第二型曲线积分课件

1、第二型曲线积分1 第二型曲线积分第二型曲线积分 the line integralswith respect to coordinate variables第二型曲线积分2第二型曲线积分与曲面积分第二型曲线积分与曲面积分 两型线面积分的三点根本差异：两型线面积分的三点根本差异： 作为用积分来研究的整体量的物理背景作为用积分来研究的整体量的物理背景 不同，二型线面积分涉及不同，二型线面积分涉及场论场论；并总取非负值；并总取非负值； 第一型线面积分的第一型线面积分的 不考虑方向，不考虑方向， dsds、曲线要曲线要定向定向, ,dsds edsds ne曲面要曲面要定侧定侧, 且微元是向量且微元是

2、向量第二型线面积分则不同，第二型线面积分则不同，第二型曲线积分3被积函数：第一型积分为被积函数：第一型积分为数量值数量值函数的积分函数的积分 ),(),(zyxfuyxfz 或或 第二型为第二型为向量值向量值函数函数(不排除有的分量为零不排除有的分量为零)：kzyxrjzyxqizyxpzyxa),(),(),(),( 一、第二型曲线积分一、第二型曲线积分1. 物理背景与概念物理背景与概念典型问题典型问题“力场沿曲线力场沿曲线 c 的作功问题的作功问题”.第二型曲线积分4设场力设场力(向量值函数向量值函数)：),(),(),(),(zyxrzyxqzyxpzyxf 3)(),(rczyx 曲曲

3、线线0aa 1aban 1naka1 ka)(kmfl 分四步解：分四步解： 细分细分,111 kkkkkkzzyyxx,kkkzyx kkkaas1 求场力求场力 沿曲线沿曲线 c从从 a到到b所作的功。所作的功。),(zyxfkkaa1 max1nkd 记记ks 第二型曲线积分5 近似代替近似代替kkksmfw )(kkkkkkzmrymqxmp )()()( 求和求和 (得总功近似值得总功近似值) nkkww1 nkkksmf1)( 取极限令取极限令 (得总功精确值得总功精确值)0d badsf nkkkdsmfw10)(lim第二型曲线积分6l 二型线积分概念的一般表示二型线积分概念的

4、一般表示 cdzzyxrdyzyxqdxzyxp),(),(),( w 有向线段有向线段 c分段光滑并可求长，分段光滑并可求长，上有定义；上有定义；w 第二型曲线积分是对坐标的线积分；第二型曲线积分是对坐标的线积分；w 被积表达式是两向量的点积，被积表达式是两向量的点积， 可以有可以有)(ma dsa)(定定向向c一个或两个分量为零，如一个或两个分量为零，如 nkkkdsma10)(lim)(ma在在 c第二型曲线积分7中中2r，或或 cdxyxp),( ccdzzyxrdyzyxqdxzyxpdsa),(),(),(，或或 cdyzyxqdxzyxp),(),(都是第二型曲线积分。都是第二型

5、曲线积分。 ccdyyxqdxyxpdsa),(),( cdyyxq),(中中3r cdzzyxr),(,),( cdxzyxp2. 第二型曲线积分性质第二型曲线积分性质第二型曲线积分8c 设设 a, b, p 为曲线为曲线 c 上任意三点，则上任意三点，则 对于二型环路积分对于二型环路积分 abdsabaa ds abdsa pbpadsadsaabpabcdsa1cdsa2cdsa2c1cmn第二型曲线积分93. 第二型曲线积分的计算法第二型曲线积分的计算法l第二型曲线积分的基本计算法也是通过第二型曲线积分的基本计算法也是通过设曲线设曲线 c 已给定方向，其已给定方向，其参数方程参数方程为

6、为ktzjtyitxtrrc)()()()(: 则二型线积分有计算式则二型线积分有计算式转化为转化为定积分定积分进行计算的。进行计算的。参数参数 t ： (对应始点对应始点) (对应终点对应终点) .第二型曲线积分10 dttxtztytxp)()(),(),( dttytztytxq)()(),(),( dttztztytxr)()(),(),( 计算式中可能只出现一、二项，但仍是计算式中可能只出现一、二项，但仍是二型线积分，不是定积分；二型线积分，不是定积分； dsac定向定向 cdzzyxrdyzyxqdxzyxp),(),(),(第二型曲线积分11 对应始终点的上下限对应始终点的上下限

7、, 并非一定是并非一定是； 曲线曲线 c 若给其它形式的方程，只要全力若给其它形式的方程，只要全力 找出它的等价参数方程，问题即可迎刃找出它的等价参数方程，问题即可迎刃 而解。而解。例例1 计算计算 cdzzxzdyyzdxi22其中其中 c为螺旋线为螺旋线ktztaytax ,sin,cos上对应上对应 至至 的有向弧段。的有向弧段。 tt0第二型曲线积分12解解 cdzzxzdyyzdxi22 0)sin(sindttaktta 0)cos(cosdttaktta 0222dtktk 0232)2(tdtktka33232 kka 例例2 计算计算 其中其中 cdyxyxydxi)(1)

8、c 为折线段为折线段),20( ,11 xxy；方方向向从从)0, 0()1, 1()0, 2(oab第二型曲线积分13解解(2) 沿沿 x 轴由轴由).0, 0()0, 2(ob(1) 对折线对折线: xyxxba2: xyxxao :于是，于是，dyxyxydxibao )(yoxa(1,1)1)0 , 2(bxy xy 20, 0dyy, 12:从从x, 01:从从x)20(,11 xxy应该分段考虑，应该分段考虑，第二型曲线积分14 12)1)(2()2(dxxxxxdxxx 122)24( 01)(dxxxxxdxx 0122 (2) 沿沿 x 轴由轴由).0, 0()0, 2(ob

9、 bodyxyxydxi)(0002 dxxyoxa(1,1)1)0 , 2(bxy xy 20, 0dyy0 baao第二型曲线积分150.20.40.60.810.20.40.60.81ab0, yxx yyx0解解(1)( (2) )从从 a(1,0)沿沿 折线折线 到到).1 ,0(baob(1)(1)从从 a(1,0)沿上半单位圆至沿上半单位圆至);1 ,0(b 20)(cossin(cos)sin)(sin(cos d sincosyx例例3 计算计算 其中其中l l为为ixy dxxy dy()() ababixy dxxy dy()() 沿沿a ab b弧弧第二型曲线积分16d

10、xyy dy0()(0) o o b b d)2sin2(cos20 解解( (2)=0=0 此积分此积分沿两条不同路径沿两条不同路径的积分值相同。的积分值相同。 ixy dxxy dy()() 沿沿折折线线a ao ob bxdxdyx()(00) a ao oxdxydy0110 1 / 201cos 22 1 第二型曲线积分17例例4 计算沿有向闭路计算沿有向闭路 的线积分：的线积分：abcda解解dyxyydxxyxabcda )2()2(22dyxyydxxyxabcda )2()2(22abcd1111oxydyxyydxxyxdacdbcab )2()2(22方向如图。方向如图。

11、第二型曲线积分18 此例此例环路环路积分为零积分为零,但各分段路径的积分但各分段路径的积分abyy dy1212 1() bcxxdx1211(2) cdyy dy1212 ()1 daxxdx12112() 0, 1 dxx0, 1 dxx0, 1 dyy0, 1 dyydyyy 112)2(dxxx 112)2(dyyy 112)2(dxxx 112)2(0 c1111oxyabd不为零不为零。第二型曲线积分19例例5 计算计算 其中其中 c 为为 cyxdyyxdxyxi22)()(解解圆周圆周: 方向沿方向沿逆时针逆时针(正向正向).222ayx cyxdyyxdxyxi22)()(a

12、tatatatat atdat202( cossin )(sin )( cossin )( cos ) ).20(,sin,cos: ttaytaxcdttt)cos(sin2202 dt 20 2 第二型曲线积分204. .两类线积分的联系两类线积分的联系,),(),(),()(battttztytxtrr 二型环路二型环路(闭路闭路)上的线积分有时为零上的线积分有时为零(例例4), 有时不为零。有时不为零。 有什么规律吗有什么规律吗？ 积分路径有关积分路径有关. 当始、终点一样时当始、终点一样时, 沿不同沿不同沿不同路径的线积分值有的相同沿不同路径的线积分值有的相同(例例3), 有有的不同

13、的不同(例例2)。设曲线设曲线c： 二型曲线积分不仅与始、终点有关二型曲线积分不仅与始、终点有关, 还与还与 第二型曲线积分21其方向余弦其方向余弦|)(|)(trtre ,|222dsdzdydxds dseds 因此两型线积分有以下关系：因此两型线积分有以下关系： crdzqdypdx其上点点切向量：其上点点切向量：)(),(),()(tztytxtr 则因则因dsrqpc)coscoscos( dseac cdsa二二型型一一型型cos,cos,cos dstrtr|)(|)( dttr)( dttrtrtr|)(|)(|)( 第二型曲线积分22例例6计算计算,)()()( ldzyxdyxzdxzy其中其中l为椭圆：为椭圆：,1, 122 zxyx方向是：方向是：站在站在 x 轴正向看为逆时针方向。轴正向看为逆时针方向。解解1(基本算法基本算法)椭圆椭圆l的参数方程为：的参数方程为：txcos tysin tzcos1