6.2.4向量的数量积-新教材2019-2020学年高一数学人教A必修第二册同步高效学案

1、6. 2.4向量的数量积导学聚焦考点学习目标核心素养向量的夹角理解平面向量夹角的定义,并会求已知两 个非零向量的夹角直观想象、数学运算向量数量积的含义理解平面向量数量积的含义并会计算数学抽象、数学运算投影向量理解。在6上的投影向量的概念数学抽象向量数量积的性质和运算律掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用数学运算、逻辑推理预案，研读导学.尝试 0问题导学预习教材P17-P22的内容，思考以下问题：1 .什么是向量的夹角？2 .数量积的定义是什么？3 .投影向量的定义是什么？4 .向量数量积有哪些性质？5 .向量数量积的运算有哪些运算律？*新知初探1 .两向量的夹角(1)定义：已知两个非零

2、向量。，b,。是平面上的任意一点，作为=小 /B OB = b,则 乙4OB=6QW8W n )叫做向量a与b的夹角./(2)特例：当8=0时，向量。与“回回：° a当8=9"时，向量与b垂直,记作a«LA：当8=71时，向量与b反向.名师点拨按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如/C图所示，NA4c不是向量己与，值的夹角.作，则才是向量日与,百的夹角.yJ.2 .向量的数量积i已知两个非零向量。与6,它们的夹角为仇把数量步|cos 叫做向量。与6的数量积(或内积),记 作 a b,即 a-b=abcos .规定零向量与任一向量

3、的数量积为3名师点拨(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积, 其符号由夹角的余弦值来决定.(2)两个向量的数量积记作“6,千万不能写成X6的形式.3 .投影向量换：过工&的起我们称上述如图，设，6是两个非零向量，.百=。，CD=b,我们考虑如下变点工和终点3,分别作曲所在直线的垂线，垂足分别为，51，得至必回， / b ,1 乐D变换为向量。向向量6投影(project),而】叫做向量。在向量b上的投影向如图(2),在平面内任取一点。，作&=，ON=b,过点M作直线ON的垂线，垂足为,则两就是向量在向量力上的投影向量.(2)

4、若与b方向相同的单位向量为e, 与6的夹角为8则用 = |cos 。e.名师点拨当8=0时，而尸|水；当时，须 =0；当0,勺时，向1与6方向相同；当6£(三，n时，6环与6方向相反；当6=兀时，0Mi = -ae.4 .向量数量积的性质设0, 6是非零向量，它们的夹角是夕e是与办方向相同的单位向量，则(1)。e=e a = |n|cc>s °.aJ_6=ab = 0.(3)当。与6 同向时，a-b=ab,当。与6反向时，ab= ab.特别地，a-a=a2 a=(ra.(4)|,山区101M名师点拨对于性质(2),可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂

5、直，只需判定它们的数量 积为0即可；若两个非零向量的数量积为0,则它们互相垂直.5 .向量数量积的运算律(1)。山=红(交换律).(2)() b=；.(ab) = a 3)(结合律).(3)(a+6) c=仁心式分配律).名师点拨(1)向量的数量积不满足消去律；若d b, c均为非零向量，且。-c=6a但得不到。=4(2)(a6) cWaQc),因为ab, 是数量积，是实数，不是向量，所以(。山)/ 与向量c共线，。Q-c)与向 量。共线，因此，(g6>c=Qc)在一般情况下不成立.(3)(。±6)2=，±2。 b+b2.、自我检测O判断(正确的打“ J”，错误的打“

6、X”)(1)两个向量的数量积仍然是向量.()(2)若。5=0,则。=0 或。=0.()(3)/t, 3 共线=力=|四.()(4)若 a b=b c,则一定有。=c.()(5)两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量.() 答案：(1)X (2)X (3)X (4)X (5) J若网=4, M = 6,与的夹角为45° ,则“=()A. 12B. 12 艰C. -1272D. -12解析:选 Bin , ri=m |w|cos 450 =4X6X乎=12艰.己知同= 10，例=12,且(3。(，)= 一36,则。与3的夹角为()A. 60°B.

7、 120°C. 135°D. 150°解析：选B.设。与6的夹角为夕因为(3a) (，)= -36,所以3X5B=-36,又同=10,例=12,所以 3X：X10X12cos 6 = -36,所以 cos 8 = 一+又因为 8£0° , 180° ,所以 6=120° .4.已知口尸小，例=1,且。-b与。+23互相垂直，则a6= 解析：因为ab与a+2b互相垂直，所以(一 b)(a+2b)=0, 即 a2+a b2b2 = 0.又因为b=l 9所以。 6=2一2=2X4一(艰y=o,即 a b = 0.答案：0，探究家

8、®0电解惑探究-突破探究点n平而向量的数量积运算(1)已知同=6,固=4, 与。的夹角为60° ,求(a+26) (+36).(2)如图,在Qa3CD中,懑尸4,成)尸3, ZD=60° ，求:(T)AD BCx 善豆.【解】(。+25)(+3»=。+5。6+66必=a2 + 5a-b + 6|hp=|a|2+5|a|*|cos 600 +6例2= 62+5X6X4Xcos 600 +6X42=192.因为豆)比，且方向相同， 所以与粉的夹角是0° ,所以历诙=通函3。0 =3X3X1=9. 因为，点与二5的夹角为60° , 所以,功

9、与扇的夹角为120° ,所以万 Si = ABai cos 1200 =4X3xf-|V-6.互动探究变问法偌本例Q)的条件不变，求五 BD.解：因为KC=zl8+/lZ), BD=ADAB9 所以 it BD=(AB+-W) GW - AB) = ib2-S2 = 9-16=-7.律方法向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量 积的关键.(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.跟踪训练1 . (2018方考全国卷II)已知向量。，满足ab=T,贝IJ(2a-6) = ()A.

10、 4B. 3C. 2D. 0解析：选 B.a (2a-b)=2翁-a b=2-(1) = 3,故选 B.2 .已知菱形.158 的边长为d 乙18C=6(r ,则应)=.解析：BD CD=BD - BA = (BA+BQ BA=(BA)2+BC - BA=a2+a2 cos 600 =#答案：jo?探究点'向量模的有关计算tas (1)已知平面向量。与6的夹角为60° ,同=2,回=1,则口+26|=(A.于C. 4D. 12(2)向量”，6满足同=1, I”一=坐，。与b的夹角为60° ,则固=()1 -2 1-4 B D【解析】(1)口+26|=。(+26) 2

11、=7+46+4分=、/同2+4,向cos 60。+4例2由题意得|一忏=同2 +向2-2阿瓦85 60° =1,即1+|斤一例=|,解得向=/【答案】(1)B (2)B律方法求向量的模的常见思路及方法(1)求模问鹿一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用标=图2,勿忘记开方.(2)=标=同2或|=而，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.跟踪训练;1 .已知向量与'的夹角为120。，且同=4,向=2,则尸. 3a-4b= 解析：由已知得6=同回cos 8=4X2Xcos 1200 =4, a2=|a|2=16, b2 = bf=4. 因为| +阡=(0 +。)2 =

12、标+ 2山十分= 164-2X(-4)4-4=12,所以 |0+b|=2，I因为 |3。- 4可=(3。- 4b>=9/ - 24。6 +16b2= 9X16 24X(4)+16X4 = 304,所以 |3 一 46|=4 小.答案：2小4P2 .已知向量。,6满足同=例=1, 口一切=1,则|a+b|=.解析：法一：由述一。| = 1得标一2。6+4=1,所以同2 - 2必+例2=1,所以2。2=1,所以|。+切=4标+ 2。力+於=1 + 1 + 1=41法二：如图，因为同=冏="b|=l,所以八403是正三角形，乙403=60° ,所以|。一A。?一2。b+2=

13、22。力=1,所以力=3，所以|。+52=。2+2。6+62 = 1+2乂：+1=3,所1向量的夹角与垂直 命题角度一：求两向量的夹角31 (1)已知同=6,网=4,(a+2b) (a-3b)=-72,则。与、的夹角为(2)(2019届考全国卷I改编)已知非零向量。，5满足同=2例，且(。一与，5,则与6的夹角为【解析】(1)设。与 6 的夹角为 6, (a+2b(a-3b) = a a-3a b+2b a-6b b =|一2一6|阡=|n|2一同回cos 66画2=62-6X4Xcos "6 X 42=-72, 所以 24cos 6=36 + 72-96 = 12, 所以cos 8

14、=2.又因为n,所以=y.» 2（2）设与b的夹角为0,由（a-b）工b,得（一与力=0,所以0。=犷，所以cos夕=瑞工又因为同=2例, 所以cos 8=粽=又因为6£0, n,所以6=/.【答案】（l）y （2）1命题角度二：证明两向量垂直厥4 已知0, 6是非零向量，当。+必Q£R）的模取最小值时，求证：6_LS+力）.【证明】 因为|。+力|= （a+仍）2 =Ra? +产方+ 2fa b=7所户+ 2a bf+同2, 所以当/= 一等=一需时，|+必有最小值.此时 b （atb'）=b-a-tb=a,力二=5-o6=0.所以 bJ_（o+活）.命

15、题角度三：利用夹角和垂直求参数捌（1）已知。口，同=2,例=3且向量3。+23与桁一。互相垂直，则左的值为（）3 门3A.2B.5C.±|D.1（2）已知，b, c为单位向量，且满足3°+弱+7°=0,。与b的夹角为T，则实数，=-【解析】（1）因为3+26与痴一。互相垂直，所以（3+25）（痴一。）=0, 所以3痴2+（2上一3）。6一2跳=0. 因为。_L5,所以a b=0,又同=2,例=3,3 所以124一18=0, k=5.由 3。+乃+7c=0,可得 7c=（30+乃），即 49c2=9a2+2252+6z4T和a, b, c为单位向量，则 a2=b2=

16、c2=l9贝U 49=9+A2+6zcos y,印万+3240=0,解得 2=-8 或 2=5.【答案】(1)B (2) 8或5律方法求向量。与b夹角的思路（1）求向量。与6夹角的关键是计算。山及同例，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos夕=而， 最后借助8£0, n,求出6的值.（2）在个别含有同，回与n6的等量关系中，常利用消元思想计算cos。的值.跟踪训练若单位向量e” e2的夹角为T,向量a=ei+”2«£R），且尸坐，则2=解析：由题意可得约62 =/，同2 =（6+&2）2=1+2%乂；+产=本 化简得A2+2 + ：=0,解得= 一;答

17、案：一;验证反馈达标 1 .已知向量小。满足|。| = 1,网=4,且。6=2,则。与6的夹角6为（）71btnnCTdT解析：选 C.由题意，知。山=|a|b|cos 8=4cos 6=2,所以 cos 8=.又 0W6Wn,所以2 .已知同=冏=1, 与。的夹角是90° , c=2a+3b, d=ka-4b, c与d垂直，则左的值为（）A. 6B. 6C. 3D. -3解析:选B.因为cd=0,所以（2a+35）（6一46）=0,所以2而2 8。2+ 3痴为- 12。2 = 0,所以2A"=12,所以k=6.3 .已知|。|=3,囱=5,。沙=-12,且e是与。方向相同

18、的单位向量，则在6上的投影向量为 解析：设。与6的夹角3,则a b 124COS 8=葩=再=一亍所以。在上的投影向量为同cos de=3X（12=一丁Mg 12答案：-ye4 .已知同=1,例=娘.若a/by求a bx（2）若“，6的夹角为60° ,求|。+如（3）若。一£>与。垂直，求与6的夹角.解：设向量与b的夹龟为夕(1)当 d 6 同向，即 6=00 时，a b=巾;当，6 反向，即 6=180° 时，a b=-yj2.|+砰=WF+2a6 + |坪=3+，|+4=，3+/a h F)(3)由(。-5)。=0,得。2=。必，cos 8=丽=牛，又

19、6£0, 180° ,故 6=45° .应用案 &>库强化培优-通关A基础达标1 .己知匚X8CQ中NZU5=30° ,则成)与比的夹角为()A. 30°B, 60°C. 120°D, 150°解析：选D.如图，jb与日）的夹角为448C=150° .2 .已知单位向量m b,则（2。+6） （2一与的值为（）A.小B邛C. 3D. 5解析：选C.由题意得Q+5） （2a。）=4标一炉=4- 1 = 3.3 .（2019北京市d-中学检测）已知平而向量0, 6满足«+6）=3且同=

20、2,例=1,则向量与。的 夹角为（）丸nA石BT解析：选 C.因为 m+b)=2+ 5 = 4+2cos (a, b)=3,所以 cos% b> = 一;，又因为% b>W0, n ,所以生 b=iy.4 .若向量。与6的夹角为60° ,例=4, (a+26) (0 36)= - 72,则同=()A. 2B. 4C. 6D. 12解析：选 C.因为 m+2b） - 36）=片一0。- 652=a2-卜网cos 60 0 6例2=|砰-2 ML96=-72.所以 |。一 2|。|24 = 0.解得|0|=6或同=一4（舍去）.故选C.5 .（2019广东佛山质检）如图所示，

21、ZU5c是顶角为120°的等腰三角形，且,43=1，贝山百 抚等于（）解析：选C.因为ZU5C是顶角为120°的等腰三角形，且，8=1,所以3C=让，所以通曲=1X中 X cos 1500 =-1.6 .若向量。的方向是正南方向，向量6的方向是北偏东60°方向，且同=冏=1,贝IJ（一3。）6+6）=解析:设。与b的夹角为d 则6=120° ,所以（一3°）（+与=-3同2-3“ b=-3-3XlXlXcos 1200=-34-3Xy=乙J分奈.-7 .已知向量。与。的夹角是，且同=1,向=2,若（/a+，0_La,则实数;1=.解析：根据题意

22、得必=|研班os千=1,因为（仍+劝），所以（市+，0。=$片+加6=审+2 =0,所以2=一，1答案：一小8 .已知在A1SC中，4=zlC=4,石。无=8,则J5C的形状是.解析：因为5而|,IdcosNA4C,即 8=4X4cosN氏4C,于是 cosNA4C=；,所以NA4c=60° .又乂8=,4C故,空。是等边三角形.答案：等边三角形9 .已知非零向量G, b,满足同=1, （-9 3+。）=且优b=（1）求向量，、的夹角：(2)求“一体解：(1)因为(-5) (+)=2,所以雇一即|一向2=，又同=1,所以例=坐设向量* 6的夹角为仇因为力耳，所以|郴|cos 8=；,

23、所以cos夕=¥，因为0° W8W180° ,所以6=45° ,所以向量明。的夹角为45° .因为|°_呼=(_6)2 =同2.206+例2=3,所以 I。一、=¥.10 .己知同=2回=2, e是与!方向相同的单位向量，且向量在向量3方向上的投影向量为一e. (1)求。与6的夹角6：(2)求(0 - 26) 5：(3)当Z为何值时，向量萩+。与向量L3b互相垂直？解：(1)由题意知向=2, |&|=1.又。在办方向上的投影向量为向cos 6 e= - e912n所以 cos 8 = -5,所以 6="y.

24、(2)易知 a babcos 6 = - 1,则(a26)6 2。? = - 1-2 = -3.(3)因为痴+6与a3b互相垂直，所以(及+5) (。-36)=上。2 3Lrb+63犷=4z+3x-1-3 = 72-4=0,4所以2=,.B能力提升11 .在5C 中，AB2=AB BC+C4 - CB,则15。是()A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形解析：选D.因为,52=,店J&+汨衣+& 为，所以，点21点,正=易於无，所以 (AB-AC)=BC (5J-C4),所以,店无=交，所以比(比+,5)=0,所以反7 Jd=o,所以工C_L8C,所以.45。

25、是直角三角形.12 .若|o+b|=|0-b|=2同,则向量一6与6的夹角为()JI71atbt解析：选D.由|+6| = 口一切可得心=0,由|o-6|=2同可得3人=弭 所以向=小同,设向量与b(ab) b b 3IF f35 n的夹角为仇则侬-下时=缶=_#.今又问0, n,所以8=工13 .在&1SC 中，ZBAC=120° 一铝=2,/4。=1,。是边 3c 上一点，灰=2防，贝疣=.解析：由虎=匈)，所以互5=节七BC=AC-AB.itib BC=(AB+BD) BC=.S+|- (AC-AB)(AC-AB)=(|S+|.IC) (AC-AB)1- f 12= ylB AC+jACr-jAB21 一1-21/ 1 128= lBACcos 1200 4-q2-5|JB|2=jX2X 1 X(-5j