线段的和差问题

1、线 段 的 和 差 问 题薛志军(湖南长沙中南大学附属实验中学 410083)线段的和差问题是几何证明中常见的题型，它与证明线段相等紧密相联.一般来说，通过作辅助线可转化为线段相等问题.解决线段的和差问题，需要综合应用三角形全等，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含有30º角的直角三角形的性质，线段中垂线的性质，角平分线性质，三角形，梯形中位线性质等知识.因此，通过此问题的讨论，一方面，帮助学生对与之相关的知识、定理进行梳理，系统化，进而建构有效的知识系统；另一方面，使他们在学习具体的几何知识的同时，掌握“化归”的数学思想方法.一、 利用图形中已有的线段和差关系进行证明例1 已知

2、：如图1，在abc中，abc的平分线与acb相邻外角acg的平分线相交于d，debc交ab于e，交ac于f.求证：ef=be-cf.分析 要证ef=be-cf，而图中有ef=ed-fd，若能证出be=ed，cf=fd，则此题可证出.说明 本题利用了等腰三角形的判定来证明线段的 差的问题. (图1) 例2 已知：如图2，abc中，bac=90o，ab=ac，ae是过点a的一条直线且b，c在ae的异侧，bdae于d，ceae于e . 求证：bd=de+ce. 分析 本题主要利用badace，得bd=ae，ad=ce，从而得bd=ae=de+ad=de+ce.说明 本题主要利用三角形全等的

3、方法直接证明线段的和的问题. (图2) 二、截长法（在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证明余下的线段等于第二条线段）例3 已知：如图3，四边形abcd中，ac平分bad，ceab于e，且b+d=180°，求证：ae=ad+be.分析 要证ae=ad+be，则可转化为证ae-be=ad，则需找到一条线段使它等于ae-be，再证其与ad相等，在ea上截取ef=be，连结cf，问题转化为证af=ad，即要证出afcadc.证明 在ea上截取ef=be，连结cf.      ceab于e,    

4、;  cf=cb .      1=b .      1+2=180°，b+d=180°, (图3)      2=d .      fac=dac，ac=ac,afcadc. af=ad. ae=af+ef, ae=ad+be.三、补短法（延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段）例4 已知:

5、如图4，在abc中,bac=2b,cd是acb的平分线.求征: bc=ac+ad .证明 延长ca至e，使ae=ad，连结de .  e=eda . (图4)  bac=e+eda=2e .  bac=2b , b=e.  在cde和cdb中 .  1=2，cd=cd，e=b ,  cdecdb .  ce=cb ,  bc=ce=ea+ac=ad+ac .四、旋转法例5 已知:如图5，已知f为正方形abcd的边bc上一点，ae平分da

6、f.求证：de=af-bf.分析 将ade绕a点顺时针旋转90º，则aeae´. 可证e´，b，f共线，e´= e´af (图5) 则有af= e´f.de=be´=e´f-bf=af-bf.五、等积变换法例6 已知:如图6，已知在abc中，ab=ac，bd为ac边上的高，如果在bc上取一点f，过f作fgab于g，作fhac于h.求证：fg+fh=bd.分析 连接af. (图6)得bd=gf+fh . 例7 已知:如图7，在abc中，a=90º，d是ac上一点，bd=cd，p是bc上任一点，pebd于e，pfac于f.求证：pe+pf=ab.分析 连接pd .由 , (图7) 得得ab=pe+pf.六、归一法（将处于不同位置的线段转化到同一条线段中来）例8 已知:如图8，已知平行四边形abcd的对角线交于o，点p是bd上任一点（异于b，o，d三点），过p点作平行于ac的直线交直线ad于e，交ba的延长线于f.求证：ac=pe+pf.分析 ，, 且ob=od= , (图8).即 . ，即ac=pe+pf.七、特殊定理法证明线段的和差时，可适当添加辅助线，以便于运用某些特殊的定理.这些 特殊的定理包括：三角形，梯形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等.例9 已知:如图9，