东城区高三一模数学试卷及答案理科

1、东城区2010-2011学年度综合练习（一）高三数学（理科） 学校_班级_姓名_考号_本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1至2页，第卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）“”是“”的（a）充分非必要条件 （b）必要非充分条件（c）充要条件 （d）既不充分也不必要条件（2）已知数列为等差数列，且，那么则等于（a） （b） （c） （d）（3）已知函数对任意的有，且当时，则函数的大致图像为yo

2、 xyo x o xy（a） （b）o yx（c）（d）（4）已知平面上不重合的四点，满足，且，那么实数的值为（a） （b） （c） （d）（5）若右边的程序框图输出的是，则条件可为a b c d（6）已知,那么的值为（a） （b） （c） （d）（7）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（a） （b）（c） （d）（8）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离已知平面，两两互相垂直，点，点到，的距离都是，点是上的动点，满足到的距离是到到点距离的倍，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（a） （b） （c） （d）第卷（共110分

3、）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）如果是实数,那么实数（10）已知曲线的参数方程为（为参数），则曲线上的点到直线的距离的最大值为 oadbc 40 50 60 70 80 90 体重(kg)0.0050.0100.0200.0300.0350.0150.025（11）从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）由图中数据可知体重的平均值为kg；若要从体重在 60 , 70），70 ，80) , 80 , 90三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的

4、概率为 （12）如图，已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，圆心到的距离为，则切线的长为 （13）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于，两点（点在轴上方）， （14）已知数列满足：，且当n5时，若数列满足对任意，有，则b5= ；当n5时， 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）在中，角，的对边分别为，分，且满足（）求角的大小；（）若，求面积的最大值（16）（本小题共14分）已知四棱锥的底面是菱形，与交于点，分别为，的中点oecabdph（）求证：平面；（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值 （17）（本小题

5、共13分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响（）求至少有1人面试合格的概率；（）求签约人数的分布列和数学期望（18）（本小题共13分）已知函数（）求函数在区间上的最小值；（）证明：对任意，都有成立 (19) （本小题共13分）已知椭圆的离心率为，且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点（）求椭圆的方程；（）求的取值范围；（）试用表示

6、的面积，并求面积的最大值(20) （本小题共14分）对于，定义一个如下数阵：其中对任意的，当能整除时，；当不能整除时，设（）当时，试写出数阵并计算；（）若表示不超过的最大整数，求证：；（）若，求证： 东城区2010-2011学年度综合练习（一）高三数学参考答案 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）b （2）b （3）a （4）c（5）c （6）b （7）b （8）c二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10）（11） （12）（13） （14） 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15

7、）（共13分）解：（）因为， 所以 由正弦定理，得 整理得 所以 在中， 所以， （）由余弦定理， 所以 所以，当且仅当时取“=” 所以三角形的面积 所以三角形面积的最大值为（16）（共14分）（）证明：因为，分别为，的中点，oecdbaph 所以 又平面,平面 所以平面（）证明：连结， 因为，所以在菱形中，又因为，所以平面又平面，所以在直角三角形中，所以又，为的中点，所以又因为所以平面（）解：过点作，所以平面如图，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系可得，所以，设是平面的一个法向量，则，即，令，则设直线与平面所成的角为，可得所以直线与平面所成角的正弦值为（17）（共13分）解：（）用a

8、，b，c分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知a，b，c相互独立，且.至少有1人面试合格的概率是 （）的可能取值为0，1，2，3. = 的分布列是0123的期望（18）（共13分）（）解：由，可得当单调递减，当单调递增.所以函数在区间上单调递增，又，所以函数在区间上的最小值为（）证明：由（）可知在时取得最小值，又，可知由，可得所以当单调递增，当单调递减.所以函数在时取得最大值，又，可知，所以对任意，都有成立（19）（共13分）解：（）依题意可得，又，可得所以椭圆方程为 （）设直线的方程为，由可得设，则，可得设线段中点为，则点的坐标为，由题意有，可得可得，又，所以（）设椭圆上焦点为，则.，由，可得所以又，所以.所以的面积为（）设，则可知在区间单调递增，在区间单调递减所以，当时，有最大值所以，当时，的面积有最大值（20）（共1分）（）解：依题意可得， （）解：由题意可知，是数阵的第列的和， 因此是