势能，它储存的弹性势能的大小与弹性形变量的大小和劲度系数有关，（运用此式的定量计算在高中阶段不作要求，只做理解弹性势能的依据）。弹性势能的计算：弹性势能的定量计算依据功能关系或能的转化和守恒定律。（2）弹力的功弹力的功是变力的功，因为弹力随着位移是线性变化的，所以弹力功的大小可以用平均力求得即，说明：上式是弹簧由原长到伸长或者压缩x长度的过程弹力做的功，上式中的F 是形变量为x时的弹力。当形变量由x1变为x2时弹力功的大小为（3）弹力功的

7、特点弹簧弹力的功与路径无关同一弹簧在某一过程中弹力的功只是取决于初末状态弹簧形变量的大小，与弹力的作用点经过的路径没有关系。这一点对于计算弹力的功和弹性势能是非常重要的，必须引起重视。（4）弹性势能与弹力功的关系弹力做正功时弹性势能减少；弹力做负功时弹性势能增加。弹力的功等于弹性势能增量的负值即：三、弹簧问题的题目类型1、求弹簧弹力的大小（或弹簧秤的示数）2、求弹簧的形变量（伸长、压缩、原长、总长以及作用点的位移）3、求与弹簧相连接的物体的瞬时加速度4、在弹力作用下物体运动情况分析弹簧在相对位置发生变化时，所引起的力、加速度、速度、功能等物理量发生变化的情况5、与简谐运动相关的动力学问题6、有

8、弹簧参与的临界问题和极值问题7、探究弹力的功与弹性势能的变化8、弹力做功弹性势能变化、能量转化和守恒综合问题的计算9、与弹簧相关的动量守恒、能量守恒综合问题四、解决弹簧问题方法归类1、基本方法是：依据运动和力的关系，运用解决动力学问题的一般方法去分析解决。具体的说：分析物体受到合力的大小、方向变化情况分析物体初速度或者速度方向确定物体的运动情况，由此求出未知量；或者明确已知的运动情况（即物体处于什么样的运动状态）确定物体的受力情况，由此求出未知量；选取物理规律列方程物体处于平衡状态时运用平衡条件结合胡克定律物体做匀变速运动时用牛顿第二定律和运动学公式物体做简谐振动时运用简谐振动的规律非匀变速运

9、动的过程通常要用能的转化和守恒定律综合性问题动量守恒定律、能量守恒定律、牛顿运动定律灵活运用2、分析弹簧问题需要特别关注的几点（1）弹力的变化特点物体做变加速运动（2）弹力不能突变的特点形变的发生和恢复都需要一定的时间，（3）物体做简谐运动的特点运动状态存在对称性（4）弹力做功与路径无关的特点，重力势能只取决于状态的特点（5）有临界状态和转折状态的特点分离状态、合力为零状态、拉力和压力转折状态等（6）弹簧问题多解的特点对同一大小的弹力弹簧对应两个状态，要注意不要漏解经典例题透析类型一：关于弹簧的伸长量和弹力的计算解决这类问题的方法是：（1）根据物体所处的运动状态，运用牛顿定律或平衡条件求出弹簧

10、受到的弹力，然后由胡克定律计算弹簧的形变量或原长等。（2）由物体的运动情况和几何关系求出弹簧的形变量，然后用胡克定律计算弹力，进而求解物体的运动情况。值得注意的是：弹簧可能产生拉力也可能产生压力，同一弹力弹簧可能有两个长度；轻质弹簧上的弹力大小处处相等。1、对轻弹簧的理解1、如图所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F 的拉力作用，而左端的情况各不相同：中弹簧的左端固定在墙上；中弹簧的左端受大小也为 F 的拉力作用；中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动；中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动 .若认为弹簧的质量都为零，以 依次表示四个弹簧的伸长量，则

11、有（）A. B. C. D. 答案：D思路点拨：要比较四种不同物理情景中弹簧的伸长量，就要比较弹簧在四种不同物理情景中弹力的大小和弹簧的劲度系数由题意知，四个弹簧完全相同，故弹簧的劲度系数相同，弹簧的质量都为零，故弹簧不论作什么性质的运动都不影响弹簧各处所受的弹力，弹簧只是传递物体间的相互作用可将弹簧等效为一个测力计，当弹簧的右端受到大小为F的拉力作用时，弹簧将等大地将拉力F传递给与弹簧相连接的物体，故弹簧由于弹性形变所产生的弹力大小也为F ，由胡克定律F= kx，则四个弹簧的伸长量x 相同解析：首先，因为题中说明可以认为四个弹簧的质量皆为 0，因此可断定在每个弹簧中，不管运动状态如何，内部处

12、处拉力都相同 .因为如果有两处拉力不同，则可取这两处之间那一小段弹簧来考虑，它受的合力等于它的质量乘加速度，现在质量为 0，而加速度不是无穷大，所以合力必为 0，这和假设两处拉力不同矛盾 .故可知拉力处处相同 .按题意又可知大小皆为 F.其次，弹簧的伸长量，K为劲度系数 .由题意知四个弹簧都相同，即 k 都相同 .故可知伸长量必相同总结升华：本题通过对四种不同物理情景中弹簧的伸长量的比较，考查考生对力的概念的理解、物体的受力分析、牛顿一、二、三定律的掌握情况和综合运用能力两种情形中弹簧所受的合外力相同，均为零，所以弹簧中由于弹性形变所产生的弹力大小也相同常有学生错误地认为第种情形中弹簧所产生的

13、弹性形变比第种情形中弹簧所产生的弹性形变要大些，这一错误观念的形成主要是对力的概念理解不深，一旦将第种情形中的墙壁和弹簧隔离受力后，不难发现第种情形与第种情形的受力情况是等效的，其实在第种情形中，弹簧对墙壁的作用力与墙壁对弹簧的作用力是一对作用力与反作用力，所以第两种情形中弹簧的受力情况完全相同，第两种情形中，虽然物块的受力情况、运动状态不尽相同，但轻弹簧中产生的弹力大小处处等于外力F的大小，而与物块处于什么样的运动状态、是否受摩擦力没有必然联系。认为物块在有摩擦的桌面上滑动时，拉物块所需要的拉力要大些，所以弹簧的形变量也大些，是错误的。没有注意到轻弹簧的右端受到大小皆为F的拉力作用这一前提件

14、。举一反三：【变式】如图所示，A、B是两个相同的弹簧，原长都是L010 cm，劲度系数k500 N/m，若悬挂的两个物体质量均为m，现测得两个弹簧的总长为26cm，则m_。（g取10m/s2） 解析：首先以下面物体为研究对象，然后以两物体为整体，求出对上端弹簧拉力，分别列出弹力方程：答案：1kg2、静止的轻弹簧平衡时两种可能的形变在含有弹簧的静力学问题中，当弹簧所处的状态没有明确给出时，必须考虑到弹簧既可以处于拉伸状态，也可以处于压缩状态，必须全面分析各种可能性，以防漏解。解决这类问题的方法是：以与弹簧相联系的物体为研究对象，进行受力分析，在分析弹力的时候，务必考虑到弹簧伸长和压缩两种可能的状

15、态也就是物体所受弹力的有两个可能的方向。对物体应用平衡条件求出弹力，或者结合胡克定律求出弹簧的伸长量、压缩量以及弹簧的长度与原长。2、如图所示，a、b、c为三个物块，M、N为两个轻质弹簧，R为跨过光滑定滑轮的轻绳，它们均处于平衡状态.则:（ ）A.有可能N处于拉伸状态而M处于压缩状态B.有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态C.有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态D.有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态解析：研究a、N、c系统由于处于平衡状态，N可能处于拉伸状态，而M可能处于不伸不缩状态或压缩状态；研究a、M、b系统由于处于平衡状态，M可能处于压缩状态(或处于不伸不缩状态)，而N可能处于

16、不伸不缩状态或拉伸状态.综合分析，本题只有A、D正确.答案：A、D举一反三：【变式】如图所示，重力为G的质点M与三根相同的轻质弹簧相连，静止时，相邻两弹簧间的夹角均为120。，已知弹簧A、B对质点的作用力均为2G，则弹簧C对质点的作用力大小可能为（ ）A.2G B.G C.0 D.3G 解析：弹簧A、B对M的作用力有两种情况：一是拉伸时对M的拉力，二是压缩时对M的弹力.若A、B两弹簧都被拉伸，两弹簧拉力与质点M重力的合力方向一定竖直向下，大小为3G，此时弹簧C必被拉伸，对M有竖直向上的大小为3G的拉力，才能使M处于平衡状态.若A、B两弹簧都被压缩，同理可知弹簧C对M有竖直向下的大小为G的弹力.

17、A、B两弹簧不可能一个被拉伸，一个被压缩，否则在题设条件下M不可能平衡.选项B、D正确答案：BD.3、如图所示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧.在这过程中下面木块移动的距离为（ ）A. B. C. D. 解析：原来系统处于平衡态则下面弹簧被压缩x1，则有：；当上面的木块刚离开上面的弹簧时，上面的弹簧显然为原长，此时对下面的木块m2，则有：因此下面的木块移动的距离为故本题选C答案：C总结升华：缓慢向上提，说明整个系统一直处于动态平衡过程.3、弹簧测力计的原

18、理解决弹簧测力计的问题，首先明确弹簧测力计的原理弹力的大小与弹簧的形变量成正比，弹力的增量与弹簧形变量的增量也成正比，即、，因此弹簧秤的刻度是均匀的。4、量得一只弹簧测力计3N和5N两刻度线之间的距离为2.5cm。求：（1）这弹簧测力计3N、5N刻度线与零刻度线之间的距离。（2）这弹簧测力计所用弹簧的劲度系数。思路点拨：由求出劲度系数，然后根据胡克定律由劲度系数求出弹力是3N、5N时弹簧的伸长量，即为所求。解析：弹簧秤的刻度值应与该刻度线到零刻线的距离成正比。设3N、5N刻度线到零刻度线的距离分别为x1、x2，劲度系数为k。根据胡克定律F=kx；可得 得=。由可得。答案：3N刻度线到0刻线的距

19、离为3.8cm，5N刻线到0刻线的距离为6.3cm，弹簧的劲度系数为80N/m。举一反三：【变式】如图所示，弹簧秤外壳质量为m0，弹簧及挂钩的质量忽略不计，挂钩吊着一重物质量为m，现用一方向竖直向上的外力F拉着弹簧秤，使其向上做匀加速运动，则弹簧秤的读数为：A.mg； B. ； C.； D.思路点拨：弹簧秤的弹簧上任意位置弹力大小就是弹簧秤的示数，也就是说弹簧秤的示数指示等于弹簧上任一端所受拉力的大小。解析：对弹簧和物体组成的系统应用牛顿第二定律得：对吊钩上的物体用牛顿第二定律得：解得：弹簧秤对物体的拉力由牛顿第三定律知：弹簧秤上的弹簧受到的拉力大小也就是说弹簧秤的示数是答案：D总结升华：弹簧

20、秤的外壳有质量有重力，切不能认为弹簧秤壳受到的拉力等于弹簧秤上的弹簧受到的拉力。类型二：求与弹簧相连物体的瞬时加速度求解这类问题的方法是：（1）由物体所处的运动状态求出弹簧的弹力；（2）去掉某一个力后（通常是剪断绳子）的瞬间，认为弹簧的弹力不变化，求出物体受到的合力；（3）由牛顿第二定律列方程求解。5.如图（A）所示，一质量为m的物体系于长度分别为1、2的两根细线上，1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为，2水平拉直，物体处于平衡状态.现将2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度.（1）下面是某同学对该题的一种解法：解：设1线上拉力为T1，2线上拉力为T2，重力为mg，物体在三力作用下保持平衡：T1

21、cos=mg，T1sin=T2，T2=mgtan剪断线的瞬间，T2突然消失，物体即在T2反方向获得加速度.因为mgtan=ma，所以加速度a=gtan，方向在T2反方向.你认为这个结果正确吗?请对该解法作出评价并说明理由.（2）若将图A中的细线1改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图（B）所示，其他条件不变，求解的步骤与（1）完全相同，即a=gtan，你认为这个结果正确吗?请说明理由.解析：（1）结果不正确.因为2被剪断的瞬间，1上张力的大小发生了突变，此瞬间T2=mg cos，a=g sin（2）结果正确，因为2被剪断的瞬间、弹簧1的长度不能发生突变、T1的大小和方向都不变.总结升华：不可伸长

22、的绳子或者轻杆上的力是可以突变的，当弹簧或橡皮条的两端都有其他物体或力的约束且使其发生形变时，弹簧或者橡皮条上的力是不能突变的。举一反三：【变式1】A、B球质量均为m，AB间用轻弹簧连接，将A球用细绳悬挂于O点，如图示，剪断细绳的瞬间，试分析A、B球产生的加速度大小与方向.解析：开始A球与B球处于平衡状态，其受力图如图：剪断绳OA瞬间，A、B球均未发生位移变化，故弹簧产生的弹力kx也不会变化，kxmg，所以剪断绳瞬间，B受力没发生变化，其加速度aB0；A球受到合外力为kxmg，其加速度aA2g竖直向下答案：aB0、aA2g竖直向下【变式2】如图所示，竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧，两弹簧的

23、一端各与小球相连，另一端分别用销钉M、N固定与杆上，小球处于平衡状态，设拔除销钉M的瞬间，小球加速度的大小为12m/s2，若不拔除销钉M而拔除销钉N瞬间，小球的加速度可能是（g=10 m/s2）A、22 m/s2，方向竖直向上B、22 m/s2，方向竖直向下C、2 m/s2，方向竖直向上D、2 m/s2，方向竖直向下解析：此题要明白弹簧可能所处的不同的状态，可能拉伸、压缩，利用弹簧的瞬时问题很容易得出答案：B、C。类型三：与弹簧相关的临界问题或极值问题这类问题是弹簧问题中的热点和难点，它往往能够比较全面的考察考生的分析综合能力。解决这类问题的方法是：根据物体所处的运动状态运用牛顿定律、功能关系

24、或者能量守恒定律、胡克定律等列出方程以弹簧的伸长量或弹簧的弹力为自变量进行动态分析，从中找出临界状态、极值状态、转折状态以及对应的条件计算并进行必要的讨论。1、匀变速运动过程中弹力变化引起的临界状态6、一根劲度系数为k，质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度。如图所示。现让木板由静止开始以加速度a(ag匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。思路点拨：对物体受力分析，由牛顿第二定律列出方程，明确匀变速运动过程中合力大小方向不变，分析板对物体的支持力和弹力的变化情况，找出板与物体分离的条件进行求解。解析：设物体与平板一起向下运动的

25、距离为x时，物体受重力mg，弹簧的弹力F=kx和平板的支持力N作用。据牛顿第二定律有：mg-kx-N=ma 整理得N=mg-kx-ma物体匀变速运动，其加速度a恒定不变，随着物体向下运动X变大，板对物体的支持力N变小，当N=0时，物体与平板分离。所以此时由，得经过的时间板与物体分离。答案：总结升华：（1）板与物体分离的状态也就是物体匀变速运动的末状态，分离之后物体做简谐振动，不再是匀变速运动。动态分析是解决综合问题寻找隐含条件和临界条件的重要方法，动态分析的要点是：找出不变量、明确自变量和自变量的变化范围。举一反三：【变式】如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P处于

26、静止，P的质量m=12kg，弹簧的劲度系数k=300N/m。现在给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2s内F是变力，在0.2s以后F是恒力，g=10m/s2，则F的最小值是 ，F的最大值是 。解析：因为在t=0.2s内F是变力，在t=0.2s以后F是恒力，所以在t=0.2s时，P离开秤盘。此时P受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长。在0_0.2s这段时间内P向上运动的距离： x=mg/k=0.4m因为，所以P在这段时间的加速度当P开始运动时拉力最小，此时对物体P有：N-mg+Fmin=ma，又因此时N=mg，所以有Fmin

27、=ma=240N.当P与盘分离时拉力F最大，Fmax=m(a+g)=360N.答案：240N、360N2、极值问题与弹力功的特点7、如图所示，一劲度系数为k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12kg的物体A、B。物体A、B和轻弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.4s物体B刚要离开地面，设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g=10m/s2 ，求：（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。（2）此过程中外力F所做的功。解析：(1)A原来静止时：kx1=mg 当物体A开始做匀加速运动时，拉力F最小，设为F1，对物体A有：

28、F1kx1mg=ma 当物体B刚要离开地面时，拉力F最大，设为F2，对物体A有：F2kx2mg=ma 对物体B有：kx2=mg对物体A有：x1x2 由、两式解得 a=3.75m/s2 ，分别由、得F145N，F2285N(2)在力F作用的0.4s内，初末状态的弹性势能相等，由功能关系得：WF=mg(x1x2)+49.5J答案：(1) 45N， 285N (2) 49.5J总结升华：拉力F的功是变力的功，不能直接用功的计算公式求解，要用功能关系求解；弹簧弹力的功与路径无关，只取决于初、末状态的形变量，这一点必须引起注意。类型四：与简谐运动相关的问题动力学中一类重要的问题与弹簧相联系的物体的运动大

29、都是简谐运动，解决这类问题最好的方法就是运用简谐运动的基本规律和结论去分析问题解决问题。为了使问题分析更加准确和快捷，画好运动过程中一些典型状态图是非常必要的，因为分析物理过程的关键常常需要分析其中的典型状态，所以画好典型状态图可以帮助我们轻松解决弹簧类问题。简谐运动的规律和结论：简谐运动是变加速运动，物体靠近平衡位置时速度增大加速度减小；远离平衡位置时速度减小，加速度增大；描写运动的各个物理量具有对称性和周期性；简谐运动机械能守恒等。1、简谐运动的对称性和功能关系的运用8、劲度系数为k的轻弹簧两端分别连接质量都是m的木块P、Q如图所示，处于静止状态。现用竖直向下的力F缓慢压P，最终使系统处于

30、静止状态。撤去F后P做简谐运动而Q 恰好始终不离开地面。求：（1）物体P的振幅A。（2）物体P的最大加速度am。（3）外力F压物体p所做的功W。思路点拨：画出运动过程弹簧的几个典型状态，形成清晰的物理情景，运用规律求解。状态：弹簧处于原长，如图(1)。状态：放上物体P后静止时位于C点（弹簧被压缩），如图(2)。状态：用竖直向下的力后F缓慢压P至D点，刚撤去F时（弹簧被压缩至最短），如图(3)。状态：物体P向上运动至最高点E时（弹簧伸长至最长），如图(4)。画出上列四个状态图后，此题的物理情境就非常清晰了。解析：（1）设放上物体P后，当P静止于C点时弹簧的压缩量为x1，则kx1=mg C点即为P

31、做简谐运动的平衡位置。 现用力F缓慢压P至D撤去F，C、D间的距离即为振幅A。 又Q恰好始终不离开地面，故P运动至最高点E时，地面对Q的支持力为零，即 kx2=mg 又因为Ax1 x2 由得A2mg/k （2）由简谐运动的特点知，P在最高点和最低点的加速度最大，由牛顿第二定律得 kAmam 由得am2g（3）由得x1x2 即物体在C、E两点处弹簧的弹性势能相等。 又物体P在C、E两点的动能均为零，故P从C到E的过程中，力F压P做的功 WFmg（x1 x2）=2m2g2/k.2、有恒定摩擦力的简谐振动的计算9一皮带传动装置如图所示，皮带的速度v足够大。一根质量不计、劲度系数为k的轻弹簧一端固定，

32、另一端连一个质量为m的滑块，已知滑块与皮带间的动摩擦因数为，当滑块放到皮带上时，弹簧的轴线恰好水平，若滑块放到皮带上的瞬间，滑块的速度为零，且弹簧正好处于自由长度，则当弹簧第一次伸长到最长时，滑块与皮带间所产生的热量是多少？（已知：简谐振动周期）解析：由于皮带的速度v足够大，故以皮带为参照物，滑块始终是向右运动，滑块所受到的滑动摩擦力方向始终是向左的。滑块实际上是向左运动，只要弹簧对它的拉力小于摩擦力，滑块是加速运动。当弹簧对它的拉力大于摩擦力，滑块做减速运动，当滑块的速度减小到零时，弹簧的伸长量最大，以后，滑块在弹簧拉力和摩擦力的作用下向右运动。由于滑块在运动过程中所受到的摩擦力的大小和方向

33、都不变，故此滑块在皮带上的运动类似于竖直的弹簧振子，此处的摩擦力相当于竖直弹簧振子的重力，所以滑块的运动是一个简谐运动。其振幅为，弹簧伸长的最大长度也就是滑块运动的位移（对地）为：s=2A=2mg / k，滑块在这段位移是所经历的时间为，滑块在皮带上的相对路径为，所以在这段时间内产生的热量。答案：总结升华：简谐振动的系统受到恒力的作用时仍然为简谐振动，并且其周期不发生变化。运用类比的思维方式往往会使问题解决方便一些。3、简谐振动的对称性和临界问题10如图所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B相连，木块A放在木块B上，两木块质量均为m，在木块A上施有竖直向下的力F，整个装置处于静止状态（

34、1）突然将力F撤去，若运动中A、B不分离，则A、B共同运动到最高点时，B对A的弹力有多大？（2）要使A、B不分离，力F应满足什么条件？思路点拨：力F撤去后，系统做简谐运动，该运动具有明显的对称性，该题利用最高点与最低点的对称性来求解，会简单的多解析：（1）最高点与最低点有相同大小的回复力，只有方向相反，这里回复力是合外力在最低点，即原来平衡的系统在撤去力F的瞬间，受到的合外力应为F/2，方向竖直向上；当到达最高点时，A受到的合外力也为F/2，但方向向下，考虑到重力的存在，所以B对A的弹力为（2）力F越大越容易分离，讨论临界情况，也利用最高点与最低点回复力的对称性最高点时，A、B间虽接触但无弹力

35、，A只受重力，故此时恢复力向下，大小位mg那么，在最低点时，即刚撤去力F时，A受的回复力也应等于mg，但根据前一小题的分析，此时回复力为F/2，这就是说F/2=mg则F=2mg因此，使A、B不分离的条件是F2mg答案：（1） （2）F2mg总结升华：简谐运动在对称的位置上，位移以及与位移成正比的回复力、回复加速度大小相等方向相反，其余的物理量其方向不一定相反；回复力是物体在振动方向上的合力，不是某一个力。类型五：弹簧传感器11.惯性制导系统已广泛应用于弹道式导弹工程中，这个系统的重要元件之一是加速度计，加速度计的构造原理示意图如下图所示。沿导弹长度方向安装的固定光滑杆上套一质量为m的滑块，滑块

36、两侧分别与劲度系数为K的弹簧相连，弹簧处于自然长度，滑块位于中间，指针指示0刻度，试说明该装置是怎样测出物体的加速度的? 解析：当加速度计固定在待测物体上，具有一定的加速度时，例如向右的加速度a，滑块将会相对于滑杆向左滑动一定的距离x而相对静止，也具有相同的加速度a，由牛顿第二定律可知：aF而Fx，所以ax。因此在标尺相应地标出加速度的大小，而0点两侧就表示了加速度的方向，这样它就可以测出物体的加速度了。举一反三：【变式】在科技活动中某同学利用自制的电子秤来称量物体的质量。如图所示，托盘和弹簧的质量均不计，滑动变阻器的滑动端通过一水平绝缘轻杆与弹簧上端相连，当托盘中没有放物体时，电压表示数为零

37、。设变阻器的总电阻为R，总长度为L，电源电动势为E，内阻r，限流电阻的阻值为R0，弹簧劲度系数为k，不计一切摩擦和其他阻力，电压表为理想电压表。当托盘上放上某物体时，电压表的示数为U，求此时称量物体的质量。解析：设托盘上放上质量为m的物体时，弹簧的压缩量为x，则mg=kx 由全电路欧姆定律知：（4分）由部分电路欧姆定律知：U=I·R=I·联立求解得：答案：总结升华：电压表的内阻很大，通过它的电流很小，在计算时可以将其忽略以简化计算。类型六：弹簧弹力的功、弹性势能、能的转化和守恒问题与弹簧相关的综合问题无一不涉及弹力做功和能量转化问题，解决这类问题最关键的环节是：（1）分析物

38、体的受力情况并结合初始条件明确物体做什么运动（2）根据功的计算公式分析在每一个过程或者阶段中有哪些力做功、哪些力不做功、哪些力做正功或者做负功。（3）着眼系统根据功能关系明确哪些能量在增加或者减少（4）注意到重力的功和弹力的功的重要特点列方程求解。1、一个物体与弹簧组成的系统机械能守恒的问题12、如图所示，轻质弹簧竖直放置在水平地面上，它的正上方有一金属块从高处自由下落，从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中A重力先做正功，后做负功B弹力没有做正功C金属块的动能最大时，弹力与重力相平衡D金属块的动能为零时，弹簧的弹性势能最大解析：要确定金属块的动能最大位置和动能为零时的情况，就要分析它的运动

39、全过程弄清楚物体的运动情况。为了物体弄清运动情况，必须做好受力分析。可以从图3-19看出运动过程中的情景。从图上可以看到在弹力Nmg时，a的方向向下，v的方向向下，金属块做加速运动。当弹力N等于重力mg时，a=0加速停止，此时速度最大。所以C选项正确。弹力方向与位移方向始终反向，所以弹力没有做正功，B选项正确。重力方向始终与位移同方向，重力做正功，没有做负功，A选项错。速度为零时，恰是弹簧形变最大时，所以此时弹簧弹性势能最大，故D正确。所以B，C，D为正确选项。答案：B C D误区警示：（1）错解思维过程分析：金属块自由下落，接触弹簧后开始减速，当重力等于弹力时，金属块速度为零。所以从金属块自

40、由下落到第一次速度为零的过程中重力一直做正功，故A错。而弹力一直做负功所以B正确。因为金属块速度为零时，重力与弹力相平衡，所以C选项错。金属块的动能为零时，弹力最大，所以形变最大，弹性势能最大。故D正确。 （2）错解原因分析：形成以上错解的原因是对运动过程认识不清。对运动性质的判断不正确。金属块做加速还是减速运动，要看合外力方向（即加速度方向）与速度方向的关系。总结升华：（1）对于较为复杂的物理问题，认清物理过程，建立物情景是很重要的。做到这一点往往需画出受力图，运动草图，这是应该具有的一种解决问题的能力。（2）分析问题可以采用分析法和综合法：如C选项中动能最大时，速率最大，速率最大就意味着它

41、的变化率为零，即a=0，加速度为零，即合外力为零，由于合外力为mg-N，因此得mg=N，D选项中动能为零，即速率为零，单方向运动时位移最大，即弹簧形变最大，也就是弹性势能最大。（3）题中金属块和弹簧在一定时间和范围内做往复运动是一种简运振动。从简谐运动图象可以看出位移变化中速度的变化，以及能量的关系。举一反三：【变式】如图所示，水平地面上沿竖直方向固定一轻质弹簧，质量为M的小球，由弹簧上高H处自由落下，刚接触到弹簧时的速度为V，在弹性限度内，弹簧被小球作用的最大压缩量为h，那么弹簧在被压缩了h时，弹性势能为（ ）A、mgH B、mgh C、mgh+mv2D、mgH+mv2E、mg（h+H）思路

42、点拨：这类问题较简单，从能的转化上看只是弹簧的弹性势能与物体的动、势能之间的转化，明确系统的初末状态由动能定理或能量守恒等知识即可解决。解析：以系统机械能守恒为依据解题（1）将物体刚接触弹簧时作为系统的初状态，弹簧最大压缩时作为末状态，则这一过程系统减少的重力势能和动能mgh+mv2全部转化为弹性势能EP ，所以选项C正确；（2）从着眼系统从全过程看，物体从弹簧上方高处自由下落至弹簧的最大压缩量h时，重力势能减少了：（），由于末态系统速度为零，减少的重力势能最终全部转化为弹簧的弹性势能，所以选项E 正确。正确答案为（C、E）。答案：C、E2、两个物体和弹簧组成的系统能量守恒与临界状态相结合的问

43、题13如图所示，质量分别为m和M的A、B两重物用劲度系数为k的轻质弹簧竖直地连接起来，使弹簧为原长时，两物从静止开始自由下落，下落过程中弹簧始终保持竖直状态。当重物A下降距离h时，重物B刚好与地面相碰，假定碰后的瞬间重物B不离开地面（B与地面做完全非弹性碰撞）但不粘连。为使重物A反弹时能将重物B提离地面，试问下落高度h至少应为多少？（提示：弹簧形变量为x时的弹性势能为EP=）思路点拨：系统在B物体着地之后A物体做简谐运动，先压缩弹簧后被反弹，当A上升过程中弹簧的拉力等于B 的重力时，B开始离开地面，此运动过程系统的机械能守恒解析：B触地时，弹簧为原长，A的速度为：A压缩弹簧，后被向上弹起弹簧又

44、恢复原长时，因机械守恒，可知A的速度仍为：A继续向上运动拉伸弹簧，设法VA=0时弹簧伸长量为x，则要使此时B能被提前离地面，应有：kx=Mg而在此弹簧被拉伸的过程对A和弹簧有：由上几式可解得：答案：总结升华：抓住临界状态解题往往会使得解题过程简化，如本题中VA=0时弹簧伸长量为x， B恰好被提前离地面，就是一个临界状态，对应的临界条件是：kx=Mg3、两个或两个以上物体与轻质弹簧相连问题：动量守恒定律能量守恒定律的应用1）由弹簧的系统动量守恒和能量守恒的判断解决此类问题的关键所在是：真正理解动量守恒定律和能量守恒定律适用的条件及其区别，能够根据实际问题适当的选取系统为研究对象14、 如图，木块

45、B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短。现将子弹、木块和弹簧合在一起作研究对象，则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩到最短的过程中 A动量守恒，机械能守恒 B动量不守恒，机械能不守恒C动量守恒，机械能不守恒 D动量不守恒，机械能守恒解析：以子弹、弹簧、木块为研究对象，分析受力。在水平方向，弹簧被压缩是因为受到外力，所以系统水平方向动量不守恒。由于子弹射入木块过程，发生剧烈的摩擦，有摩擦力做功，系统机械能减少，也不守恒，故B正确。答案：B误区警示：（1）错误解法：以子弹、木块和弹簧为研究对象。因为系统处在光滑水平桌面上，所以系统水平方向不受外力，系

46、统水平方向动量守恒。又因系统只有弹力做功，系统机械能守恒。故A正确。（2）错解原因：错解原因有两个一是思维定势，一见光滑面就认为不受外力。二是没有弄清楚题目特指的研究对象和物理过程；三是规律适用条件不清楚，忽略了子弹和木块短暂的相互作用过程有滑动摩擦力做功，有机械能的损失。2）多物体弹簧系统，应用守恒定律进行计算的问题这类问题一般比较复杂，两个物体或三个物体与轻弹簧相互作用的题目比较常见， 在高考压轴题中时有出现，解决这类问题除了运用动力学的一般方法外还要特别注意如下几个方面：研究对象的选取应取哪几个物体组成的系统为研究对象，因为看不到系统就看不到守恒；物理过程的选取必须明确系统在哪一个过程或

47、者哪一个阶段上哪一个物理量是守恒的，尤其不能忽视短暂的相关过程可能会有机械能的损失；分析临界状态或极值状态通过分析过程找出特殊状态的条件15质量均为m的A、B两球，一轻弹簧连接后放在光滑水平面上，A被一水平速度为v0，质量为的泥丸P击中并粘合，求弹簧能具有的最大势能。思路点拨：泥丸与A相互作用的过程弹簧的作用力可以忽略，动量守恒，泥丸与A共速后的运动过程中整个系统动量和机械能都守恒，最大的弹性势能必定发生在AB不存在相对运动的状态即共速的状态。解析：如上分析图，整个过程有三部分组成：（1）P与A作用获瞬间速度。（2）P与A一起运动后于弹簧作用再与作用，P与A减速运动，B加速运动。（3）当P、A

48、、有共同速度时，弹簧有最大压缩量，具有max.从状态1状态2有动量守恒：v0=(+m)v1 得：v1=v0 从状态2状态3有动量守恒：(+m)v1=（m+m）v2 （或从状态状态3有动量守恒：v0=（m+m）v2）所损失的机械能在过程12中，而23中机械能守恒。=··v02（+m）v12=mv02 由能量守恒得：弹簧具有的最大弹性势能为EP··v02-=·v22+EP 由-得: EP=或用从23过程求解：EP=（+m）v12（m+m）v22=答案：误区警示：认为最大的弹性势能EP=··v02-（m+m）v22=是错误的，因为

49、泥丸与A相互作用的短暂的过程中有机械能的损失。举一反三：【变式1】如图示，两相同物块静止在光滑水平面上，中间连着一根弹簧，现有一质量为m0的子弹以水平速度v0射进一物块中未穿出，在以后的作用过程中速度均与v0在同一直线上，物块质量均4m0，则由子弹、弹簧、两物块组成的系统在子弹射入物块1后A产生的内能为 B.物块2的最大速度为C系统的最大动能为 D.最大弹性势能为解析：（1）系统不受外力，动量守恒；子弹射入物块1的过程中，内力为摩擦力，机械能减小，减少的机械能全部转化为内能；然后由子弹、弹簧、两物体组成的系统内力为弹簧的弹力，系统机械能守恒。子弹与物块1：解得： A正确子弹射入前动能为，射入1

50、时损失了，故系统最大动能为。（2）由于子弹射入物块1后系统机械能守恒，当弹性势能最小(为零)时动能最大，此时物块1、2动物才具有最大速度。从子弹射入物块1到弹簧第一次恢复原长(此时物块2速度最大)相当于一动一静的弹性碰撞，有 解得：即 B、C错（3）当弹簧形变最大时弹性势能最大，由运动学知，当两物块速度相等时弹簧有最大形变量(追击问题中的相距)。从子弹打入物块1后到物块有共同速度v的过程相当于完全非弹性碰撞。有 解得： D正确答案：AD总结升华：（1）、当弹簧处于自然长度时，系统具有最大动能；系统运动中弹簧从自然长度开始到再次恢复自然长度的过程相当于弹性碰撞过程。（2）、当弹簧具有最大形变量时

51、，两端物体具有相同的速度，系统具有最大的弹性势能。系统运动中，从任意状态到弹簧形变量最大的状态的过程相当于完全非弹性碰撞的过程。(实际上应为机械能守恒)【变式2】（全国高考题）质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上平衡时，弹簧的压缩量为x0，如图1-9-15所示一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度求物块向上运动到达的最高点与O点的距离解析：质量为m的物块运动过程应分为三个阶段：第一阶段为自由落体运动；第二阶段为和钢板碰撞；第三阶段是和钢板一道向下压缩弹簧运动，再一道回到O点质量为2m的物块运动过程除包含上述三个阶段以外还有第四阶段，即2m物块在O点与钢板分离后做竖直上抛运动弹簧的初始压缩量都是x0，故有对于m：第二阶段，根据动量守恒有mv0=2mv1对于2m物块：第二阶段，根据动量守恒有2mv0=3mv2