高数极限习题PPT课件精选干货

1、高数极限习题ppt课件21.填空题填空题(1)lim 2xx(填“存在”或“不存在”)(2)lim 2xx10(3)lim 2xx10(4)lim 2xx10(5)lim2xxxoy2xy 1解函数y=2x的图形如图所示.00不存在从而可以填出答案.其中题(5)的右极限由题(3)知不存在.32.判断题判断题01(1)lim cosxxx212(2)limnnn0( )lim( )xxf xg x原因(3) 若(1)001limlimcosxxxx0;( )22212limlimlimnnnnnnn0;( )存在,且0lim( )0,xxg x则0lim( )0.xxf x( )因为正解的极限不

2、存在.01limcosxx因为当x0时, x为无穷小,1cosx是有界函数,所以1cosxx仍是无穷小, 从而01lim cos0.xxx42.判断题判断题01(1)lim cosxxx212(2)limnnn0( )lim( )xxf xg x原因(3) 若(2)001limlimcosxxxx0;( )22212limlimlimnnnnnnn0;( )存在,且0lim( )0,xxg x则0lim( )0.xxf x( )分开求和的极限只对有限项成立.正解21(1)2limnn nn11lim12nn1.2212limnnn52.判断题判断题01(1)lim cosxxx212(2)li

3、mnnn0( )lim( )xxf xg x原因(3) 若(3)001limlimcosxxxx0;( )22212limlimlimnnnnnnn0;( )存在,且0lim( )0,xxg x则0lim( )0.xxf x( )0lim( )xxf x0( )lim( )( )xxf xg xg x00( )limlim( )( )xxxxf xg xg x0.63.设设1,0,( )1,0.xf xxxx解(1) 求单侧极限(1)0lim( )xf x(3)0lim( )xf x和0lim( );xf x(2)0lim( )xf x是否存在?1lim( )xf x是否存在?01lim1xx

4、11 01,0lim( )xf x0limxx0.(2) 由(1)知0lim( )xf x0lim( ),xf x故0lim( )xf x不存在.(3)存在. 因为1lim( )xf x1limxx1.74.设设1230.9,0.99,0.999,xxx解(1) 用10的方幂表示xn ;(1)10.9x (2)lim.nnx求11,10 20.99x 11100 211,10 11.10n (2)limnnx1lim 110nn1 0 1.0.9999,0.9999nx 8124lim21xxx11lim21xxx112lim221xxxx2363lim44xxxxx1) 1sin(lim33

5、1xxxxxxxsin2cos1lim0 xxx3)21 (limxxxx2)1(lim1.2.3.4.6.7.8.9.求下列极限：求下列极限：3311lim0 xxx5.10.30sintanlimxxxx95.设下列极限：设下列极限：解(1)2272137(1)lim;49xxxx(2)(2)lim(1);nnnn 230sin(3)lim ln(1);xxxxx011(4)limsinsin;xxxxx212(5)lim;1xxxx0sinln(14 )(6)lim.(1tan )(1 cos2 )xxxxx2272137lim49xxxx7(7)(21)lim(7)(7)xxxxx72

6、1lim7xxx15.14lim(1)nnnn lim1nnnn 1lim111nn1.210(3)(4)230sinlim ln(1)xxxxx2300sinlimln(1)limxxxxxx230sinln(01)limxxxxxx200sin1limlim1xxxxx011limsinsinxxxxx001sinlim sinlimxxxxxx0 11.1.注意到当x0时,x为无穷小,1sinx为有界函数,230sin(3)lim ln(1);xxxxx011(4)limsinsin;xxxxx所以11(5)(6)212(5)lim;1xxxx0sinln(14 )(6)lim.(1ta

7、n )(1 cos2 )xxxxx212lim1xxxx21(1)11lim 11xxxxx 0sin ln(14 )lim(1tan )(1 cos2 )xxxxx001sin ln(14 )limlim1tan1 cos2xxxxxx2014lim102xxxx2.2.e注意到当x0时,sinxx, ln(1+4x)4x,2211 cos2(2 )2,2xxx所以11lim 1,1xxex21lim1xxx12lim11xxx2, 原式126.判断下列函数是否有间断点判断下列函数是否有间断点,若有若有,指出其间断点指出其间断点,并并解(1)21(1)( );253xf xxx(2)( );

8、sinxf xx21cos,0,(3)( );1,0 xf xxx21( )253xf xxx1,(1)(23)xxx判断其类型判断其类型.2,3,(4)( )6,3.xxf xxx当x=1,32x 时, f (x)无定义,所以31,2xx是f (x)的间断点.因为1lim( )1,xf x 所以x=1为f (x)的第一类间断点,且是可去间断点.1321(1)( );253xf xxx(2)( );sinxf xx因为32lim( ),xf x 所以且是无穷间断点.为f (x)的第二类间断点,32x (2) 当sinx=0,即()xkkz时, f (x)无定义, 所以()xkkz是 f (x)

9、的间断点.因为0lim1,sinxxx所以x=0(k取0)为f (x)的第一类间断点,且是可去间断点.因为当k0时,lim,sinxkxx 所以且是无穷间断点.为f (x)的(0)xkk第二类间断点,14(3) 因为2001lim( )limcosxxf xx所以x =0为f (x)的第二类间断点, 且是振荡间断点.21cos,0,(3)( );1,0 xf xxx不存在 (因为当0 x 时,21cosx的值在0与1之间无限次振荡),15(4)因为当x3时, f (x)= x2,所以当x3时, f (x)= x+6也是连续函数,无间因为3lim( )xf x23limxx9,3lim( )xf

10、 x3lim(6)xx9,所以3lim( )9xf x(3)f故 f (x)在x =3处连续.综上所述, 函数 f (x)无间断点, 在(,)内连续.无间断点.断点.167.设a0,且解cos,0,2( ),0.xxxf xaaxxx0lim( )xf x0limxaaxx01limxaax1,2 a要使f (x)在x =0处连续, 则即故当a=1时, f (x)在x =0处连续.当a取何值时, f (x)在x =0处连续.0lim( )xf x0coslim2xxxcos0021,20lim( )xf x0lim( )xf x11,22 a1,a 得(0),f178.设函数f (x)在x =

11、2处连续,且f (2)=3,求解2214lim( ).24xf xxx2lim( )xf x所以2214lim24xxx222lim4xxx21lim2xx1,42214lim( )24xf xxx22214lim( ) lim24xxf xxx134 3.4(2)3,f又因为因为f (x)在x =2处连续,且f (2)=3, 所以189. 32xx至少有一个小于1 的正根 .证证：证明方程令( )32,xf xx且(0)f00 322 (1)f11 32100根据介值定理的推论(也称为零点定理) ,(0,1),( )0,f内至少存在一点在开区间(0, 1)显然f (x)在闭区间0, 1上连续

12、,使即320,亦即32,所以方程32xx至少有一个小于1 的正根 .1921sinxxxy一、选择题 a.偶函数； b.奇函数； c.非奇非偶函数 d.既是奇函数又是偶函数1.函数 是（ ） xxx20sinlim（ ） nnnx2sin2lim下列极限计算正确的是（ ） e)11 (lim.0 xxxae)1 (lim.1xxxb11sinlim.xxcx1sinlim.xxdx2. a.2； b.1； c.0 ；d.33. a.x； b.1； c.0 ；d.34.20124lim21xxx11lim21xxx112lim221xxxx2363lim44xxxxx1) 1sin(lim331xxxxxxxsin2cos1lim0 xxx3)21 (limxxxx2)1(lim1.2.3.4.6.7.8.9.3311lim0 xxx5.10.30sintanlimxxxx二、求极限21三、三、判断下列函数是否有间断点判断下列函数是否有间断点,若有若有,指出其间断点指出其间断点,并并21(1)( );253xf