电力系统分析与保护-分析课程-第一章

1、电力系统分析与保护研究生专业课主讲：夏经德所用教材和主要参考书 所用教材 1现代电力系统分析，王锡凡等，科学出版社，2003年 2新型继电保护和故障测距的原理与技术（第二版），葛耀中等，西安交通大学出版社，2007年 所用主要参考书 1电力系统分析 上册，诸俊伟等，1998年 2电力系统分析 下册，夏道止等，1998年所用教材和主要参考书 所用主要参考书 3Modern Power System Analysis（第三版），D P Kothari等，清华大学出版社，2009年 4电力系统继电保护（第2版），张保会等，中国电力出版社，2010年 5 Power System Protection

2、, John B. Anderson等, IEEE Press Editorial Board, 1999年 6 风力发电与电力系统，周双喜，鲁宗相，中国电力出版社，2011年本科知识补偿内容主要参考书1 电力系统分析（第二版），夏道止等，中国电力出版社，2011年版2 电力系统计算，五所高校和水利电力部合编，水利电力出版社，1978年版3 高压电网继电保护原理与技术，朱声石，中国电力出版社，2005年版4 电机学，陈世元，中国电力出版社，2015年版现代电力系统分析主编：王锡凡副主编：方万良，杜正春1 电力网络的数学模型及求解方法电力网络的数学模型及求解方法 本章包含以下内容： 1-1基本概

3、念 1-2导纳矩阵 1-3网络方程解法 1-4阻抗矩阵 思考问题 1-1基本概念 是现代电力系统分析的基础 潮流和优化潮流、短路电流计算、静态安全分析和动态稳定评估 包括线路、变压器、并(串)联电容等 等值电路、交流电路理论、集中参数 工频状态和分布参数的分析1.1.1 节点方程及回路节点方程及回路方程方程 节点电压法和回路电流法 普遍采用节点方程，回路方程为辅 一个两个电源和一个等值负荷系统1y1i1V6y2i2y3i3y4i4V6i5i4y5y24135 基尔霍夫第一定律 节点电压2352124131532335221423324116135124)()(0)()()(0)()()(0)(

4、)(iVVyiVVyVVyVVyVVyVVyVVyVVyVyVVyVVy2523214121523 .53223154133243114352416540)(0)(0)(IVyVyIVyVyVyVyyyVyVyVyVyVyyyVyVyVyVyyy 左端流出电流，右端注入电流，规范化形式 节点方程反映节点电压与注入电流的关系 矩阵形式可以表示为： 关联矩阵的概念：不同程度反映网络接线图形 含有0、+1、1三种元素，不含具体参数 行号与节点号相对应，列号与支路号相对应555545435325215145454443432421413535434333232131252542432322212115

5、15414313212111IVYVYVYVYVYIVYVYVYVYVYIVYVYVYVYVYIVYVYVYVYVYIVYVYVYVYVYYVI 为1时，电流向节点；为+1时，电流离开节点 节点关联矩阵反过来唯一地确定网络的接线图 节点关联矩阵和网络节点方程之间有密切的关系 n个节点， b条支路。每条支路都列如下方程式 有电压源支路，转化为电流源的形式： 看作为向电力网络节点的注入电流 b条支路基本方程式集中用矩阵表示BkBkBkVyIBkBkBkBkBkBkBkeyzeazy/1BKe BKzBKa BKyBKIBKV)(a)(bBBBVYI 霍夫第一定律，注入电流与支路电流有下关系 流向节

6、点 反之 节点电流列向量与支路电流列向量应有以下关系 网络的节点关联矩阵（图1-1） 整个电力网络消耗的功率为 式中所反映相应向量的共轭值，向量的标量积 从节点输入总功率来看可以得到 可知 得到 推得 电力网络的节点导纳矩阵)2 , 1(1niIaIbkBkiki1ika1ikaBAII A1bBkBkiSI VIVTBAIIBBTBVIVAIBTVVATAAYYB1bBkBkiSI VBBIV1z1i1V6z2i2z3i3z4i4V6i5i4z5z1I2I3I1243535432514352652165342616414)(0)()(IzzzIzIzIzIzzzIzVIzIzIzzzV利用回

7、路电流法时，用阻抗表示参数比较方便，基尔霍夫第二定律，列出三个回路的电压方程式 当回路电势已知，可求回路电流和节点电压 如果电力网络有m 个独立回路，矩阵的形式 根据三个独立环路写出它的“环路关联矩阵” 为+1时环路电流方向与支路的一致， -1相反 并得到回路阻抗矩阵lllIZE mIII21lImEEE21lEmmmmmmZZZZZZZZZ212222111211.lZ011100110010101001BTBLBBZZ 移相器改变两侧相位，因此变比是一复数，如图中1-7所示 有以下关系 根据功率守恒原理 最终得到0jijTiiIIVzIVijiITziVjVjIK:1jVjIKVVjj/j

8、jjjIVIVjjjijiTjTijjijiiiTjTiiVYVYzKVzKVIVYVYzKVzVI2TiizY1TijzKY1TjizKY1TjjzKY21导纳矩阵是不对称的1.2 1.2 节点导纳矩阵节点导纳矩阵 1.2.1 1.2.1 节点导纳矩阵的基本概念节点导纳矩阵的基本概念 节点i 加单位电压而其余节点接地 不含移相器时导纳矩阵为对称矩阵 导纳矩阵为（高度）稀疏矩阵nnninniniiiinianiYYYYYYYYYYYYYYYY212122222111211Y1.2.21.2.2节点导纳矩阵的形成与修改节点导纳矩阵的形成与修改 导纳矩阵形成、特殊元件处理与矩阵修改 ( 1 ) 导

9、纳矩阵的阶数等于电力网络的节点数； ( 2 ) 导纳矩阵各行非对角元素中非零元素的个数等于对应节点所连的不接地支路数； ( 3 ) 导纳矩阵各对角元素，即各节点的自导纳等于相应节点所连支路的导纳之和； ( 4 ) 导纳矩阵非对角元素 等于节点 i与节点 j间支路的导纳并取负号。)(a12z13z2I12I1I11V13I3I12z13z2I12I1I013I3I12z13z2I012I1I31I3I13V12z13z12z23z12321331231212310z10z)(b10I10z)(c10z)(d20z)(e 当节点i 、 j之间为变压器支路时， 增加非零非对角元素 改变i节点 自导纳

10、改变量 改变j节点 自导纳改变量 当节点i 、 j之间为移相器支路时， 增加非零非对角元素 其它不变 从原网络引一新支路，同时增一个新节点 在原有节点 i和 j间增加一条支路 在原有节点 i和 j间切除一条支路 在原有节点 i和 j间修改一条支路TijjiyYYK TTTiiyyKyKKY112211KyyKKyKYTTTjjTijzKY1TjizKY1 【例1-1】在下图表示了一个网络等值电路 015. 0 j05. 1 : 125. 0 j1 :05. 103. 0 j25. 0 j25. 0 j25. 0 j30. 008. 0j0.04+j0.250.1+j0.3533333.3300

11、0000. 074603.31000000. 066667.66000000. 049206.63000000. 074603.31000000. 073786.35584596. 1112033. 3929876. 0641509. 2754717. 019206.63000000. 0112033. 3829876. 098082.66453909. 1900156. 324024. 0641509. 2754717. 0900156. 3924024. 0291665. 6378742. 1jjjjjjjjjjjjjjjY1.3 1.3 电力网络方程求解方法电力网络方程求解方法 1.3.

12、1 1.3.1 高斯消去法高斯消去法 电力网络方程主要用高斯消去法求解。 应用的初期，曾因内存限制采用过迭代法 致命缺点是存在收敛性问题 稀疏技术几乎使迭代法为高斯法所代替 由消去运算和回代运算两部分组成 消去又叫前代，可以按行，也可按列进行 通常 “消去按列进行，回代运算按行进行” 设有 n阶线性方程组 实数或复数 形成 阶增广矩阵 按列消去过程 第一步，消去第一列：第一行规格化为 行消去 第一列对角线下各元素 第2到第 n行其他元素化为BAX ) 1( nn1,211, 2222211, 11121121222221111211nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaba

13、aabaaabaaaBAA)1(1, 1)1(13)1(121naaa111)1(1aaajj) 1, 3 , 2(njA1,3121,naaa) 1 (11) 1 (jiijijaaaa) 1, 3 , 2(nj), 3 , 2(ni 上标(1)表示该元素第一次运算的结果。这时矩阵 变为 ，同解的方程组是 第二步，消去第二列，第二行规格化为 行消去 第二列对角线下各元素并得到结果 A1A)1(1,)1()1(2)1(1, 2)1(2)1(22)1(1, 1)1(1)1(121111nnnnnnnnnaaaaaaaaaBAA11BXA)2(1, 2)2(2310naa) 1, 4 , 3(/)

14、1 (22)1 (2)2(2njaaajjA)2(2)1(2)1()2(jiijijaaaa) 1, 4 , 3(nj), 4 , 3(ni)2(1,)2()2(3)2(1, 3)2(3)2(33)2(1, 2)2(2)2(23)1(1, 1)1(1)1(13)1(1222211nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaBAA 一般地，在消去第k 列时要做以下的运算 对矩阵 n 次消去运算，使矩阵 对角线以下元素全部化为零，从而得到增广矩阵 对应方程组 与原方程组同解) 1, 1(/)1()1()(nkjaaakkkkkjkkj), 1(),1, 1()()1()1()(nkinkjaa

15、aakkjkikkijkijAA)(1,)3(1, 3)3(3)2(1, 2)2(2)2(23)1(1, 1)1(1)1(13)1(121111nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaBAAnnBXA)(1,)3(1, 3)3(33)2(1, 2)2(23)2(232)1(1, 1)1(13)1(132)1(121nnnnnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxaxax 按行回代过程，第 年n个方程可知 代入第 n-1个方程 代入第 i个方程 这就是按行回代的一般公式 【例1-2】利用高斯消去法求解下列方程组)(1,nnnnaxnnnnnnnnxaax)1(, 1)1(1, 11

16、nijjiijiniixaax1)()(1,) 1 , 2 ,(ni 2232524131214321xxxxxxxxxx1.3.2 1.3.2 因子表和三角分解因子表和三角分解 方程组需要多次求解，每次仅改变常数项B，而系数矩阵 A是不变的，利用因子表求解 对常数项B一种记录表格，消去过程中对常数项B 中的第 i个元素 的运算) 1() 1()(/iiiiiiiabb), 2 , 1(ni)()1()1()(kkkikkikibabb) 1, 2 , 1(ikib 下三角部分和上三角部分合一起得因子表 下三角元素进行消去，上三角元素进行回代 也可以表示为如下形式) 1()3(4)2(3) 1

17、 (21)4(4)3(44)2(43) 1 (4241)3(3)3(34)2(33) 1 (3231)2(2)2(24)2(23) 1 (2221) 1 (1) 1 (14) 1 (13) 1 (1211nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnndlllludllluudlluuudluuuud43214444342413343332312242322211141312111)( iiiiiad)(iijijau)1( jijijal()ij()ij 下三角元素就是矩阵消去过程运算的元素 保留在原来位置，对角元素取倒数到下三角部分；上三角元素就

18、是矩阵消去的结果 求出例1-2中线性方程组系数矩阵A的因子表，用该因子表对下列常数项 求解 不难验证，因子表与其系数矩阵A有如下关系 ，进一步分解为： 原系数矩阵A一般可以表示为 可以看出 或 可以证明当矩阵A为对称时，上式必然成立iiiiiidbb/)()(1), 1()()1()(nkiblbbkkikkiki)(nnnbx nijjijiiixubx1)(ULALDL LDUA ULTTLUT0211B1.3.3 1.3.3 稀疏技术稀疏技术 充分利用电力网络方程组的稀疏特性 尽量减少不必要的计算以提高求解的效率 当线性方程组的稀疏特性得到充分利用时，不仅在形成因子表中减少计算量，更重要

19、的是减少求解方程组时前代和回代的计算量；因子表中有多少零元素，就减少多少乘加的运算量【例1-4】试用稀疏技术求解例1-2的线性方程组 相关内容见教材25页2232524131214321xxxxxxxxxx1.3.4 1.3.4 稀疏向量法稀疏向量法 稀疏技术已用于解决几乎所有大型电力网络 主要解决线性方程右端向量仅有少量非零元素 对待求向量中个别元素感兴趣的情况 方法简单，但节省的计算量和内存量非常可观 潮流、短路、最优潮流和静态安全广泛运用 稀疏向量法可用于满或稀疏矩阵的线性方程组 节点电压方程为： Y为对称的n阶方阵 经过三角分解 方程组写成 上式分解为 当Y阵对称时，L和U互为转置阵

20、消去过程表示为 回代过程表示为 在用稀疏向量法时，消去过程必须按列进行 回代过程必须按行进行才能达到高效的目的 存储方案必须满足可直接找出 各列和 各行最小足码的非零非对角元素，实际不难得到IYV LDUY ILDUV ILX XDWWUV ILDW11WUV1【例1-5】求解如下线性方程组： 相关内容见教材29页0201204321434241VVVVVVVVVV 独立向量I是稀疏的，但待求 V一般并不稀疏 稀疏向量可以指I或V中感兴趣的几个元素 消去过程只用 某几列元素，称为快速消去FF 只需求向量 的几个元素，则回代过程只用V 中某几行元素，称之为快速回代过程FB FF的有效列子集与L

21、和 I的稀疏结构有关，FB的有效行子集与U 和V 的稀疏结构有关。 提高稀疏矩阵运算的效率 1）独立向量I 清零，非零元素置入I ，形成初始 ； 2） I向下搜索非零元素，最小非零元素号置入k ； 3）用 L阵的第k列对I进行消去过程运算； 4）k=n当 时，终止。否则转到第2步。 在FF中只进行必要的非零元素的运算 在清零和搜索上却做了大量不必要的运算 FB有和上述类似，但浪费的计算量可能更大 关键是预先高效地找出因子化路径 当向量 中只一个非零元素时，为单元素向量 设其点号为k，求得其相应的因子化路径： 1）令k为路径中第一个点号； 2）寻找L/U阵的k 列/行中最小非零元素点号，将此点号

22、置入k，并列入路径中； 3）如果k=n当 时，终止。否则转到第2步。 因子化路径可由因子表指针数组直接确定【例1-6】试求图1-11所示电力网络的因子化路径。 该电力网络共有21条支路，故共有21个黑点所代表的非对角元素。相关内容见30页 因子表结构确定单元素向量因子化路径132435101412915617811T000000000010001I123456789101112131415123456789101112131415 其因子化路径为上述 及 时因子化路径的并集： 因子表结构可列出以下链接表1k5k15141311512721点号链接点号点号链接点号1281027910341012

23、481113511121369131471214151514131151210843967211.3.5 1.3.5 电力网络节点编号优化电力网络节点编号优化 因为消去过程或分解过程中会产生新的非零元素，即注入元素。 由于节点l 、i 及节点l 、 j间无直接联系，故可断定，在其导纳矩阵中相关元素为零。ijl1 消去节点1后，网络将要在节点i 、 j，l 、i 及l 、 j间出现新支路，出现了两个注入元素。 消去节点k 时，以 k为中心的星形将变为以与k节点 直接联系的节点为顶点的网形网络 如果与 k相连的节点数为 Jk，则支路数应等于从Jk中任意取两个节点的组合数Jk *（ Jk -1）/2

24、。 已有 Dk条支路数，增加的新支路数： 不同编号方案所得到注入元素的数目也不相同。 寻求一种使注入元素数目最少的节点编号方式 取一些简化的方法，求出一个相对的节点编号优化方案，并不一定追求“最优”方案kKKkDJJb) 1(21 （1）静态按最少出线支路数编号 按出线数由少到多的顺序编号，相同时任意 出线数最少的所对应的行中非零元素也最少 非常简单，适于接线方式较简单，即环路较少 （2）动态地按最少出线支路数编号 每消一个节点后，选出线路数最少的节点进行编号，就可得到更好效果，半动态优化法。 （3）动态地按增加出线数最少编号 按消去节点后增加出线数最少的原则编号， 这种编号方法的工作量比以上

25、两种方法大得多。12346310节点编号图形导纳矩阵下三角矩阵注入元素12345 12345 1234512345 非零元素非零注入元素 【例17】 试对图1-16所示电力网络进行节点编号优化。 1用静态优化法编号 在消去过程中出现四条 2用半动态优化法编号 在消去过程中出现二条 3用动态优化法编号 在消去过程中出现一条MNOPQRST1.4 1.4 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵 1.4.1 1.4.1 节点阻抗矩阵的物理意义节点阻抗矩阵的物理意义 电力网络节点方程式的一般形式为 导纳矩阵的逆矩阵直接求解YVI 1YZZIV nnnininnnniniiiiiinniinniiIZIZIZIZVI

26、ZIZIZIZVIZIZIZIZVIZIZIZIZV22112211222221212112121111nnninniniiiininiZZZZZZZZZZZZZZZZ2121222221111211Z 和导纳矩阵同阶的方阵，在电力网络节点 i注入单位电流，而使其它节点全部开路 ( 1 ) 阻抗矩阵对角元素 ，自阻抗 ( 2 )非对角元素 ，即i节点 与j节点 间的互阻抗 由于阻抗矩阵是满矩阵 阻抗矩阵的应用受到一定限制),2, 1(01ijnjIIjiinniiiiiZVZVZVZV22111.4.2 用节点导纳矩阵求节点阻抗矩阵 矩阵求逆方法很多，仅对解线性方程组的求逆方法做一补充介绍 解

27、线性方程： 可求出第j列元素 对称的导纳矩阵可以分解 改成 一般只需求阻抗矩阵某些元素的情况下 ，才宜采用这种解网络节点方程方法。 计算网络某一对节点的输入阻抗及 各节点对之间的转移阻抗jBYZjj0001000jBnj, 2, 1TLDLY jjTBZLDLjjTWZLjjXDW jjBLX 可向i 、 j两节点分别通入电流： 计算 ， i 、 j节点对的输入阻抗为： i 、 j 节点对与 k 、 l 节点对 之间转移阻抗为：11jiIIjiij001010FjiijijVVZlkijklVVZ1.4.3 1.4.3 用支路追加法求阻抗矩阵用支路追加法求阻抗矩阵 支路追加法计算上较直观，也易

28、实现网络接线变更对阻抗矩阵的修正，广泛应用。 可以先用 形成一阶矩阵。 追加支路 ，增加了节点，树支阶数加1。10z14z12z25z20z23z13z2143510z12z 追加支路 ，给网络增加了一个链支环路。 追加树支 ，增加节点3，矩阵变为三阶， 追加树支 ，增加节点4，矩阵变为四阶； 追加树支 ，增加节点5，矩阵变为五阶； 追加链支 ，不增加节点，矩阵仍为五阶。 支路追加顺序对阻抗矩阵运算量有很大的影响。 （1） 追加树支，已形成了m阶阻抗矩阵20z13z14z25z23zmmmimmimiiiimimiNZZZZZZZZZZZZZZZZZ2121222221111211 节点i追加

29、树支 以后，出现了一新的j节点 阶数应变为m+1，假设这时的阻抗矩阵为 因此可以断定： m阶矩阵就是未追加支路 时原来阻抗矩阵。 j节点 的电压显然等于： 根据阻抗矩阵物理意义可以得到：ijZjjmjmjjjjmmmjimijmjmimiiiimimiNZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ21221121222221111211111121211111,mmiiZZZZZZZZijzmimjiiijijijZZZZZZZZ,22111ijijzVVijiijjzZZ 虽然矩阵增加一阶，但新矩阵运算量却非常小。 (2) 追加链支，在节点 i、j之间追加链支 设向新网络注入电流 的

30、列向量为I： 节点电压的列 向量为V ： 应满足以 下关系：1122,jijijiiijmmiZZZZZZZZijzN1V2ViVjV1I2IiIjIijIijzmVmImjiIIIII21ImjiVVVVV21VIZVN 流入原网络 的节点电流应为： 为一个与链支和原网络连接 情况有关的列矩阵： 原网络的节点方程可知： 令 则知 为一列矩阵： 节点i 、j间的电压差 可以得到：ijMIAIImijjijiIIIIIII21MAjiM001010AijMNNNIAZIZIZVLMNZAZmjmijjjiijiijijiLZZZZZZZZZZ2211ZijLNZIZVIVATMijijjiIzV

31、VijijijIIzLTMNTMZAIZA 由此式即可解出： 可以得到： 网络的阻抗矩阵为： 新阻抗矩阵 中各元素的计算公式： 但追加链支时必须上式修正原阻抗矩阵的全部元素，运算量很大。IZTLLLijZI1ijijjjiiijLLzZZZzZ2LTMZATMNNTMTL)A(ZZAZIZZ1ZVTLLLLN)(ZTLLLLNNZZ1ZZZmlmkZZZZZLLLlLkklkl, 2 , 1, 2 , 1 不用型等值电路，直接追加变压器支路方法。 当用它等值电路代替，节点 j开路时，从节点 i看变压器的 型等值电路也是开路的，节点i 、节点j和地构成的回路的阻抗为： 而节点i和地之间的阻抗为：

32、* 如何求中 新增加的元素。N1jI12imijzKIiK:1)(a12ijijKz1KKzijKzKij12iI1V2ViV1I2IKIijijZK:1jImIjV m)(c)(bNNijijijijzKKzKKKzz112000-1iijKzzKNZ 相当于从i节点 侧向原网络通入电流 K，因此各节点的电压应为： 节点 的电压为： 这样就可以得到： 讨论追加变压器链支的情况。网络注入电流列向量为 I，则注入原网络的电流列向量应为：mimiiiiiKZVKZVKZVKZV,2211)()(2ijiiijijzZKKzVKVmimjiiijijijKZZKZZKzZKzZ,2211)(2ijiijjzZKZ 总之，用支路追加法求阻抗矩阵的过程，就是不断追加支路的过程。因此当网络发生改变，需要增加支路时，可以直接用前面的公式实现阻抗矩阵的修改。ijMIAIImijjijiIIIIKIII21jiKM00100AmjmijjjiijiijijiLZKZZKZZKZZKZZKZ2211ZV