初二数学人教版因式分解_讲义

1、优秀学习资料欢迎下载初二数学因式分解辅导教案授课教师授课对象授课时间授课题目因式分解课型使用教具因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形， 是处理数学家问题重要的手段和工具， 有关的题目在中考和数学竞赛中比较常见。 对于特殊的因式分解，除了考虑提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外， 还应根据多项式的具体结构特征， 灵活选用一些特教学目标殊的方法，这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，使复杂问题迎刃而解，而且有助于培养同学们的探索求新的习惯， 提高同学们的数学思维能力。现将因式分解中几种比较常用的方法与技巧列举如下， 供同学们参考。教学重点和难点参考教材通过具体的题目来复习相关内容

2、八年级数学教参因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法 .：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法 .在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中

3、常用的公式，例如：(1 ) (a+b)(a-b) = a2-b 2 -a2-b 2=(a+b)(a-b)；(2 ) (a ± b) 2 = a2± 2ab+b2 a 2± 2ab+b2=(a ± b) 2；(3 )(a+b)(a2-ab+b 2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b 2) ；(4 )(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b 3 -a3-b 3=(a-b)(a2+ab+b2) 下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)

4、(a 2+b2+c2-ab-bc-ca)；优秀学习资料欢迎下载例.已知 a， b，c 是ABC 的三边，且 a2b2c2abbcca ，则ABC 的形状是（）A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形解： a2b2c2abbcca2a22b22c22ab2bc2ca(ab)2(bc)2(ca)20abc三、分组分解法 .（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式： am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后

5、再考虑两组之间的联系。解：原式 = (aman)(bmbn)= a(mn)b(mn)每组之间还有公因式！= (m n)(a b)例 2、分解因式： 2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式 = (2ax10ay)(5by bx)原式 = ( 2axbx)( 10ay5by )= 2a( x5y)b( x5 y)= x(2ab)5y( 2ab)= (x 5y)(2a b)= (2ab)( x5 y)练习：分解因式1、a 2abac bc、2xy xy 1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式： x 2 y2

6、 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式 = (x 2= (x= (xy2 )(axay)y)( xy)a( xy)y)( xya)例 4、分解因式： a 22abb2c2解：原式 = (a 22abb2 )c 2= (ab) 2c 2= (ab c)( a bc)优秀学习资料欢迎下载练习：分解因式3、 x 2x 9y 23y4、 x2y 2z 22 yz综合练习：（ 1） x3x 2 y xy 2y3（ ） ax 2bx 2bx ax a b2269216281422（3） xxyyaa6ab 12b 9

7、b 4a（ ） a（5） a 42a3a 29（ ） 4a 2 x 4a 2 y b 2 x b 2 y6（7） x 22xy xz yz y 2（ ） a22a b22b 2ab 18（9） y( y2)(m1)(m1)（ 10） (ac)(ac)b(b2a)（11） a2 (b c) b2 (a c) c2 (a b)2abc （） a3b3c33abc12优秀学习资料欢迎下载四、十字相乘法 .（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式 x 2( pq) xpq ( xp)( x q) 进行分解。特点：（ 1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因

8、数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例. 已知 0 a 5，且 a 为整数，若 2x23xa 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的 a .解析：凡是能十字相乘的二次三项式 ax2，都要求b24ac >0而且是一个+bx+c完全平方数。于是9 8a 为完全平方数， a1例 5、分解因式： x 25x6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。由于 6=2× 3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)× (-6)，从中可以发现只有2×3 的分解适合，即 2+3=5。12解： x25x 6 = x2( 2 3) x 2 313=

9、(x2)( x3)1×2+1× 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式： x 27 x6解：原式 = x 2(1)( 6) x( 1)(6)1-1= (x 1)( x6)1-6（-1）+（-6）= -7练习 5、分解因式 (1)x 214x 24(2) a215a36(3) x 24 x 5练习 6、分解因式 (1) x 2x 2(2) y22 y 15(3) x 210 x 24（二）二次项系数不为1 的二次三项式 ax 2bx c条件：（ 1） a a1a2a1c1（ 2） c c1c2a2c2

10、优秀学习资料（ 3） ba1 c2a2 c1分解结果： ax 2bxc = (a1 xc1 )(a2 xc2 )例 7、分解因式： 3x2 11x 10分析：1-23-5解：3 2（-6）+（-5）= -111110= ( x2)(3x5)xx练习 7、分解因式：（ 1） 5x27x6（ 3）10 x 2 17 x 3（三）二次项系数为1 的齐次多项式欢迎下载ba1 c2a2c1（ 2） 3x 27x2（4）6 y 211y10例 8、分解因式： a 2 8ab 128b 2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b1 -16b8b+(-16b

11、)= -8b解： a 28ab128b2 = a 28b( 16b)a8b( 16b)= (a 8b)(a 16b)练习 8、分解因式 (1) x 23xy2 y 2 (2) m26mn8n 2 (3) a 2ab6b 2（四）二次项系数不为1的齐次多项式例 9、 2x27xy6y 2例 10、 x2 y 23xy21-2y把 xy 看作一个整体1-12-3y1-2优秀学习资料欢迎下载(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = (x 2 y)(2x 3y)解：原式 = (xy1)( xy2)练习 9、分解因式：（ 1）15 x27xy 4 y2（ ）2x26ax82

12、a综合练习 10、（ 1） 8x 67x 31（2）12 x211xy 15 y 2（3）() 23() 10（ ）2x yx y4(a b) 4a 4b 3（5）2y22y6x2（ ）m24mn 4n23m 6n 2x5x6（7）2442243（ ）2222xxyyxy23( ab ) 10( ab)85(a b)（9）42463210（10）2222xxyx yy12( x y)11(xy ) 2(xy)思考：分解因式：abcx 2(a 2b2c 2 ) x abc五、换元法。例 13、分解因式（ 1） 2005 x 2(200521) x2005（ 2） (x 1)( x 2)( x3)

13、( x 6) x2解：（ 1）设 2005= a ，则原式 = ax2(a21)xa= (ax1)( xa)= (2005 x1)( x2005)（2）型如 abcde 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式 = (x 27 x 6)( x 25x 6) x2优秀学习资料欢迎下载设 x 25x6 A ，则 x 27 x 6 A 2x原式=(A2x) A x 2 = A22Axx2= ( A x) 2 = (x 26x6)2练习 13、分解因式（ 1） (x 2xyy2 )24xy( x2y 2 )（2） ( x23x2)(4 x28x3)90（3） ( a21)2( a25)24

14、(a 23) 2例 14、分解因式（ 1） 2 x4x36x 2x2观察：此多项式的特点是关于 x 的降幂排列，每一项的次数依次少 1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。2(2 x2x611) = x22( x211解：原式 = xxx2x2 ) ( x) 6x设 x1t ，则 x 21t 22xx 2原式 = x2222)t6= x22t2t 10（ t= x 2 2t 5 t 2 = x 2 2x25 x1xx2= x·2x25 ·x·x12 =xx= (x1)2 (2 x1)( x

15、2)（2） x44x 3x 24x1解：原式=x224 x1412( xxx2 ) = x设 x1y ，则 x 21y 22xx 2原式 = x2 ( y 24 y3) = x2 ( y1)( y= x2 ( x11)( x13) = x2xx练习 14、（ 1） 6x47 x336x 27 x62x25xx 2 1 x23)x1 x 2（ 2） x 42 x22x114 x1x3x12x3x 212( xx 2 )优秀学习资料欢迎下载六、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（ 1） x33x24解法 1拆项。解法 2添项。原式 = x31 3x 23原式 = x33x24 x 4x 4=

16、( x 1)( x2x 1) 3( x 1)( x 1)= x(x 23x 4) (4x 4)= ( x 1)( x 2x 1 3x 3)= x(x 1)( x 4) 4( x 1) =( x 1)( x 24x 4)= ( x 1)( x24x4)= ( x 1)( x 2)2= ( x 1)( x 2) 2（2） x9x6x33解：原式 = ( x91)( x61)(x31)= ( x 31)( x6x 31) (x31)( x 31) (x 31)= ( x 31)( x6x 31 x31 1)= ( x 1)( x2x 1)( x62x 33)练习 15、分解因式（1） x39x8（

17、）( x1)4( x21)2( x 1)42（3） x47x21（ ） x4x22ax 1 a24（5） x 4y4( xy) 4（ 6） 2a2 b 22a 2c 22b2 c2a 4b 4c 4七、待定系数法。例 16、分解因式 x2xy6 y 2x 13 y 6分析：原式的前3 项 x2xy6y 2 可以分为 ( x3y)( x 2y) ，则原多项式必定可分为(x 3y m)( x2 yn)解：设 x2 ( x 3y x2xyxy6y2x13 y6 = (x3ym)( x2yn)m)( x2 yn) = x2xy6y 2( m n) x (3n 2m) y mn6 y2x13 y6 =

18、x 2xy6 y 2(mn) x(3n 2m) y mnmn1m2对比左右两边相同项的系数可得3n2m13 ，解得n3mn6优秀学习资料欢迎下载原式 = ( x3y2)( x2 y3)例 17、（ 1）当 m 为何值时，多项式 x 2y 2mx5y6 能分解因式，并分解此多项式。（ 2）如果 x3 ax 2bx8 有两个因式为 x1 和 x2 ，求 ab 的值。（1）分析：前两项可以分解为( xy)( xy) ，故此多项式分解的形式必为( xya)( xyb)解：设 x 2y2mx5y6= ( xya)( xyb)则 x 2y2mx5y6= x 2y 2(ab)x(ba) yababma2a2

19、比较对应的系数可得：ba5 ，解得：b3或 b3ab6m1m1当 m1时，原多项式可以分解；当 m1时，原式 = ( xy2)( xy3) ；当 m1 时，原式 = (xy2)( xy3)（2）分析： x 3 ax 2 因式必为形如 x解：设 x 3 ax 2 则 x3 ax2bx8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个c 的一次二项式。bx8= ( x 1)( x 2)( x c)bx8= x3(3 c) x2( 23c) x 2ca3ca7b23c解得 b14，2c8c4 a b =21练习 17、（ 1）2310292（ ）22xxyyxy3xy 2 y 5x 7 y 6

20、2 x（ 3） 已知： x22xy3y 26x14 y p 能分解成两个一次因式之积，求常数 p并且分解因式。（4） k 为何值时， x 2 2xy ky 2 3x 5y 2 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。第二部分：习题大全经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的 _的形式，叫做把这个多项式分解因式。2 分解因式： m3-4m=.优秀学习资料欢迎下载3. 分解因式： x 2-4y 2= _.4、分解因式： x24x4 =_ _ 。n2 +y2)(x+y)(x-y)，则 n 的值为.5. 将 x -y n 分解因式的结果为 (x6、若 x y 5, xy6 ，则 x2 y

21、xy 2=_， 2x22 y2=_。二、选择题7、多项式 15m3n25m2 n20m2n3的公因式是 ()A、 5mn B 、 5m 2n2C 、 5m2 n D 、 5mn28、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是()A、 a 3 a 3 a29B、 a2b2a b a b23C、a2 4a 5 a a 4 5Dm 2m 3 m m 2m、10. 下列多项式能分解因式的是（）(A)x 2-y (B)x2+1(C)x2 +y+y2(D)x2-4x+4211把（ x y） （ y x）分解因式为（）A（ x y）（ xy1）B（ yx）（ xy1）C（ y x）（ yx1）D（ yx）（

22、yx1）12下列各个分解因式中正确的是（）222A10ab c6ac 2ac2ac（ 5b 3c）B（ a b） 2（ b a） 2（ a b）2 （ab1）Cx（bca） y（ a b c） a b c（ bca）（ xy1）2D（ a 2b）（ 3ab） 5（ 2ba） （ a2b）（ 11b2a）13.若 k-12xy+9x 2 是一个完全平方式，那么k 应为（）A.2B.4C.2y2D.4y2三、把下列各式分解因式：14、 nxny15、 4m 29n216、 m mnn nm17、 a3 2a2b ab2优秀学习资料欢迎下载18、 x222416x19、 9(m n) 216(m n

23、)2；五、解答题20、如图，在一块边长 a =6.67cm 的正方形纸片中，挖去一个边长b =3.33cm 的正方形。求纸片剩余部分的面积。22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5) 个等式。(1) x21x 1x1(2)x 41x21x1x1(3) x81x41x21x1x1(4)x161x81x41x 21x 1 x 1(5)_经典二：因式分解小结知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式

24、乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（ 1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式； 如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（ 2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；优秀学习资料欢迎下载下面我们一起来回顾本章所学的内

25、容。1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例 1. 分解因式 x 5x 4 x 3x 2x1分析：这是一个六项式， 很显然要先进行分组， 此题可把 x 5x 4x3 和x 2x1 分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x 5x 4 ，x3x 2 ， x 1 分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式( x 5x 4x 3 ) (x 2x)1x 3 ( x2x 1) (x 2x 1)( x 31)( x 2x1)( x1)( x 2x1)( x2x1)解二：原式=(x 5x 4 ) ( x3x 2 )(x)1x 4 ( x1)x 2

26、(x1)(x1)( x1)( x 4x1)( x1)( x42 x21)x 2 ( x1)( x 2x1)( x2x1)2. 通过变形达到分解的目的例 1. 分解因式 x 3 3x 2 4解一：将32拆成 2x22，则有解二：将常数4拆成13，则有xx原式x 32x 2( x24)原式 x31 ( 3x 23)x 2 ( x 2) ( x 2)( x 2 )( x 1)( x 2x 1) ( x 1)( 3x 3)( x 2)(x 2x 2)( x 1)( x 24 x 4)( x 1)( x 2) 2( x 1)( x 2) 23. 在证明题中的应用例：求证：多项式(x 24)( x 210

27、x21)100 的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明：( x24)( x210x)10021( x2)(x 2 )( x3)( x7)100( x2)(x 7 )( x2)( x3)100( x 25x14)( x 25x6)100优秀学习资料欢迎下载设 y x 2 5x ，则原式 ( y 14)( y6)100y28 y 16 ( y 4) 2无论 取何值都有(y4)20y( x24)( x210x21)100的值一定是非负数4. 因式分解中的转化思想例：分解因式：(a2bc) 3(ab) 3(

28、bc) 3分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b， b+c 与 a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=A，b+c=B， a+2b+c=A+B原式 (AB)3A 3B 3A33A2 B3AB 2B 3A 3B 33A 2B3AB 23AB (AB)3(ab )( bc)( a2 bc)说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨例1.在ABC中，三边 a,b,c满足a216b 2c2abbc0610求证：证明：ac2ba216b 2c26ab10bc0a26ab 9 b 2c210bc 25b 20即 (a3b) 2(c5b) 2

29、0(a 8bc)( a2bc)0abca8bc，即 a8bc 0于是有 a2bc0即 a c 2b说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。例 2.已知： x12，则 x 31_xx 3解： x 3 1(x1 )( x 211 )x3xx( x1)( x1) 22 1xx212优秀学习资料欢迎下载说明：利用 x 21(x1) 22等式化繁为易。x 2x题型展示1.若 x 为任意整数，求证： (7 x)( 3 x)( 4 x 2 ) 的值不大于。100解：(7x)(3x)(4x2 )100(x7)( x2)(x3)(x2)100(x 25x14)( x25x6)100(

30、 x 25x)8(x 25x)16(x 25x4) 20(7x)(3x)( 4x 2 )100说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。2.将 a2(a1) 2( a 2a)2 分解因式，并用分解结果计算6 27 2422 。解： a2(a1)2( a2a)2a2a 22a 1 ( a2a) 22(a2a)1(a 2a) 2(a 2a1) 26272422(366124321849)说明：利用因式分解简化有理数的计算。实战模拟1. 分解因式：（ ）3x510x48x33x210x 8

31、1（ ）(a23a3)( a23a1) 522. 已知： xy6， xy1，求： x 3y 3 的值。优秀学习资料欢迎下载3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使 x 3x2 yxy 2y 30 ，求矩形的面积。4.求证： n 35n 是 6 的倍数。（其中n 为整数）5. 已知：a、b、c 是非零实数，且a2b2c2a111111，求 a+b+c1， () b(c) c(a)3bcab的值。6. 已知： a、 b、 c 为三角形的三边，比较 a 2 b 2 c2 和 4a2 b 2 的大小。经典三： 因式分解练习题精选一、填空：（ 30 分）1、若 x22( m3) x16 是完全平方式，则m 的值等于 _。2、 x2xm(xn) 2 则 m =_ n =_3、 2x3 y2 与 12 x6 y 的公因式是4、若 xmy n = ( xy2 )( xy 2 )( x2y 4 ) ，则 m=_，n=_。5、在多项式 3 y25 y315y5 中，可以用平方差公式分解因式的优秀学习资料欢迎下载有_ ，其结果是_。6、若 x22( m3) x16 是完全平方式，则m=_。7、 x2(_) x2( x2)( x_)8、已知 1xx 2x 2004x20050, 则 x2006_ .