结构力学之能量原理ppt课件

1、1结构力学第12章 能量原理21 杆件的应变能及应变余能计算 2 结构势能定义及势能原理 3 结构余能定义及余能原理 能量的概念大家早已了解，在第六章分析静定结构的位移计算中，曾能量的概念大家早已了解，在第六章分析静定结构的位移计算中，曾介绍了虚功方程的两种应用：虚设单位力求位移和虚设单位位移求未知力。介绍了虚功方程的两种应用：虚设单位力求位移和虚设单位位移求未知力。在本章中将介绍基于能量原理基础上的解题方法。在本章中将介绍基于能量原理基础上的解题方法。 312.1 12.1 杆件的应变能及应变余能计算杆件的应变能及应变余能计算 1 应变能密度和应变余能密度应变能密度和应变余能密度 应变能密度

2、定义应变能密度定义 :单位体积内的应变能称为应变能密度单位体积内的应变能称为应变能密度1.1 应变能密度应变能密度 例如简单拉伸杆件，取出例如简单拉伸杆件，取出dx微段，其拉伸曲线如图微段，其拉伸曲线如图(a)所示所示图图(a)简单拉伸曲简单拉伸曲线线FNdx 应变能应变能U为为 dFWUN（12-1） d OBA图图(b) 应力应力 应变曲应变曲线线C d 根据应变能密度的定义，则根据应变能密度的定义，则应变能密度应变能密度为为 ddFdxAVUuNN1（12-2）即应力即应力 应变曲线中应变曲线中OAB所围的面积。所围的面积。 4d OBA图图(b) 应力应力 应变曲应变曲线线C1.2 应

3、变余能密度应变余能密度 应变余能密度定义应变余能密度定义 :单位体积内的应变余能单位体积内的应变余能称为应变余能密度。称为应变余能密度。 仍以简单拉伸杆件为例，仍以简单拉伸杆件为例，应变余能应变余能为为 NdFWU*（12-3） 根据应变余能密度的定义，则根据应变余能密度的定义，则应变余能密度应变余能密度u*N为为 即应力即应力 应变曲线中应变曲线中OAC所围的面积。所围的面积。 ddFdxAVUuNN1*（12-4）图图(a)简单拉伸曲简单拉伸曲线线FNdx dFN5对于线弹性材料，对于线弹性材料， =E. 有，则有，则 *2202121NNuEEdu（12-5）2 杆件的应变能和应变余能杆

4、件的应变能和应变余能 象纯拉伸一样，当杆件处于纯剪切和纯弯曲时，其应变能密度分别为象纯拉伸一样，当杆件处于纯剪切和纯弯曲时，其应变能密度分别为 ;0duQ0duM定义：定义：单位杆长上的应变能为杆件的应变能密度单位杆长上的应变能为杆件的应变能密度，用，用u1表示。表示。 则当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时，其杆件的应变能密度为则当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时，其杆件的应变能密度为 6 AdAdAdAdu00010001dMdFdFuQN即即（12-6） 对于线弹性材料，有对于线弹性材料，有FN=EA. ， FQ=GA. /k（k为截面形状系数），为截面形状系数），M=EI . 。则则2221

5、212121EIkGAEAu（12-7） 显然有显然有 MEAuFkGAuFEAuQN111（12-8）7设：杆截面形心的轴向位移为设：杆截面形心的轴向位移为u，横向位移为，横向位移为v，截面的转角为，截面的转角为 。则几何方程。则几何方程为为 dxddxdvdxdu（12-9）将上式代入（将上式代入（12-7）式得）式得 2221212121dxdEIdxdvkGAdxduEAu（12-10）一根杆的应变能为一根杆的应变能为 dxdxdEIdxdvkGAdxduEAdxuU222121（12-11）8当忽略较小的剪切变形后当忽略较小的剪切变形后, ,0,dxdv则则dxdxvdEIdxduE

6、AdxuU2222121（12-12） 定义：单位杆长上的应变余能为杆件的应变余能密度，用定义：单位杆长上的应变余能为杆件的应变余能密度，用u*1表示。表示。 当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时，其杆件的应变余能密度为当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时，其杆件的应变余能密度为 MFQFNdMdFdFuQN000*1（12-13）对于线弹性材料，用类似的方法，可以得对于线弹性材料，用类似的方法，可以得 222*121221MEIFGAkFEAuQN（12-14）9一根杆的应变余能为一根杆的应变余能为 dxMEIFGAkFEAdxuUQN222*1*1121（12-15）10上式中，上式中，U为杆件结

7、构的应变能，对于刚架而言，通常仅考虑弯曲应变能，为杆件结构的应变能，对于刚架而言，通常仅考虑弯曲应变能，则则 12.2势能原理 1 势能的定义势能的定义 杆件结构的势能杆件结构的势能Ep定义为定义为 *ppEUE（12-16） edxdxvdEIU22221（12-17）上式中上式中e为结构中杆件的排序号。为结构中杆件的排序号。E*p为结构的荷载势能，通常以结构未变形为结构的荷载势能，通常以结构未变形前的荷载位置为起始位置，则前的荷载位置为起始位置，则 pppFE*（12-18）上式中上式中p为荷载的序号，为荷载的序号， 为为Fp方向上的位移。方向上的位移。 112 势能驻值原理势能驻值原理

8、势能驻值原理：势能驻值原理：在所有几何可能的位移状态中，真实的位移应使结构势能在所有几何可能的位移状态中，真实的位移应使结构势能为驻值。为驻值。这一能量原理说明，如果位移满足全部的变形协调条件，而且还能使势能这一能量原理说明，如果位移满足全部的变形协调条件，而且还能使势能为驻值，则与此位移相应的内力必然满足全部的静力平衡条件。即说明势为驻值，则与此位移相应的内力必然满足全部的静力平衡条件。即说明势能驻值条件与平衡条件是等价的。能驻值条件与平衡条件是等价的。 可以证明，在小变形、线弹性的稳定平衡问题中，满足几何方程、物可以证明，在小变形、线弹性的稳定平衡问题中，满足几何方程、物理方程和静力平衡方

9、程的解是唯一的。此时真实的位移不仅使势能取得极理方程和静力平衡方程的解是唯一的。此时真实的位移不仅使势能取得极值，而且该极值为极小值。这就是最小势能原理。值，而且该极值为极小值。这就是最小势能原理。 123势能驻值原理应用势能驻值原理应用 3.1 利用势能驻值原理推导位移法典型方程利用势能驻值原理推导位移法典型方程 设：位移法的基本未知量向量为设：位移法的基本未知量向量为Z =Z1 Z2 ZnT在位移法基本结构中，各杆任一截面的位移方程可表示为在位移法基本结构中，各杆任一截面的位移方程可表示为pniiivZvv1上式中，上式中， 为基本结构由于为基本结构由于Zi=1时引起的各杆任一截面的位移方

10、程。时引起的各杆任一截面的位移方程。vp为基本为基本结构在荷载作用下任一截面的位移方程。结构在荷载作用下任一截面的位移方程。 iv与广义荷载与广义荷载Fp相应的广义位移也可表示为相应的广义位移也可表示为 pniiiZ113pniiiZ1上式中，上式中， 为基本结构由于为基本结构由于Zi=1时引起的与广义荷载相应的广义位移。时引起的与广义荷载相应的广义位移。p为为基本结构在荷载作用下引起的与广义荷载相应的广义位移。基本结构在荷载作用下引起的与广义荷载相应的广义位移。 i则结构的势能为则结构的势能为 ppniiipepniiipZFdxvZvEIE12121根据势能驻值条件得根据势能驻值条件得 )

11、2 , 1(0niZEip01 pipeipnjjjFdxvvZvEI即即1401 pipepijnjejiFdxvvEIZdxvvEI或或因为，因为， 为为Zi=1时的基本结构的内力（弯矩），时的基本结构的内力（弯矩）， 为为Zj=1时的基本结构变形（曲率）。则时的基本结构变形（曲率）。则 为基本结构为基本结构Zi=1时的内力（弯矩）在时的内力（弯矩）在Zj=1时的变形时的变形（曲率）上所做的内力虚功（虚应变能）。而当（曲率）上所做的内力虚功（虚应变能）。而当Zi=1时基本结构的外力（时基本结构的外力（r1i、 r2i rni ）在）在Zj=1时的位移上所做的外力虚功为时的位移上所做的外力虚

12、功为W ij=rij 1=rij。 iiMvEI jjv ijejiUdxvvEI 根据虚功方程根据虚功方程U ij =W ij得得 ejiijdxvvEIr1501 pipepijnjejiFdxvvEIZdxvvEI或或又因为又因为 为单独在荷载作用下的基本结构的变形（曲率）。为单独在荷载作用下的基本结构的变形（曲率）。 ppv piepiepiUdxMdxvvEI 代表了当代表了当Zi=1时基本结构的内力（弯矩）在单时基本结构的内力（弯矩）在单独在荷载作用下基本结构的变形（曲率）上所做的内力虚功。独在荷载作用下基本结构的变形（曲率）上所做的内力虚功。 而当而当Zi=1时基本结构的外力（时

13、基本结构的外力（r1i、 r2i rni ）在单独在荷载作用下基本结构在单独在荷载作用下基本结构的变形上所做的外力虚功为的变形上所做的外力虚功为0。所以根据虚功方程得。所以根据虚功方程得 0 pipiepiepiWUdxMdxvvEI16当当Zi=1时的基本结构外力，在基本结构单独在荷载作用下的变形上所做得的时的基本结构外力，在基本结构单独在荷载作用下的变形上所做得的虚功为虚功为0，而在基本结构单独在荷载作用下的外力在，而在基本结构单独在荷载作用下的外力在Zi=1时的基本结构的变形时的基本结构的变形上所做的虚功为上所做的虚功为01 pipepijnjejiFdxvvEIZdxvvEI或或pip

14、ipFR1根据功的互等定理有根据功的互等定理有 0pipipFRpipipFR即即由上述讨论可得由上述讨论可得 01ipnjjijRZr这就是杆系结构的位移法典型方程。这就是杆系结构的位移法典型方程。 17多提意见与建议谢谢！作业：作业：18 建立在能量原理基础之上的解题方法是一种精确方法，但在精确解难以建立在能量原理基础之上的解题方法是一种精确方法，但在精确解难以求得或不能求得的许多工程实际问题中，能量原理又能为我们提供一种求近求得或不能求得的许多工程实际问题中，能量原理又能为我们提供一种求近似解的有效途径。瑞利似解的有效途径。瑞利里兹法就是其中之一。里兹法就是其中之一。 在介绍瑞利在介绍瑞

15、利里兹法之前，先介绍两个基本概念：里兹法之前，先介绍两个基本概念：3.2瑞利瑞利里兹法里兹法(Rayleigh-Ritz Method)静力可能内力静力可能内力 对于变形体而言，如果它的内力与外力满足全部的静力平衡条件，对于变形体而言，如果它的内力与外力满足全部的静力平衡条件，即满足杆件的平衡微分方程，而且在边界上和结点处满足力的平衡条件，即满足杆件的平衡微分方程，而且在边界上和结点处满足力的平衡条件，则此种内力称为静力可能内力。则此种内力称为静力可能内力。 对于静定结构而言，静力可能的内力是唯一的，而对于超静定结构对于静定结构而言，静力可能的内力是唯一的，而对于超静定结构而言，静力可能的内力

16、不是唯一的。而言，静力可能的内力不是唯一的。 19几何可能位移几何可能位移 如果变形体的应变如果变形体的应变 、 、 与位移与位移u、v、 满足几何方程，而且在结点处满足几何方程，而且在结点处满足位移连接条件，在边界上能与约束几何相容。满足位移连接条件，在边界上能与约束几何相容。则此种位移称为几何可能则此种位移称为几何可能位移。位移。 在变形体上，这种几何可能位移有无穷组，但只有同时能满足静力平衡在变形体上，这种几何可能位移有无穷组，但只有同时能满足静力平衡条件的那一组才是真实的解答。条件的那一组才是真实的解答。 结构的总势能是一个泛函，对于结构的总势能是一个泛函，对于稳定的平衡问题稳定的平衡

17、问题而言，按位移法求解时，而言，按位移法求解时，就归结为求泛函的极值问题。瑞利就归结为求泛函的极值问题。瑞利里兹法就是建立在泛函求极值基础之上里兹法就是建立在泛函求极值基础之上的一种求近似解的方法。下面举例说明。的一种求近似解的方法。下面举例说明。 例例1 用瑞利用瑞利里兹法求图示简支梁的挠度和弯矩。里兹法求图示简支梁的挠度和弯矩。 Fpl/2l/2xy该题材料力学已有精确解，在梁该题材料力学已有精确解，在梁中点挠度中点挠度 EIlFEIlFvpp33max02083. 04820Fpl/2l/2xy中点弯矩中点弯矩 lFlFMpp25. 04max解：设该简支梁的挠曲线（几何可能位移）为解：

18、设该简支梁的挠曲线（几何可能位移）为 5 , 3 , 1sinlxiavi这个函数不仅满足简支梁的两端的位移边界条件，而且满足两端力的这个函数不仅满足简支梁的两端的位移边界条件，而且满足两端力的边界条件：边界条件： ;0)()0(lvv0)()0( lvv(1)仅取级数的首项，则仅取级数的首项，则 lxavsin1 2134022222024sin22alEIdxlxlEIadxvEIUll 12*aFvFEplxpp2112134*4aFalEIEUEppp由势能驻值条件由势能驻值条件 得得 01aEp02134pFalEIEIlFap4312即即lxEIlFlxEIlFvppsin0205

19、3. 0sin2343则则EIlFvp3max02053. 0，比精确解，比精确解少少1.44%， lFMp2026. 0max，比精确解，比精确解少少19%。(2)仅取级数的前两项仅取级数的前两项 ，则，则 lxalxav3sinsin3122上式中没有取上式中没有取 项，是因为在项，是因为在Fp的作用下，内力和变形都是对的作用下，内力和变形都是对称的，而此项在中点处称的，而此项在中点处v=0，变形是反对称的。，变形是反对称的。 lxa2sin2 lldxlxllxalEIadxvEIU022221222023sin3sin22)2 , 1(2sin02ildxlxil)(0sinsin0j

20、idxlxjlxil 232134028142aalEIdxvEIUl 312*aaFvFEplxpp由势能驻值条件由势能驻值条件 得得 3 , 10iaEip23028102334134ppFalEIFalEI解之得解之得 ,2431EIlFapEIlFap433812lxlxEIlFvp3sinsin8181243则则 lxlxlFvEIxMp3sinsin992)(2EIlFvp3max02078. 0，比精确解，比精确解少少0.24%lFMp225. 0max，比精确解，比精确解少少10%误差仍较大，但位移和弯矩的精度均有所提高，随着级数项数增加，误差仍较大，但位移和弯矩的精度均有所提

21、高，随着级数项数增加，位移和弯矩都将趋于精确解。位移和弯矩都将趋于精确解。 2412.3余能原理 1 余能的定义余能的定义 ：杆件结构的余能：杆件结构的余能EC定义为定义为 *CCEUE（12-19）上式中，上式中，U*为杆件结构的为杆件结构的应变余能应变余能，对于线弹性材料而言，杆件结构的应，对于线弹性材料而言，杆件结构的应变余能为变余能为 eQNdxEIMGAFkEAFU222*21（12-20）E*C为结构的为结构的支座位移余能支座位移余能，或称，或称给定边界位移余能给定边界位移余能，即在支座位移，即在支座位移c上相上相应支座反力应支座反力R所做的虚功总和的负值。所做的虚功总和的负值。

22、cCcRE*（12-21）2 余能驻值原理余能驻值原理 25超静定杆件结构的余能驻值原理可表述如下：超静定杆件结构的余能驻值原理可表述如下：在所有静力可能内力中，真实在所有静力可能内力中，真实的内力应使结构的余能为驻值的内力应使结构的余能为驻值。 该原理说明该原理说明，如果内力满足全部的静力平衡条件，而且还能使结构的余，如果内力满足全部的静力平衡条件，而且还能使结构的余能为驻值，则与此内力相应的变形必然满足变形协调条件，即余能驻值条件能为驻值，则与此内力相应的变形必然满足变形协调条件，即余能驻值条件与变形协调条件是等价的。与变形协调条件是等价的。 可以证明可以证明：超静定结构中，在同时满足静力

23、平衡方程、几何方程和物理：超静定结构中，在同时满足静力平衡方程、几何方程和物理方程的解具有唯一性的情况下，结构的真实内力不仅使余能为驻值，而且该方程的解具有唯一性的情况下，结构的真实内力不仅使余能为驻值，而且该驻值一定为极小值。这就是最小余能原理。驻值一定为极小值。这就是最小余能原理。 3 余能驻值原理应用余能驻值原理应用 3.1 利用余能驻值原理推导力法典型方程利用余能驻值原理推导力法典型方程 26设力法基本未知量向量为设力法基本未知量向量为X=X1 X2 XnT ，在力法基本结构中，各杆，在力法基本结构中，各杆任一截面的内力可表示为任一截面的内力可表示为 支座反力可表示为支座反力可表示为 pniiiRXRR1(b)pniiiQpniiiQQNpniiiNNMXMMFXFFFXFF111(a)上述各式中上述各式中 、 、 和和 分别为力法基本结构在分别为力法基本结构在Xi=1时，所产生的任时，所产生的任一截面的内力和反力；一截面的内力和反力；FNp、 FQp 、 Mp 和和Rp 分别为力法基本结构单独在荷载分别为力法基本结构单独在荷载作用时的任一截面的内力和反力。则作用时的任一截面的内力和反力。则 NiFQiFiMiR27 epniiiQpniiiQNpniiiNCdxMXMEIFXFGAkFXFEAE2121211121 cpniii