经济数学微积分课件边际与弹性

1、一、边际的概念一、边际的概念二、经济学中常见的边际函数二、经济学中常见的边际函数五、小结五、小结 思考题思考题三、弹性的概念三、弹性的概念 第六节第六节 边际与弹性边际与弹性四、经济学中常见的弹性函数四、经济学中常见的弹性函数 一、 边际的概念如如果果函函数数)(xfy 在在 0 x处处可可导导，则则在在),(00 xxx内内的的平平均均变变化化率率为为xy；在在0 xx 处处的的瞬瞬时时变变化化率率为为 )()()(lim0000 xfxxfxxfx ， 经经济济学学中中称称它它为为)(xf在在0 xx 处处的的边边际际函函数数值值. 定义定义1例例1解解1. 边际成本边际成本qqcqqcl

2、imqclimqcqcqq )()()()(00的的导导数数总总成成本本函函数数1)边际成本边际成本二、 经济学中常见的边际函数2)边际平均成本：边际平均成本：.)()()()()(2称称为为平平均均边边际际成成本本的的导导数数平平均均成成本本qqcqcqqqcqcqc )()()()(1010qccqcqccqc 即即：之之和和，与与可可变变成成本本等等于于固固定定成成本本总总成成本本例例 2 2 设设某某产产品品生生产产q单单位位的的总总成成本本为为12001100)(2qqc ， 求求：( (1 1) )生生产产 9 90 00 0 个个单单位位的的总总成成本本和和平平均均成成本本； (

3、 (2 2) )生生产产 9 90 00 0 个个单单位位到到 1 10 00 00 0 个个单单位位时时的的总总成成本本的的平平均均变变化化率率； ( (3 3) )生生产产 9 90 00 0 个个单单位位的的边边际际成成本本，并并解解释释其其经经济济意意义义. . 解解(1)生产生产900个单位时的总成本为个单位时的总成本为177512009001100)(2900 qqc平均成本为平均成本为99. 19001775)(900 qqc（2）生产）生产900个单位到个单位到1000个单位时总成本的个单位时总成本的 平均变化率为平均变化率为58. 1100177519939001000)90

4、0()1000()( ccqqc5 . 1)(900,60012002)()3(900 qqcqqqqc时时的的边边际际成成本本当当边边际际成成本本函函数数2. 边际收益边际收益定义：定义：.)()()()(00称称为为边边际际收收益益函函数数的的导导数数总总收收益益函函数数qqrqqrlimqrlimqrqrqq )()()()()()(qpqqpqrqpqpqqrqppp ，因因此此为为价价格格，设设例例 3 设设某某产产品品的的需需求求函函数数为为520qp ， 其其中中p为为价价格格，q为为销销售售量量，求求销销售售量量为为 15 个个单单位位时时的的总总收收益益，平平均均收收益益与与

5、边边际际收收益益并并求求销销售售量量从从 15 个个单单位位增增加加到到 20 个个单单位位时时收收益益的的平平均均变变化化率率 解解520)(2qqqqpr 总总收收益益为为1715255)(1515 qqqqrr平平均均收收益益255)520(1515215 qqqqr总总收收益益个个单单位位时时销销售售14)5220()(1515 qqqqr边边际际收收益益1352553201520)15()20(2015 rrqr化化率率为为个个单单位位时时收收益益的的平平均均变变个个单单位位增增加加到到当当销销售售量量从从解解)60(10)(2 qqepqqrq收收益益函函数数)60()2(5)(2

6、 qeqqrq边边际际收收益益函函数数3. 边际利润边际利润定义：定义：.)()()()(00称称为为边边际际利利润润的的导导数数总总利利润润函函数数qqlqqllimqllimqlqlqq 边际利润表示：若已经生产了边际利润表示：若已经生产了q单位产单位产品，再生产一个单位产品所增加的总利润品，再生产一个单位产品所增加的总利润 000)(,)()()()(,)()()(),()()(qlqcqcqcqrqcqrqlqcqrql时时与与边边际际成成本本决决定定边边际际利利润润可可由由边边际际收收入入显显然然则则边边际际利利润润为为之之差差即即与与总总成成本本函函数数等等于于总总收收益益函函数数

7、数数一一般般情情况况下下，总总利利润润函函)()()(qcqrql则则边边际际利利润润为为,10250)(qql 50)20()(20 lqlq0)25()(25 lqlq100)35()(35 lqlq上述结果表明当生产量为每月上述结果表明当生产量为每月2020吨时，再增加一吨，利润将增加吨时，再增加一吨，利润将增加5050元，当产量为每月元，当产量为每月2525吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为3535吨吨时，再增加一吨，利润将减少时，再增加一吨，利润将减少100100此处说明，对厂家来说，并非此处说明，对厂家来说，并非生产的产品越多，利润越高生产的产

8、品越多，利润越高. .解解4. 边际需求边际需求定义定义( )( ).qf pqpdpf pdq 若是需求函数，则需求量 对价格的导数称为边际需求函数 )(1)(1qfpf显显然然，解解8)(4,2dd)(4 ppqppqppq时的边际需求为时的边际需求为当当它的经济意义时价格为它的经济意义时价格为4时，价格上涨（或时，价格上涨（或下降）下降）1个单位，需求量将减少（或增加）个单位，需求量将减少（或增加）8个单个单位位.例例 6 6 某某商商品品的的需需求求函函数数为为275)(ppqq ，求求4 p 时时的的边边际际需需求求，并并说说明明经经济济意意义义 1. 1. 弹性的定义弹性的定义三、

9、弹性的概念定义定义)()(limlim0000000000 xfxxfxyxyxxyyxeyexxxx 即即 .弹性函数的定义弹性函数的定义.),()(lim/lim0)(),()(00弹弹性性函函数数内内的的点点弹弹性性函函数数，简简称称在在区区间间为为函函数数，则则称称且且可可导导，在在区区间间内内一一般般的的，若若函函数数baxfyyxyyxxyxxyyexeyxfbaxfyxx 2 常见函数的弹性（常见函数的弹性（a,b,c, 为常数为常数）xxexxexxexxeaxxexaxbeaxbxfaxexbaebaxfexaxeaxxfbaxaxexbaxebaxxfexeccxfxxta

10、n)(cos,cot)(sin)6(ln)ln(ln)()5(ln)()()4()()()3()()()2(0)()1( 三三角角函函数数的的弹弹性性对对数数函函数数的的弹弹性性指指数数函函数数的的弹弹性性幂幂函函数数的的弹弹性性线线性性函函数数的的弹弹性性常常数数函函数数 3 弹性的四则运算弹性的四则运算 exxefexxefexxfxfeexxefexxefexxfxfexfxfexxefxfexxefxfexxfxfe)()()()()3()()()()()2()()()()()()()()()1(2121212121221121 4 函数弹性的图解方案函数弹性的图解方案)22(tan)

11、tan()( 图图即即上上各各点点的的切切线线斜斜率率，的的几几何何意意义义为为所所示示曲曲线线边边际际函函数数mmxfy .)(tantantantantan)(,exeyoaabaaxfyexeyexeyxxfmmm进进而而就就可可得得，和和，就就可可得得夹夹角角的的切切线线和和线线段段曲曲线线作作处处对对应应的的弹弹性性，通通过过则则在在曲曲线线上上任任一一点点所所示示的的曲曲线线，数数如如果果我我们们知知道道了了一一条条函函则则若若考考虑虑弹弹性性的的绝绝对对值值，因因而而又又平平均均函函数数为为 m 图图 2 - 2)(,(xfxa)(xfy yyoxx1. 1. 需求弹性需求弹性1

12、)需求的价格弹性需求的价格弹性 需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起的需求量的反应程度的需求量的反应程度.用公式表示为用公式表示为.ddlim0qppqqppqepp 四、 经济学中常见的弹性函数注注因为需求量与价格的变化总沿着相反的方向，因为需求量与价格的变化总沿着相反的方向，需求的价格弹性算出来总是负值，为了讨论方需求的价格弹性算出来总是负值，为了讨论方便，取其绝对值。另外，在实际应用中，也常便，取其绝对值。另外，在实际应用中，也常用符号用符号 表示。表示。 例例1 1解解100dd pq100020 qp时时，当当.210002

13、0100 pe所所以以时时的的弹弹性性当当，求求某某需需求求曲曲线线为为：203000100 ppq(一一)几种特殊的价格弹性几种特殊的价格弹性从理论上来说，有以下四种特殊的需求弹性：从理论上来说，有以下四种特殊的需求弹性：).32(0)1(a 图图线线的的直直曲曲线线的的图图形形是是一一条条垂垂直直变变化化这这种种商商品品的的需需求求发发生生何何变变化化，其其需需求求量量都都不不没没有有弹弹性性，不不管管价价格格如如完完全全也也就就是是说说，这这种种商商品品需需求求的的价价格格弹弹性性等等于于).32)2(b 条条水水平平的的直直线线（图图种种商商品品的的需需求求曲曲线线为为一一这这就就可可

14、能能一一个个也也买买不不掉掉价价格格稍稍微微提提高高一一点点点点，把把可可以以卖卖掉掉多多少少；然然而而想想价价格格条条件件下下，有有的的少少就就大大它它表表明明商商品品在在一一定定需需求求的的价价格格弹弹性性为为无无穷穷图图条条双双曲曲线线种种商商品品的的需需求求曲曲线线是是一一同同样样的的百百分分比比变变化化这这百百分分比比时时，需需求求量量均均按按水水平平下下，价价格格变变动动一一个个也也就就是是说说，在在任任何何价价格格，上上各各点点的的弹弹性性均均为为单单元元弹弹性性即即需需求求曲曲线线)32(1)3(c 称称之之为为非非弹弹性性需需求求部部分分，需需求求曲曲线线的的称称之之为为弹弹

15、性性需需求求；部部分分，需需求求曲曲线线的的；，需需求求曲曲线线的的中中点点；，在在其其下下端端点点；，在在其其上上端端点点图图直直线线需需求求曲曲线线是是一一条条倾倾斜斜的的111)(0)()()32()4( epmbepamepmepbepadppppooooqqqqmab)(a)(b)(c)(dddd(二二)需求弹性与总收益（市场销售总额）的关系需求弹性与总收益（市场销售总额）的关系 当需求价格弹性大于当需求价格弹性大于1时，降价增加销售收入；时，降价增加销售收入；当需求价格弹性小于当需求价格弹性小于1时，降价反而会减少销时，降价反而会减少销售收入售收入 此时，需求变动的幅度大与价格变动

16、的幅度，此时，需求变动的幅度大与价格变动的幅度，边际收益小于边际收益小于0 0，即价格上涨，总收益减少，价格，即价格上涨，总收益减少，价格下跌，总收益增加；下跌，总收益增加； 此时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，此时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，边际收益大于边际收益大于0 0，即价格上涨，总收益增加，价格，即价格上涨，总收益增加，价格下跌，总收益减少；下跌，总收益减少；当需求价格弹性等与当需求价格弹性等与1时，当价格的变化时，时，当价格的变化时，总收益不变总收益不变3. 供给弹性供给弹性定义：定义：，则则供供给给弹弹性性弹弹性性设设价价格格曲曲线线通通常常指指的的是是供供给给的的价价

17、格格)(pfq 供供给给的的价价格格弹弹性性，式式中中： ppeqppqedd例例 8 8 观观察察下下列列供供给给函函数数： qpcqpbqpa43)( ;52)( ,3)( 试试判判断断其其供供给给弹弹性性pe大大于于，等等于于或或小小于于 1 1. . 解：解：1, 0)(peaa故其纵轴截距1)0()(peab，故此函数与横轴相交1)0()(peac，故此函数与纵轴相交解：解：ppqpqpeppq323dd, 3dd 故故时时当当3 p11933233 pe.3,327时时的的供供给给弹弹性性及及当当求求供供给给弹弹性性函函数数设设某某产产品品的的供供给给函函数数例例 ppq.收收益益

18、的的销销售售弹弹性性eqer4. 收益弹性收益弹性rppreper ddrqqreper dd收收益益的的价价格格弹弹性性；式式中中： eper解解故故，设设,)()1(pqrpfq )dd(1d)(d)(pqpqqppqpqpeppqeeper 1)dd(1dd1pqqppqqpqpqpqpqpqqeqpqeeqerd)(d1d)(d)( 11dd11)dd(1 pqqpqpqpp，故故知知由由 1)1()2(eper得得,1dddd prpqpprrpeper)1)()1(dd pfqpr，故故又又由由 1)1(eqer得得 11dddd qrpqqqrrqeqer)11(dd pqr例例

19、 9 9 假假设设某某产产品品的的需需求求函函数数xp100 ，其其中中x x 为为产产量量( (假假定定等等于于需需求求量量) )，p p 为为价价格格，求求收收益益的的价价格格弹弹性性 解：解：ppxprpx/10)(,/100422 11010/10d)/10(d244244 ppppppeper例例 10 10 某商品的需求量某商品的需求量 q q 关于价格关于价格 p p 的函数为的函数为275pq (1)(1)求求 p=4p=4 时的需求的价格弹性， 并说明其经济意义。时的需求的价格弹性， 并说明其经济意义。 (2)p=4(2)p=4 时， 若价格提高时， 若价格提高 1%1%，

20、总收益是增加还是减少， 总收益是增加还是减少，变化百分之几？变化百分之几？ 解解22275275)2(dd)1(pppppqppq 54. 04 时时，p%54. 0)(%1 )(4增加增加，需求量减少，需求量减少下降下降价格上涨价格上涨时，时，其经济意义是其经济意义是 p解法二解法二)1()1()1(dd prpqpqpr由由 1ddprrpeper即即46. 0)4(14 peper故故%46. 0%1时时，总总收收益益增增加加即即当当价价格格上上涨涨解法三解法三)11()11()11(dd qrqpqpqr由由 11dd qrrqeqer即即)%54. 011(4 peqer故故%46. 0)%54. 011(54. 0,%1 总总收收益益增增加加时时则则当当价价格格上上涨涨五小结思考题边际的基本概念边际的基本概念1 边际成本边际成本2 边际收益边际收益3 边际利润边际利润4 边际需求边际需求弹性的基本概念弹性的基本概念1 需求弹性需求弹性2 供给弹性供给弹性3 收益弹性收益弹性边际函数的计算边际函数的计算弹性函数的计算弹性函数的计算思考题思考题解法一解法一定定义义，分分别别将将按按照照需需求求对对价价格格的的弹弹性性的的函函数数得得到到表表为为pqqpprqrdddd,dd pqqpp